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Capítulo5 do livro texto da disciplina de Transformações Lineares
Tipologia: Notas de estudo
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Compartilhado em 24/10/2019
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Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez
Cecília de Souza Fernandez
1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem.................... 130 2.1 O Núcleo....................... 130 2.2 A Imagem....................... 132 2.3 O Teorema do Núcleo e da Imagem......... 134 3 Operações com Transformações Lineares..... 144
As funções naturais no contexto dos espaços vetorais, as chamadas de transformações lineares, formam uma classe muito especial de funções que têm muitas aplicações na Física, nas Engenharias e em vários ramos da Ma- temática.
1 O que são as Transformações Lineares?
As funções nas quais se está interessado na Álgebra Linear são as funções cujos domínios e contradomínios são espaços vetoriais e que, além disso, preservam as operações de adição de vetores e de multiplicação de um vetor por um escalar. Isto é o conteúdo da de nição a seguir. Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação linear de V em W é uma função T : V → W que possui as seguintes propriedades:
(i) T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ), para quaisquer v 1 e v 2 em V ;
(ii) T (av) = aT (v), para quaisquer v em V e a em R.
As propriedades (i) e (ii) são equivalentes à seguinte propriedade:
T (v 1 + av 2 ) = T (v 1 ) + aT (v 2 ), (1)
para quaisquer v 1 e v 2 em V e para qualquer a em R.
É esta caracterização das transformações lineares que utilizaremos, por ser mais prática, para mostrar que determinada função entre espaços vetoriais é uma transformação linear.
Mostra-se por indução (veja Problema 1.1) que uma função T : V → W é uma transformação linear se, e somente se, para todos v 1 ,... , vr ∈ V e todos a 1 ,... , ar ∈ R, tem-se que
T (a 1 v 1 + · · · + arvr) = a 1 T (v 1 ) + · · · + arT (vr). (2)
Vejamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 1. A função T : R^2 → R, dada por T (x, y) = x + y, é uma transformação linear.
mostrando que T é uma transformação linear.
Mais geralmente, se V e W são espaços vetoriais, a função T : V → W , dada por T (v) = 0, v ∈ V , é uma transformação linear, chamada transfor- mação nula. A transformação nula de V em W será também denotada por
Exemplo 5. A função T : R^2 → R^2 dada por T (x, y) = (x^2 , y) não é uma transformação linear. Com efeito, se tomarmos v 1 = (1, 0) e v 2 = (− 1 , 0), então
T (v 1 + v 2 ) = (0, 0) 6 = (2, 0) = T (v 1 ) + T (v 2 ).
Exemplo 6. Seja f (x) um polinômio arbitrariamente xado em R[x]. A função T : R[x] → R[x], dada por T (p(x)) = p(f (x)), é uma transformação linear. De fato, se p 1 (x), p 2 (x) ∈ R[x] e a ∈ R, temos que
T (p 1 (x) + ap 2 (x)) = p 1 (f (x)) + ap 2 (f (x)) = T (p 1 (x)) + aT (p 2 (x)),
mostrando que T é uma transformação linear.
Exemplo 7. Uma função T : Rn^ → Rm^ é uma transformação linear se, e somente se, existem números reais aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, tais que
T (x 1 ,... , xn) = (a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn,... , am 1 x 1 + · · · + amnxn),
fazendo jus ao adjetivo linear associado à palavra transformação. Para a demonstração deste resultado, veja Problema 1.3.
Como a maioria dos resultados a seguir é evidente para espaços veto- riais nulos, vamos sempre considerar o domínio e o contradomínio de uma transformação linear como espaços vetoriais não nulos.
Como consequência da propriedade (1), temos que uma transformação linear T : V → W transforma o vetor nulo de V no vetor nulo de W , ou seja, T (0) = 0. De fato,
0 = T (0) − T (0) = T (0) + (−1)T (0) = T (1 · 0 − 1 · 0) = T (0).
Porém, o fato de uma função T ter como domínio e contradomínio espaços vetoriais e satisfazer T (0) = 0 não implica que ela seja uma transformação linear, como mostra o Exemplo 5. Uma propriedade importante de uma transformação linear é que ela ca totalmente determinada se conhecermos seus valores nos vetores de uma base de seu domínio. Mais precisamente, temos o resultado a seguir.
Teorema 5.1.1. Seja α = {v 1 , v 2 ,... , vn} uma base de um espaço vetorial V. Sejam w 1 , w 2 ,... , wn vetores de um espaço vetorial W. Então existe uma única transformação linear T : V → W tal que T (vj ) = wj para todo 1 ≤ j ≤ n. Demonstração Tomemos v ∈ V. Como α é uma base de V , v se escreve de modo único como uma combinação linear dos vetores de α, digamos
v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + anvn. (3)
De na T : V → W por
T (v) = a 1 w 1 + a 2 w 2 + · · · + anwn. (4)
A função T está bem de nida, pois os números reais a 1 , a 2 ,... , an são uni- camente determinados a partir de v. Além disso, T é uma transforma- ção linear. De fato, tomemos a em R e w em V. Suponhamos que w = b 1 v 1 + b 2 v 2 + · · · + bnvn. Como
v + aw = (a 1 + ab 1 )v 1 + (a 2 + ab 2 )v 2 + · · · + (an + abn)vn,
segue que
T (v + aw) = (a 1 + ab 1 )w 1 + (a 2 + ab 2 )w 2 + · · · + (an + abn)wn = (a 1 w 1 + a 2 w 2 + · · · + anwn) + a(b 1 w 1 + b 2 w 2 + · · · + bnwn) = T (v) + aT (w).
Para mostrar que T (vj ) = wj , xe j, onde 1 ≤ j ≤ n. Como
vj = 0v 1 + · · · + 1vj + · · · + 0vn,
1.1 Sejam V e W dois espaços vetoriais e T : V → W uma função. Prove que as seguintes a rmações são equivalentes:
(a) T (u + v) = T (u) + T (v) e T (av) = aT (v), para quaisquer u e v em V e qualquer a em R;
(b) T (u + av) = T (u) + aT (v), para quaisquer u e v em V e qualquer a em R;
(c) T (a 1 v 1 + · · · + arvr) = a 1 T (v 1 ) + · · · + arT (vr), para quaisquer v 1 ,... , vr em V e quaisquer a 1 ,... , ar em R.
1.2 Mostre que T : R → R é uma transformação linear se, e somente se, existe c ∈ R tal que T (x) = cx, para todo x ∈ R.
1.3 Seja T : Rn^ → Rm^ uma função. Mostre que T é uma transformação linear se, e somente se, existem números reais aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, tais que
T (x 1 ,... , xn) = (a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn,... , am 1 x 1 + · · · + amnxn).
Sugestão Para mostrar que T é da forma desejada, escreva (x 1 ,... , xn) = x 1 e 1 + · · · + xnen, onde e 1 ,... , en é a base canônica de Rn. Ponha T (ei) = (a 1 i,... , ami) e use a igualdade (2). A recíproca é uma veri cação fácil.
1.4* Considere V = M(n, n) e seja B em V. De na a função T : V → V por T (A) = AB + BA para toda matriz A em V. Mostre que T é uma transformação linear.
1.5 Mostre que a função T : M(m, n) → M(n, m), de nida por T (A) = At, é uma transformação linear.
1.6 Dada uma transformação linear T tal que T (u) = 2u e T (v) = u + v, calcule em função de u e v:
(a) T (u + v); (b) T (3v); (c) T (− 3 u); (d) T (u − 5 v).
1.7 Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justi que as res- postas dadas.
(a) T : R^3 → R^3 , onde T (x, y, z) = (x + y, x − z, 0).
(b) T : R^2 → R^3 , onde T (x, y) = (x^2 , x, y).
(c) T : R^2 → M(2, 2), onde T (x, y) =
2 x x − y x + y 2 y
(d) T : R^2 → R, onde T (x, y) = xy.
(e) T : R[x] 2 → R[x] 2 , onde T (ax + b) = ax^2 + bx.
(f) T : R[x]d → R[x]d, onde T (x) = x + a, com a ∈ R.
1.8 Determine n e m e a transformação linear T : Rn^ → Rm^ tal que:
(a) T (1, 2) = (3, 1 , 1) e T (1, 1) = (1, − 1 , 0);
(b) T (1, 1 , 1) = (2, − 1 , 4), T (1, 1 , 0) = (3, 0 , 1) e T (1, 0 , 0) = (− 1 , 5 , 1).
1.9 Sejam {v 1 , v 2 ,... , vn} uma base de um espaço vetorial V e T : V →W uma transformação linear. Mostre que T (v 1 ) = T (v 2 ) = · · · = T (vn) = 0 se, e somente se T é a transformação nula.
2 Núcleo e Imagem
O núcleo e a imagem de uma transformação linear são dois subespaços de seu domínio e de seu contradomínio, respectivamente, que nos fornecem informações valiosas sobre a transformação. Há uma relação importante entre as dimensões do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação linear, que apresentaremos nesta seção e que possui muitas aplicações.
Seja T : V → W uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker T , é o conjunto de vetores de V que são levados por T no vetor nulo de W , ou seja,
Ker T = {v ∈ V ; T (v) = 0}.
Note que Ker T é um subconjunto não vazio de V , já que T (0) = 0. Mais ainda, Ker T é um subespaço de V. De fato, se v 1 , v 2 ∈ Ker T e se a ∈ R,
Se uma transformação linear T é injetiva, então a equação T (v) = 0 só possui a solução v = 0. De fato, sendo T injetiva e como T (0) = 0, tem-se que T (v) = 0 = T (0) implica que v = 0. Fato curioso, é que vale também a recíproca desta propriedade, como mostraremos a seguir.
Proposição 5.2.1. Seja T : V → W uma transformação linear. Temos que T é injetiva se, e somente se, Ker T = { 0 }. Demonstração A implicação direta foi provada no comentário acima. Su- ponhamos agora que Ker T = { 0 }. Tomemos u e v vetores em V. Se T (u) = T (v), então T (u) − T (v) = 0. Equivalentemente, T (u − v) = 0. Assim, u − v ∈ Ker T. Como Ker T = { 0 }, segue-se que u − v = 0, logo u = v, mostrando a injetividade de T.
Por exemplo, a transformação linear do Exemplo 1 não é injetiva, pois Ker T 6 = {(0, 0 , 0 , 0)}. Já a transformação linear dada por T (x, y)=(x−y, x+y), (x, y) ∈ R^2 , é injetiva, pois Ker T = {(0, 0)}.
A imagem de T de uma transformação linear T : V → W é o conjunto Im T = T (V ). Como T (0) = 0, temos que 0 ∈ Im T , logo ele é um subcon- junto não vazio de W. Deixaremos como exercício para o leitor veri car que, de fato, Im T é um subespaço vetorial de W (veja Problema 2.1). A seguinte proposição mostra como podemos determinar geradores para a imagem de uma transformação linear.
Proposição 5.2.2. Seja T : V →W uma transformação linear. Se {v 1 ,... , vn} é um conjunto de geradores de V , então {T (v 1 ),... , T (vn)} é um conjunto de geradores de Im T. Em particular, dim Im T ≤ dim V. Demonstração Seja w ∈ Im T e tomemos v ∈ V tal que T (v) = w. Como {v 1 ,... , vn} gera V , v é uma combinação linear de v 1 ,... , vn, digamos,
v = a 1 v 1 + · · · + anvn.
Pela linearidade de T (cf. (2) da Seção 1), temos que
w = T (v) = a 1 T (v 1 ) + · · · + anT (vn),
ou seja, w é uma combinação linear de T (v 1 ),... , T (vn). Como w é arbitrário em Im T , segue que Im T = G(T (v 1 ),... , T (vn)).
Exemplo 2. Calculemos a imagem da transformação linear apresentada no Exemplo 1. Pela Proposição 5.2.2, devemos determinar o espaço gerado pela imagem de um conjunto de geradores de R^4. Vamos calcular, então, o espaço gerado por
T (1, 0 , 0 , 0) = (1, 1 , 1), T (0, 1 , 0 , 0) = (− 1 , 0 , 1), T (0, 0 , 1 , 0) = (1, 2 , 3) e T (0, 0 , 0 , 1) = (1, − 1 , −3).
Pelo Teorema 3.4.1, basta reduzir a matriz
à forma escalonada. Ora,
−→ L 2 → L 2 + L 1 L 3 → L 3 − L 1 L 4 → L 4 − L 1
−→ L 3 → L 3 − L 2 L 4 → L 4 + 2L 2
Assim, {(1, 1 , 1), (0, 1 , 2)} é uma base de Im T , ou seja,
Im T = {(x, x + y, x + 2y) ; x, y ∈ R}.
ou seja,
b 1 u 1 + b 2 u 2 + · · · + bmum − bm+1vm+1 − · · · − bnvn = 0.
Sendo β uma base de V , a equação anterior se veri ca somente se todos os coe cientes da combinação linear são iguais a zero. Em particular, bm+1 = · · · = bn = 0.
Em geral, para mostrarmos que uma função é bijetiva, devemos mostrar que ela é injetiva e sobrejetiva. No entanto, se a função é uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão nita, então, exatamente como no caso de funções entre conjuntos nitos de mesma cardinalidade, basta veri car que ela ou é injetiva ou é sobrejetiva; a outra condição é automaticamente satisfeita. Provaremos este fato a seguir com o auxílio do teorema do núcleo e da imagem. Note que esse resultado não é consequência do resultado para funções entre conjuntos nitos, pois um espaço vetorial sobre R, quando não nulo, é um conjunto in nito.
Proposição 5.2.4. Seja T : V → W uma transformação linear entre es- paços vetoriais de dimensão nita. Se dim V = dim W , então as seguintes a rmações são equivalentes:
(i) T é injetiva; (ii) T é sobrejetiva.
Demonstração Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
dim Ker T + dim Im T = dim V.
Sendo dim V = dim W , podemos escrever a igualdade acima como
dim Ker T + dim Im T = dim W. (2)
Suponhamos que T seja injetiva. Pela Proposição 5.2.1, Ker T = { 0 } e, consequentemente, dim Ker T = 0. Segue então, de (2), que dim Im T =
dim W , mostrando que T é sobrejetiva, já que, pelo Teorema 3.3.6, Im T = W.
Suponhamos agora que T seja sobrejetiva, ou seja, Im T = W. Esses dois espaços têm mesma dimensão, portanto, de (2) temos que dim Ker T = 0, o que garante que Ker T = { 0 }. Pela Proposição 5.2.1, segue que T é injetiva.
Exemplo 3. Veri quemos que a transformação linear T : M(2, 2) → R^4 , dada por
T
a b c d
= (a + b, b + c, c, a + b + d)
é uma função bijetiva.
Ora, como dim M(2, 2) = dim R^4 , segue, da Proposição 5.2.4, que basta veri carmos que T é uma função injetiva.
Como a igualdade
a b c d
só ocorre quando a = b = c = d = 0, temos que Ker T = { 0 }. Pela Proposição 5.2.1, T é injetiva.
Observamos que a condição dim V = dim W , na Proposição 5.2.4, é ne- cessária. De fato, consideremos a transformação linear T : R^3 → R^2 dada por T (x, y, z) = (x, y). Temos que T é sobrejetiva, mas não é injetiva. Já a transformação linear T : R^2 → R^3 dada por T (x, y) = (x, y, 0) é injetiva, mas não é sobrejetiva.
Seja T : V → W uma transformação linear bijetiva. Logo, existe a função inversa T −^1 : W → V de T. A função T −^1 é também uma transformação linear. Com efeito, consideremos w 1 e w 2 em W e a em R. Como T é bijetiva, existem únicos vetores v 1 e v 2 em V tais que T (v 1 ) = w 1 e T (v 2 ) = w 2.
De na, então, T : V → W por T (v) = a 1 w 1 + · · · + anwn. Pela de- monstração do Teorema 5.1.1, T está bem de nida e, além disso, T é uma transformação linear.
Para provarmos que T é bijetiva basta provarmos, pela Proposição 5.2.4, que T é injetiva. Ora, se v = a 1 v 1 + · · · + anvn e
0 = T (v) = a 1 w 1 + · · · + anwn,
segue-se que a 1 = · · · = an = 0, pois {w 1 ,... , wn} é uma base de W. Logo, v = 0, mostrando que Ker T = { 0 }.
Dois espaços vetoriais V e W isomorfos são essencialmente o mesmo espaço vetorial, exceto que seus elementos e suas operações de adição e de multiplicação por escalar são escritas diferentemente. Assim, qualquer propriedade de V que dependa apenas de sua estrutura de espaço vetorial permanece válida em W , e vice-versa. Por exemplo, se T : V → W é um isomor smo de V em W , então {T (v 1 ),... , T (vn)} é uma base de W se, e somente se, {v 1 ,... , vn} é uma base de V (veja Problema 2.4).
Exemplo 4. Seja W o subespaço de M(2, 2) gerado por
e M 4 =
Vamos encontrar uma base e a dimensão de W.
Para encontrarmos uma base e a dimensão de W não usaremos a de nição de espaço gerado. Em vez disso, usaremos a noção de espaço linha, que nos auxilia a exibir uma base de subespaços de Rn^ e, consequentemente, de espaços vetoriais isomorfos a subespaços de Rn.
Ora, como T (x, y, t, z) =
x y t z
é um isomor smo de R^4 em M(2, 2),
temos que W é isomorfo ao espaço G(v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ), onde v 1 = (1, − 5 , − 4 , 2), v 2 = (1, 1 , − 1 , 5), v 3 = (2, − 4 , − 5 , 7) e v 4 = (1, − 7 , − 5 , 1). Temos que a
matriz (^)
se reduz, pelas transformações elementares, à matriz
Assim, α = {(1, 3 , 0 , 6), (0, 2 , 1 , 1)} é uma base de G(v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) e, conse-
quentemente, α′^ =
é uma base de W , mostrando que
dim W = 2.
Note que, como consequência do Teorema 5.2.5, temos que todo espaço vetorial não nulo de dimensão nita n é isomorfo ao Rn. Dessa forma, o estudo de espaços vetoriais de dimensão nita pode se reduzir ao estudo dos espaços Rn, mediante a escolha de algum isomor smo. Assim, dado um problema em um espaço vetorial de dimensão nita n, reescrevemos o problema para Rn, usando um isomor smo, e o resolvemos neste contexto. Com o isomor smo utilizado, voltamos ao contexto original. Essa técnica foi ilustrada no Exemplo 4. Um outro exemplo pode ser visto no Problema 2.6, bem como no exemplo a seguir, em que são aplicados os conceitos de espaço vetorial, base e dimensão, de modo a obter resultados não triviais.
Exemplo 5. Consideremos a recorrência R(1, 1), de nida por
un+1 = un + un− 1 , n ≥ 2.
Vimos no Exemplo 2 da Seção 1, do Capítulo 1 e no Exemplo 5 da Seção 1, do Capítulo 3, que as sequências reais que satisfazem a esta recorrência formam um espaço vetorial.
Assim, todo elemento (un) de R(1, 1) é tal que
un = t 1
)n
)n , t 1 , t 2 ∈ R. (3)
Portanto, dados u 1 e u 2 , podemos determinar t 1 e t 2 resolvendo o sistema de equações: (^) { t 1 q 1 + t 2 q 2 = u 1 t 1 q^21 + t 2 q^22 = u 2.
Em virtude das igualdades q^21 = q 1 +1 e q^22 = q 2 +1, este sistema é equivalente ao sistema (^) { t 1 q 1 + t 2 q 2 = u 1 t 1 (q 1 + 1) + t 2 (q 2 + 1) = u 2 ,
Por exemplo, para a sequência de Fibonacci, onde u 1 = u 2 = 1, resolvendo o sistema acima, obtemos t 1 = 1/
5 e t 2 = − 1 /
5 , que substituídos em (3) nos dão a seguinte fórmula para o termo geral da sequência de Fibonacci:
un =
1+√ 5 2
)n −
1 −√ 5 2
)n
√ 5
Finalizaremos esta seção com mais uma aplicação do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Exemplo 6. Determinaremos uma fórmula para a dimensão da soma de dois subespaços de um espaco vetorial. Sejam U e W subespaços vetoriais de dimensão nita de um espaço ve- torial V. Considere a transformação linear
T : U × W → V (u, w) 7 → u + w
É fácil veri car que a imagem de T é o subespaço U + W e que Ker T é isomorfo a U ∩ W (veja Problema 2.5). Logo, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem e pelo Problema 3.15, do Capítulo 3, temos que
dim U + dim W = dim U × W = dim Ker T + dim Im T = dim(U ∩ W ) + dim(U + W ).
Assim, temos que
dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ).
Problemas
2.1* Prove que a imagem de uma transformação linear T : V → W é um subespaço vetorial de W.
2.2* Dada a transformação linear T (x, y, z) = (x + 2y − z, y + 2z, x + 3y + z) em R^3 :
(a) Veri que que Ker T é uma reta que passa pela origem;
(b) Determine as equações paramétricas da reta obtida em (a);
(c) Veri que que Im T é um plano que passa pela origem;
(d) Determine as equações paramétricas do plano obtido em (c).
2.3 Explique por que não existe nenhuma transformação linear sobrejetiva T : V → W , quando dim V < dim W.
2.4* Seja T : V → W um isomor smo. Prove que {v 1 ,... , vn} é uma base de V se, e somente se, {T (v 1 ),... , T (vn)} for uma base de W.
2.5 Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Considere a função T : U × W → V , de nida por T (u, w) = u + w. Mostre que:
(a) T é uma transformação linear;
(b) A imagem de T é o subespaço U + W ;
(c) Ker T = {(u, −u); u ∈ U ∩ W } é isomorfo a U ∩ W.
2.6* Determine a dimensão do subespaço de R[x] 3 , de nido por
{p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ; p(−1) = 0}.
2.7 Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
(a) T : R^3 → R^2 , onde T (x, y, z) = (x − y, x − z);
