Introdução a Álgebra Linear, Slides de Álgebra

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Aula 1

Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Linear

Ronaldinho coelho pinheiro Universidade de Bras´ılia 29 de outubro de 2020

Teorema Seja β = {v 1 ,... , vn} uma base de um espa¸co vetorial V. Ent˜ao todo vetor de V ´e escrito de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear de v 1 ,... , vn.

Suponha que um espa¸co vetorial V possui as bases α = {v 1 ,... , vn} e β = {u 1 ,... , un}.

Suponha que um espa¸co vetorial V possui as bases α = {v 1 ,... , vn} e β = {u 1 ,... , un}.

Se [^ v ] α =

x 1 ... xn

, ent˜ao quais as coordenadas de [^ v ] β?

v 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 + a 31 u 3 v 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 + a 32 u 3 v 3 = a 13 u 1 + a 23 u 2 + a 33 u 3

Como v = x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 , por substitui¸c˜ao segue que

v 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 + a 31 u 3 v 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 + a 32 u 3 v 3 = a 13 u 1 + a 23 u 2 + a 33 u 3

Como v = x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 , por substitui¸c˜ao segue que

v = x 1 (a 11 u 1 + a 21 u 2 + a 31 u 3 ) + x 2 (a 12 u 1 + a 22 u 2 + a 32 u 3 ) +x 3 (a 13 u 1 + a 23 u 2 + a 33 u 3 ),

v 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 + a 31 u 3 v 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 + a 32 u 3 v 3 = a 13 u 1 + a 23 u 2 + a 33 u 3

Como v = x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 , por substitui¸c˜ao segue que

v = x 1 (a 11 u 1 + a 21 u 2 + a 31 u 3 ) + x 2 (a 12 u 1 + a 22 u 2 + a 32 u 3 ) +x 3 (a 13 u 1 + a 23 u 2 + a 33 u 3 ), ou seja,

v = (a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 )u 1 + (a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 )u 2 +(a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 )u 3

Como vimos, as coordenadas em uma base s˜ao ´unicas, portanto

Como vimos, as coordenadas em uma base s˜ao ´unicas, portanto

[ (^) v ] β =

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3

Note que ´e poss´ıvel escrever a igualdade acima como

Como vimos, as coordenadas em uma base s˜ao ´unicas, portanto

[ (^) v ] β =

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3

Note que ´e poss´ıvel escrever a igualdade acima como

[ (^) v ] β =

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

x 1 x 2 x 3

A matriz

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

 (^) realiza a convers˜ao das coordenadas na base

α para as coordenadas na base β, por isso ´e chamada de matriz de mudan¸ca de base e ´e denotada por [^ I ]αβ.

A matriz

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

 (^) realiza a convers˜ao das coordenadas na base

α para as coordenadas na base β, por isso ´e chamada de matriz de mudan¸ca de base e ´e denotada por [^ I ]αβ.

Observe que a primeira coluna de [^ I ]αβ corresponde a [^ v 1 ] β (as coor- denadas do primeiro vetor de α na base β),