Introdução a Álgebra Linear, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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INTRODUC¸ ˜AO `A ´ALGEBRA LINEAR

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matem ´atica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

http://www.mat.ufmg.br/~regi

Marc¸o 2007

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear

Copyright c© 2007 by Reginaldo de Jesus Santos (070305)

E proibida a reproduc´ ¸ ˜ao desta publicac¸ ˜ao, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pr ´evia autorizac¸ ˜ao, por escrito, do autor.

Editor, Coordenador de Revis ˜ao, Supervisor de Produc¸ ˜ao, Capa e Ilustrac¸ ˜oes: Reginaldo J. Santos

ISBN 85-7470-018- Ficha Catalogr ´afica

Santos, Reginaldo J. S237i Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear / Reginaldo J. Santos

• Belo Horizonte: Imprensa Universit ´aria da UFMG, 2007.
  1. ´Algebra Linear I. T´ıtulo

CDD: 512.

Pref ´acio

Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear ou de Algebra Linear Matricial. O texto pode, mas´ n ˜ao e necess ´´ ario, ser acompanhado um programa como o MATLABr^ ∗, SciLab ou o Maxima.

O conte ´udo ´e dividido em sete cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui todas as propriedades da ´algebra matricial s ˜ao demonstradas. A resoluc¸ ˜ao de sistemas lineares ´e feita usando somente o m ´etodo de Gauss-Jordan (transformando a matriz at ´e que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este m ´etodo requer mais trabalho do que o m ´etodo de Gauss (transformando a matriz, apenas, at ´e que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tamb ´em ´e usado no estudo da invers ˜ao de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo ´e tamb ´em estudado o determinante, que ´e definido usando cofatores. As demonstrac¸ ˜oes dos resultados deste cap´ıtulo podem ser, a

crit ´erio do leitor, feitas somente para matrizes 3 × 3.

O Cap´ıtulo 3 trata de vetores no plano, no espac¸o e no Rn. Os vetores s ˜ao definidos inicialmente

∗ (^) MATLABr (^) e marca registrada de The Mathworks, Inc.´

vii

viii Conte ´udo

de forma geom ´etrica, assim como a soma e a multiplicac¸ ˜ao por escalar. S ˜ao provadas algumas propriedades geometricamente. Depois s ˜ao introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da definic¸ ˜ao de base. O produto escalar ´e definido tamb ´em geometricamente. S ˜ao

estudados tamb ´em retas e planos no espac¸o. Depois, o conceito de vetor ´e generalizado para o Rn.

O conceito de depend ˆencia e independ ˆencia linear ´e introduzido de forma alg ´ebrica, acompanhado

da interpretac¸ ˜ao geom ´etrica para os casos de R^2 e R^3.

No Cap´ıtulo 4 s ˜ao tratados os conceitos de subespac¸os e de base de subespac¸os. S ˜ao estudados os espac¸os linha e coluna de uma matriz e o seu posto. Ao final do cap´ıtulo os Espac¸os Vetoriais Abstratos s ˜ao definidos. No Cap´ıtulo 5 s ˜ao abordados o produto escalar e bases ortonormais. Al ´em de subespac¸os ortogonais e quadrados m´ınimos.

Transformac¸ ˜oes Lineares de Rn^ em Rm^ s ˜ao estudadas no Cap´ıtulo 6. O Cap´ıtulo 7 traz um estudo

da diagonalizac¸ ˜ao de matrizes em geral e a diagonalizac¸ ˜ao de matrizes sim ´etricas atrav ´es de uma matriz ortogonal. ´E feita uma aplicac¸ ˜ao ao estudo das sec¸ ˜oes c ˆonicas.

Os exerc´ıcios est ˜ao agrupados em tr ˆes classes. Os “Exerc´ıcios Num ´ericos”, que cont ´em exerc´ıcios que s ˜ao resolvidos fazendo c ´alculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um com- putador ou de uma m ´aquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Te ´oricos”, que cont ´em exerc´ıcios que reque- rem demonstrac¸ ˜oes. Alguns s ˜ao simples, outros s ˜ao mais complexos. Os mais dif´ıceis complemen- tam a teoria e geralmente s ˜ao acompanhados de sugest ˜oes. Os “Exerc´ıcios usando o MATLABr”, que cont ´em exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLABr^ ou outro software. Os comandos necess ´arios a resoluc¸ ˜ao destes exerc´ıcios s ˜ao tamb ´em fornecidos juntamente com uma explicac¸ ˜ao r ´apida do uso. Os exerc´ıcios num ´ericos s ˜ao imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸ ˜ao dos outros, de- pende do n´ıvel e dos objetivos pretendidos para o curso.

O MATLABr^ e um software destinado a fazer c ´´ alculos com matrizes (MATLABr^ = MATrix LABo- ratory). Os comandos do MATLABr^ s ˜ao muito pr ´oximos da forma como escrevemos express ˜oes alg ´ebricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados `as rotinas pr ´e-definidas, pa-

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Marc¸o 2007

x Pref ´acio

Sugest ˜ao de Cronograma para 60 Horas

Cap´ıtulo 1 Sec¸ ˜oes 1.1 e 1.2 8 aulas Cap´ıtulo 2 Sec¸ ˜oes 2.1 e 2.2 8 aulas Cap´ıtulo 3 Sec¸ ˜oes 3.1 a 3.3 12 aulas Cap´ıtulo 4 Sec¸ ˜oes 4.1 e 4.2 8 aulas Cap´ıtulo 5 Sec¸ ˜oes 5.1 a 5.3 12 aulas Cap´ıtulo 7 Sec¸ ˜oes 7.1 a 7.3 12 aulas Total 60 aulas

Sugest ˜ao de Cronograma para 90 Horas

Cap´ıtulo 1 Sec¸ ˜oes 1.1 e 1.2 10 aulas Cap´ıtulo 2 Sec¸ ˜oes 2.1 e 2.3 12 aulas Cap´ıtulo 3 Sec¸ ˜oes 3.1 a 3.3 12 aulas Cap´ıtulo 4 Sec¸ ˜oes 4.1 a 4.3 12 aulas Cap´ıtulo 5 Sec¸ ˜oes 5.1 a 5.3 12 aulas Cap´ıtulo 6 Sec¸ ˜oes 6.1 a 6.3 15 aulas Cap´ıtulo 7 Sec¸ ˜oes 7.1 a 7.3 12 aulas Total 85 aulas

Hist ´orico

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Marc¸o 2007

Pref ´acio xi

Marc¸o 2007 A Sec¸ ˜ao 1.1 de Matrizes e a Sec¸ ˜ao 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na sec¸ ˜ao 1. o Teorema 1.4 voltou a ser que toda matriz ´e equivalente por linhas a uma ´unica matriz na forma escalonada reduzida. As sec¸ ˜oes 4.1, 5.1 e 5.3 foram reescritas e acrescentada uma aplicac¸ ˜ao a computac¸ ˜ao gr ´afica. Foi acrescentada a sub-sec¸ ˜ao opcional ’Diagonalizac¸ ˜ao de Operadores’ a sec ¸ ˜ao 7.1. Foram corrigidos alguns erros.

Maio 2004 Foram acrescentadas aplicac¸ ˜oes a criptografia (Exemplo na p ´agina 98 ) e a cadeias de Markov (Exemplos 1.9 na p ´agina 16 , 1.16 na p ´agina 55 e 7.8 na p ´agina 440 ). Foi acrescentado um exerc´ıcio na sec¸ ˜ao 1.1. Foi inclu´ıda a demonstrac¸ ˜ao de que toda matriz ´e equivalente por linhas a uma ´unica matriz escalonada reduzida. Este resultado era o Teorema 1.4 na p ´agina 26 que passou para o Ap ˆendice III da sec¸ ˜ao 5.2. O Teorema 1.4 agora cont ´em as propriedades da relac¸ ˜ao “ser equivalente por linhas” com a demonstrac¸ ˜ao. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. A sec¸ ˜ao ’Base e Dimens ˜ao’ foi reescrita. Foi acrescentada a Proposic¸ ˜ao 4.3 na p ´agina 269 que ´e ´util na obtenc¸ ˜ao de uma base para um subespac¸o. O Teorema 4.3 do Ap ˆendice III passou para o texto obrigat ´orio da sec¸ ˜ao 4.3 e ´e agora o Teorema 4.2 na p ´agina 255. Foram acrescentados alguns exemplos e alguns exerc´ıciosa sec¸ ˜ao 4.3. Os exemplos 7.4 na p ´agina 430 e 7.5 na p ´agina 437 foram modificados. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes’ ganhou mais um exerc´ıcio te ´orico.

Julho 2003 V ´arias correc¸ ˜oes incluindo respostas de exerc´ıcios. A sec¸ ˜ao ’Base e Dimens ˜ao’ foi re- escrita. Foi acrescentada uma sec¸ ˜ao de Espac¸os Vetoriais Abstratos no Cap´ıtulo 4. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes’ ganhou mais dois exerc´ıcios te ´oricos. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes Sim ´etricas’ ganhou um ap ˆendice sobre ’Autovalores Complexos’.

Julho 2002 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear’ para ser usado numa´ disciplina de Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear ou ´Algebra Matricial.

Marc¸o 2007 Reginaldo J. Santos

Cap´ıtulo 1

Matrizes e Sistemas Lineares

1.1 Matrizes

Uma matriz A, m × n (m por n), ´e uma tabela de mn n ´umeros dispostos em m linhas e n colunas

A =

a 11 a 12... a 1 n

a 21 a 22... a 2 n

am 1 am 2... amn

A i - ´esima linha de A e´ [

ai 1 ai 2... ain

]

2 Matrizes e Sistemas Lineares

para i = 1,... , m e a j - ´esima coluna de A e´

a 1 j

a 2 j

amj

para j = 1,... , n. Usamos tamb ´em a notac¸ ˜ao A = (aij )m×n. Dizemos que aij ou [A]ij e o´ elemento

ou a entrada de posic¸ ˜ao i, j da matriz A.

Se m = n, dizemos que A e uma´ matriz quadrada de ordem n e os elementos a 11 , a 22 ,... , ann

formam a diagonal (principal) de A.

Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:

A =

[

]

, B =

[

]

, C =

[

]

D =

[

]

, E =

 e F =

[

]

As matrizes A e B s ˜ao 2 × 2. A matriz C e´ 2 × 3 , D e´ 1 × 3 , E e´ 3 × 1 e F e´ 1 × 1. De acordo

com a notac¸ ˜ao que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima s ˜ao

a 12 = 2, c 23 = − 2 , e 21 = 4, [A] 22 = 4, [D] 12 = 3.

Uma matriz que s ´o possui uma linha ´e chamada matriz linha , e uma matriz que s ´o possui uma

coluna ´e chamada matriz coluna , No Exemplo 1.1 a matriz D e uma matriz linha e a matriz´ E e uma´

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Marc¸o 2007

4 Matrizes e Sistemas Lineares

Exemplo 1.2. Considere as matrizes:

A =

[

]

, B =

[

]

Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, ent ˜ao

C = A + B =

[

]

[

]

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Marc¸o 2007

1.1 Matrizes 5

Definic¸ ˜ao 1.2. A multiplicac¸ ˜ao de uma matriz A = (aij )m×n por um escalar (n ´umero) α e definida´

pela matriz m × n

B = αA

obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α, ou seja,

bij = α aij ,

para i = 1,... , m e j = 1,... , n. Escrevemos tamb ´em [αA]ij = α aij. Dizemos que a matriz B e´

um m ´ultiplo escalar da matriz A.

Exemplo 1.3. O produto da matriz A =

 pelo escalar − 3 e dado por´

− 3 A =

Marc¸o 2007 Reginaldo J. Santos

1.1 Matrizes 7

e dizemos “somat ´orio de k variando de 1 a p de aikbkj ”. O s´ımbolo

∑^ p

k=

significa que estamos fazendo

uma soma em que o ´ındice k est ´a variando de k = 1 at ´e k = p. Algumas propriedades da notac¸ ˜ao

de somat ´orio est ˜ao explicadas no Ap ˆendice I na p ´agina 33.

Exemplo 1.4. Considere as matrizes:

A =

[

]

, B =

Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B, ent ˜ao

C = AB =

[

]

[

]

Observac¸ ˜ao. No exemplo anterior o produto BA n ˜ao est ´a definido (por que?). Entretanto, mesmo

quando ele est ´a definido, BA pode n ˜ao ser igual a AB, ou seja, o produto de matrizes n ˜ao ´e comu-

tativo , como mostra o exemplo seguinte.

Marc¸o 2007 Reginaldo J. Santos

8 Matrizes e Sistemas Lineares

Exemplo 1.5. Sejam A =

[

]

e B =

[

]

. Ent ˜ao,

AB =

[

]

e BA =

[

]

Vamos ver no pr ´oximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativa- mente um processo de produc¸ ˜ao.

Exemplo 1.6. Uma ind ´ustria produz tr ˆes produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X s ˜ao utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B s ˜ao

necess ´arios na produc¸ ˜ao de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z.

X Y Z

gramas de A/kg gramas de B/kg

[

]

= A X =

x

y

z

kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos

AX =

[

x + y + z

2 x + y + 4z

]

gramas de A usados gramas de B usados

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