Juros compostos, Notas de estudo de Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

JUROS COMPOSTOS

JUROS COMPOSTOS

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.

O conceito de montante é o mesmo definido para a capitalização simples, ou seja, é a soma do capital acrescido dos juros correspondentes ao período de tempo da aplicação. A nomenclatura é a mesma já definida para juros simples (C, M, r, i, n).

Logo:

JUROS COMPOSTOS: É aquele que em cada período financeiro, a partir do

segundo, é calculado sobre o montante do período anterior.

OBS: A taxa de juros deve ser a mesma no período avaliado.

CONVENÇÕES:

Para calcular expoentes, usamos uma das seguintes técnicas:

¾ Calculadora Financeira ¾ Tabelas Financeiras ¾ Logaritmos Decimais (Base 10) ¾ Logaritmos Neperianos (Base = 2,717...) ¾ (1 + i ) n^ = Fator de capitalização

NOMENCLATURA:

C = Capital n = Período de tempo r = taxa percentual i = taxa centesimal M = Montante

c) Calcule o montante de um Capital de R$ 20.000,00 aplicado a juros compostos a taxa de 3,5% ao mês durante 35 meses?

C = 20.000, r = 3,5 % am i = 3,5/100 = 0, n = 35 meses M = 20.000,00 ( 1 + 0,035 )^35 M = 20.000,00. 3,

M = R$ 66.671,

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Calcule o montante de R$ 50.000,00 aplicado a juros compostos 2,25% am no fim de 4 meses?

2. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 pôr um prazo de 8 meses no regime de capitalização composta à taxa de 15% ao mês?

3. Calcule o Montante de uma aplicação de R$ 100.000,00, á taxa de 5% am pelo prazo de 1 mês.

4. Calcule o montante de uma aplicação a juros compostos de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses á 3% ao mês?

5. Em que prazo um empréstimo de R$ 30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês?

6. A que taxa um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses?

Respostas

1. M = R$ 54.654,

2. M = R$ 9.237,

3. M = R$ 105.000,

4. M = R$ 17.910,

5. n = 11 meses

6. r = 3,93% a.m.

Cálculo do Capital

Fórmula:

C = M. 1 _

( 1 + i ) n

C = M. ( 1 + i ) -n OU

EXEMPLO:

a) Calcule o Capital inicial que no prazo de 5 meses , à 3 % am produziu o montante de R$ 40.575,00?

C =? n = 5 meses r = 3 % a.m. i = 3/100 = 0,03 a.m. M = 40.575,

C = 40.575,00. (1 + 0,03)-

C = 40.575,00. _____1_____

C = 40.575,00. _____1_____

C = 40.575,00. 0,

C = R$ 35.000,

b) Sabendo-se que um capital inicial em regime de juros compostos, à taxa de 2,5% a.m., durante 4 meses rendeu o montante de R$ 79.475,00. Calcule o Capital?

Cálculo do Período de Tempo

Exemplo : Em que prazo uma aplicação de R$ 10.000,00, produz um montante de R$ 20.000,00 , à taxa de 4% ao mês?

M = C ( 1 + i )n

20.000,00=10.000,00 (1 + 0,04)n

20.000,00 = 1,04 n 10.000,

2 = 1,04 n^ ( Podemos acrescentar Ln ou log. dos dois lados da igualdade que não alteramos a igualdade ).

ln 2 = ln 1,04 n^ (usando a propriedade dos logaritmos, o expoente passa a multiplicar a base).

ln 2 = n. ln 1,

0,69315 = n. 0,

0,69315 = n 0,

17,67338 meses = n

n = 17,67338 meses

Cálculo da Taxa de Juros

Exemplo : Um capital inicial de R$ 320.000,00 foi aplicado a juros compostos por um período de 6 meses , e rendeu um montante de R$ 404.900,00. Calcule a taxa de juros da operação?

M = C ( 1 + i ) n

404.900,00 = 320.000,00 ( 1 + i ) 6

404.900,00 = ( 1 + i ) 6 320.000,

1,26531 = ( 1 + i ) 6 ( Podemos acrescentar uma raíz de grau 6 dos dois lados da igualdade que não se altera a igualdade).

6 6 1,26531 = (1 + i) 6

(1,26531) 1/6^ = 1 + i

1,04082 = 1 + i

1,04082 - 1 = i

0,04082 = i

i = 0,

OU

r = i. 100 = 0,04082. 100 = 4,08% ao mês

TAXAS EQUIVALENTES

Definição: São aquelas que, referindo-se a unidades de tempo diferentes (ano, mês, dia,

etc...), fazem com que o capital produza o mesmo montante no mesmo período de tempo.

OBS : Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes. EX: 24 % ao ano não é equivalente à 2% ao mês. As taxas proporcionais variam linearmente em função do tempo e as taxas equivalentes variam exponencialmente em função do tempo..

Convenções para Transformação de Períodos de Tempo

De Ano para:

9 Semestre = ½ 9 Trimestre=1/ 9 Bimestre = 1/ 9 Mês = 1/ 9 Dia = 1/

De Dia para :

9 Mês = 30 9 Bimestre = 60 9 Trimestre= 90 9 Semestre= 180 9 Ano = 360

FÓRMULA DE TAXA EQUIVALENTE

( 1 + i ) n^ - 1

EXEMPLO:

a) Calcule a taxa trimestral equivalente à 30% ao ano.

(1 + 0,3)1/4^ -1 (1,3) 0,25^ - 1 1, i = 0,06779 ao trimestre

b) Considerando que a inflação média dos últimos 12 meses tem sido de aproximadamente 1,6 % ao mês, projete a inflação anual.

( 1 + 0,016) 12 - 1 (1,016) 12 - 1 1,20983 - 1

i = 0,020983 ou r = 0,020983 x 100 = 20,983 ao ano

Exercicios:

1. Calcule a taxa equivalente à 0,9 % ao dia : a) Mensal b) Bimensal c) Trimestral d) Semestral e) Anual f) Trianual

2. Calcule a taxa equivalente à 120 % ao ano : a) Semestral b) Trimestral c) Bimestral d) Mensal e) Diária

3. Calcule as taxas proporcionais e equivalentes à 158% ao ano : a) Semestral b) Trimestral c) Bimestral d) Mensal e) Diária

4. Calcule as taxas proporcionais e equivalentes à 0,2 % ao dia : a) Mensal b) Bimensal c) Trimestral d) Semestral e) Anual f) Trianual

Lista de Exercícios - JUROS COMPOSTOS

1. Dada a taxa de juros de 138% ao ano, calcule as taxas proporcionais e as equivalentes, nas seguintes condições: a)Diária; b) quinzenal; c) mensal; d) bimensal; e)trimestral; f)semestral.
2. Dada a taxa de juros de 0,02% ao dia, calcule as taxas proporcionais e a equivalentes nas seguintes condições: a) Quinzenal; b) mensal; c)bimestral; d)trimestral; e) semestral; f) anual; g) quinzenal.
3. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80.000,00, á taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 3 meses.
4. A técnica de calculo de juros compostos permite trabalhar com taxas variáveis no tempo?
5. Determine o juro de uma aplicação de R$200.000,00, á 4,5% ao mês, capitalizado semestralmente durante 8 meses.
6. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800,00, em regime de juros compostos, aplicado por 4 meses , á taxa de 38% ao ano.
7. Determine o Capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$197.521,.
8. Quanto devo aplicar, em regime de juro composto, á taxa de 30% ao ano, para obter em 1 ano e 3 meses a importância de R$ 694.063,.
9. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzira um montante de R$ 146.853,00, á taxa de 3% ao mês.
10. Durante quanto tempo R$ 25.000,00 produzem R$14.846,00 de juro, á taxa de 24% ao ano, capitalizado trimestralmente.
11. Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado a juro composto durante 7 meses, rendendo R$ 37.737,00 de juro.Determine a taxa de aplicação.
12. O capital de R$ 120.000,00, colocado a juro composto capitalizado mensalmente durante 8 meses, elevou-se ao final deste período a R$ 155.590,00.Calcule a taxa de juros.
13. Em quanto tempo uma aplicação renderá o dobro de seu valor á taxa de 2 % ao mês?
14. Qual a diferença fundamental entre taxa proporcional e taxa equivalente? Justifique e exemplifique sua resposta.
15. Qual o montante produzido por R$ 150.000,00 aplicado à juros compostos à taxa de 180% ao ano, por dois meses?

16. Estabeleça quais os procedimentos (seqüências, operações, etc...), para resolver todos os exercícios acima, utilizando a sua calculadora financeira; exemplifique com detalhes.
17. Calcule o Capital aplicado à juros compostos que rendeu R$ 28.000,00 , num período de 3 meses, à taxa de 80 % ao ano?
18. Calcule o montante de uma aplicação a juros compostos, de capital inicial de R$ 58.000,00, aplicado por 8 meses, à taxa de juros de 0,87% ao dia?
19. Em que prazo uma aplicação de R$ 1.500.000,00 produz um montante de R$ 3.000.000,00, à taxa de juros de 10% ao mês?

RESPOSTAS

1. A) i = 0,00241 ao dia B) i = 0,03679 quinzenal C) i = 0,07493 ao mês D) i = 0,15548 ao bimestre E) i = 0,24206 ao trimestre F) i = 0,54272 ao semestre

2. A) i = 0,003 quinzenal B) i = 0,00602 ao mês C) i = 0,01207 ao bimestre D) i = 0,01816 ao trimestre E) i = 0,03665 ao semestre F) i = 0,07465 ao ano G) i = 0,003 quinzenal

3. M = R$ 87418,

5. J = R$ 12.089,

6. M = R$ 7.570,

7. C = R$ 149.999,

8. C = R$ 499.999,

9. n = 13 meses

10. n = 9 meses

11. r = 2,50% a.m.