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Exerc´ıcios Resolvidos: Limite de Fun¸c˜oes com
Descontinuidade
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Atualizado em 06/03/
Ao contr´ario do que acontece com as fun¸c˜oes polinomiais, cujos gr´aficos podem ser tra¸cados
sem que se tire o l´apis do papel, os gr´aficos de fun¸c˜oes do tipo y =
p(x)
q(x)
s˜ao as vezes constitu´ıdos
por partes separadas, isto ´e, existe uma “quebra” ou descontinuidade no gr´afico. Fun¸c˜oes cu-
jos gr´aficos apresentam esta caracter´ıstica s˜ao ditas descont´ınuas. Um exemplo de fun¸c˜ao de-
scont´ınua ´e a fun¸c˜ao f (x) =
x^2 − x − 2
x + 1
que possui uma quebra no ponto em que x = 1.
Fun¸c˜oes como f (x) n˜ao possuem valor definido no ponto de descontinuidade mas, isto n˜ao
quer dizer que n˜ao possui valor de limite. A fun¸c˜ao f (x), por exemplo, ´e indefinida para x = 1
contudo, lim x→− 1
x 2 − x − 2
x + 1
´e igual a − 3
A seguir ser´a apresentado 5 estrat´egias para resolver limites de fun¸c˜oes com descontinuidade.
No entanto, embora essas estrat´egias estejam sendo apresentadas de forma separada a resolu¸c˜ao
de alguns limites envolvem a combina¸c˜ao de duas ou mais delas.
ESTRAT´EGIA 1: E aplic´´ avel a fun¸c˜oes do tipo:
p(x)
q(x)
Onde p(x) e q(x) s˜ao polinˆomios e p(x) ´e divis´ıvel por q(x). A estrat´egia ´e fatorar p(x) e
simplificar a fun¸c˜ao.
Exemplo 1: Calcule lim x→− 1
x 2 − x − 2
x + 1
Solu¸c˜ao
lim x→− 1
x 2 − x − 2
x + 1
= lim x→− 1
(x + 1)(x − 2)
(x + 1)
= lim x→− 1
(x − 2)
Agora a indetermina¸c˜ao que ocorreria se tiv´essemos substitu´ıdo x por -1 desapareceu. De
modo que finalmente podemos calcular o valor do limite da fun¸c˜ao pela simples substitui¸c˜ao de
x pelo seu valor de tendˆencia.
lim x→− 1
(x − 2) = − 1 − 2 = − 3
Exemplo 2: Calcule lim x→ 2
x^2 + x − 6
x − 2
Solu¸c˜ao
lim x→ 2
x^2 + x − 6
x − 2
= lim x→ 2
(x + 3)
(x − 2)
(x − 2)
= lim x→ 2
(x + 3) = 2 + 3 = 5
Exemplo 3: Calcule lim x→ 9
9 − t
3 −
t
Solu¸c˜ao
lim x→ 9
9 − t
3 −
t
= lim x→ 9
t) (3 −
t)
t
= lim x→ 9
t) = 3 +
ESTRAT´EGIA 2: E aplic´´ avel tamb´em a fun¸c˜oes do tipo:
p(x)
q(x)
S´o que diferente do 1◦^ m´etodo tanto p(x) como q(x) s˜ao fator´aveis e possuem ao menos um
fator em comum. A estrat´egia consiste em fatorar tanto p(x) como q(x) e em seguida realizar as
devidas simplifica¸c˜oes da fun¸c˜ao.
Exemplo 1: Calcule lim x→ 2
x^3 − x^2 − 2 x
x^2 − 3 x + 2
Solu¸c˜ao
Primeiro vamos fatorar o numerador
x 3 − x 2 − 2 x = x(x 2 − x − 2) = x(x − 2)(x + 1)
Em seguida fatoramos o denominador
x 2 − 3 x + 2 = (x − 1)(x − 2)
Finalmente calcula-se o limite
ESTRAT´EGIA 3: ´E aplic´avel a fun¸c˜oes racionais com radical no numerador ou denomi-
nador como, por exemplo:
f (x) =
x + 3
9 − x
; g(x) =
x 2 √ x^2 + 12
A estrat´egia ´e multiplicar a fun¸c˜ao (“em cima e em baixo”), pelo conjugado do numerador
ou do denominador. Emfim, da parte que contem o radical.
Exemplo 1: Calcule lim x→ 0
x^2 + 9 − 3
x^2
Solu¸c˜ao
lim x→ 0
x^2 + 9 − 3
x^2
= lim x→ 0
x^2 + 9 − 3
x^2
x^2 + 9 + 3 √ x^2 + 9 + 3
= lim x→ 0
x 2
x^2
x^2 + 9 + 3
= lim x→ 0
x^2 + 9 + 3
Exemplo 2: Calcule lim x→ 2
x − 2 √ x^2 + 5 − 3
Solu¸c˜ao
lim x→ 2
x − 2 √ x^2 + 5 − 3
= lim x→ 2
x − 2 √ x^2 + 5 − 3
x^2 + 5 + 3 √ x^2 + 5 + 3
= lim x→ 2
(x − 2)(
x^2 + 5 + 3)
(x − 2)(x + 2)
= lim x→ 2
x^2 + 5 + 3
x + 2
Exemplo 3: Calcule lim x→ 8
x + 1 − 3
x − 8
Solu¸c˜ao
lim x→ 8
x + 1 − 3
x − 8
= lim x→ 8
x + 1 − 3
x − 8
x + 1 + 3 √ x + 1 + 3
= lim x→ 8
x + 1 + 3
Exemplo 4: Calcule lim x→ 0
x^2 √ x^2 + 12 −
Solu¸c˜ao
lim x→ 0
x 2 √ x^2 + 12 −
= lim x→ 0
x 2 (
x^2 + 12 +
x^2 + 12 −
x^2 + 12 +
= lim x→ 0
x^2 (
x^2 + 12 +
(x^2 + 12) − 12
= lim x→ 0
x^2 + 12 +
ESTRAT´EGIA 5: Algumas indetermina¸c˜oes podem ser retiradas apenas desenvolvendo
um pouco a fun¸c˜ao e realizando simplifica¸c˜oes.
Exemplo 1: Encontre lim x→ 0
(x + 3) 3 − 27
x
Solu¸c˜ao
lim x→ 0
(x + 3)^3 − 27
x
= lim x→ 0
x^3 + 9x^2 + 27x + 27 − 27
x
lim x→ 0
x(x^2 + 9x + 27)
x
= lim x→ 0
(x 2
Exemplo 2: Calcule lim x→ 0
x
5 + x
5 − x
Solu¸c˜ao
lim x→ 0
x
5 + x
5 − x
= lim x→ 0
x
(^2) x
25 − x^2
= − lim x→ 0
25 − x^2
lim x→ 0
x(x 2
x
= lim x→ 0
(x 2
Exemplo 3: Calcule lim x→− 2
x
1 2 x^3 + 8
Solu¸c˜ao
lim x→− 2
x +^
1 2 x^3 + 8
= lim x→− 2
2 + x
2 x(x^3 + 8)
lim x→− 2
2 + x
2(x^4 + 8x)
= lim x→− 2
(2 + x)
2[
(2 + x)(x^3 − 2 x^2 + 4x)]
lim x→− 2
2 x^3 − 4 x^2 + 8x
2(−2)^3 − 4(−2)^2 + (−2)
Estas cinco estrat´egias servir˜ao para o calculo do limite de v´arias fun¸c˜oes. Mas caso algum
limite n˜ao se enquadre em nenhum deles (o que acontecer´a em v´arios casos), haver˜ao duas
hip´oteses a serem consideradas: a resolu¸c˜ao do limite deve envolver uma estrat´egia diferente das
abordadas ou a fun¸c˜ao simplesmente n˜ao possui limite.
Em uma disciplina introdut´oria de limite como c´alculo 1 ou pr´e calculo o mais prov´avel ´e que
a fun¸c˜ao n˜ao tenha limite mesmo. Isso se deve ao fato de que a maioria dos professores tˆem bom
senso em evitar quest˜oes demasiadamente dif´ıceis.
O limite a seguir ´e um exemplo que foge a regra das estrat´egias apresentadas. Para resolve-lo
usamos as equa¸c˜oes.
(a 3 − b 3 ) = (a − b)(a 2
(a 4 − b 4 ) = (a − b)(a + b)(a 2
lim x→ 1
x − 1 4
x − 1
= lim x→ 1
x − 1 4
x − 1
x) 2
x + 1
( 3
x)^2 + 3
x + 1
lim x→ 1
x − 1
(
3
x^2 + 3
x + 1)( 4
x − 1)
= lim x→ 1
x − 1
(
3
x^2 + 3
x + 1)( 4
x − 1)
x + 1)((
x) 2
( 4
x + 1)(( 4
x)^2 + 1^2 )
lim x→ 1
x + 1)(
x + 1)
( 3
x)^2 + 3
x + 1
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
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