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Exerc´ıcios Resolvidos: Limite de Fun¸c˜oes Trigonom´etricas
Com Descontinuidade
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Atualizado em 06/03/
Como calcular?
Normalmente ´e necess´ario o conhecimento de duas coisas para resolu¸c˜ao deste tipo de lim-
ite: algumas rela¸c˜oes trigonom´etricas e o resultado de outros limites conhecidos como limites
fundamentais.
Limites Resolvidos Por Meio de Rela¸c˜oes Trigonom´etricas
Alguns limites exigem o uso de algumas rela¸c˜oes trigonom´etricas.
Exemplo 1: Encontre lim x→ 0
1 − cos(x)
sen(x)
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
1 − cos(x)
sen(x)
= lim x→ 0
(1 − cos(x))
sen(x)
(1 + cos(x))
(1 + cos(x))
= lim x→ 0
1 − cos
2 (x)
sen(x)(1 + cos(x))
Como cos
2 (x) + sen
2 (x) = 1 ent˜ao:
lim x→ 0
1 − cos
2 (x)
sen(x)(1 + cos(x))
= lim x→ 0
sen
2 (x)
sen(x)(1 + cos(x))
= lim x→ 0
sen(x)
1 + cos(x)
sen(0)
1 + cos(0)
Exemplo 2: Determine lim x→π/ 4
sen(x) − cos(x)
1 − tg(x)
Solu¸c˜ao:
Como tg(x) =
sen(x)
cos(x)
ent˜ao:
lim x→π/ 4
sen(x) − cos(x)
1 − tg(x)
= lim x→π/ 4
sen(x) − cos(x)
sen(x)
cos(x)
= lim x→π/ 4
cos(x)(sen(x) − cos(x))
cos(x) − sen(x)
= lim x→π/ 4
−cos(x)(cos(x) − sen(x))
cos(x) − sen(x)
lim x→π/ 4
cos(x) ((((((((
(cos(x) − sen(x))
cos(x) − sen(x))
= lim x→π/ 4
cos(x)
= lim x→π/ 4
(−cos(x)) = −cos (π/4) = −
Exemplo 3: Encontre lim x→ 0
x 5
tg(x) − sen(x)
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
x
5
3
tg(x) − sen(x)
= lim x→ 0
x(x
4
2 )
tg(x) − sen(x)
= lim x→ 0
x
4
2
tg(x) − sen(x)
x
Como tg(x) =
sen(x)
cos(x)
ent˜ao:
lim x→ 0
x 4
tg(x) − sen(x)
x
= lim x→ 0
x 4
sen(x)
x
cos(x)
sen(x)
x
lim x→ 0
x
4
2
sen(x)
x
cos(x)
sen(x)
x
Exemplo 4: Encontre lim x→ 0
sen(x) − cossec(x)
x − cotg 2 (x)
Solu¸c˜ao:
Como cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
e cossec(x) =
sen(x)
ent˜ao:
Limites Resolvidos Atrav´es de Limites Fundamentais
Limites Fundamentais:
lim x→ 0
sen(ax)
ax
lim x→ 0
tg(ax)
ax
Exemplo 1: Encontre lim x→ 0
sen(3x)
sen(5x)
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
sen(3x)
sen 5 x
= lim x→ 0
sen(3x)
x
sen(5x)
x
= lim x→ 0
sen(3x)
3 x
sen(5x)
5 x
Usando (1)
lim x→ 0
sen(3x)
3 x
sen(5x)
5 x
Exemplo 2: Encontre lim x→ 0
2 · tg
2 (x)
x 2
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
2 · tg 2 (x)
x 2
= lim x→ 0
sen(x)
cos(x)
x 2
= lim x→ 0
2 · sen 2 (x)
x 2 · cos 2 (x)
= lim x→ 0
(2) · lim x→ 0
sen(x)
x
· lim x→ 0
cos 2 (x)
Usando (1)
Exemplo 3: Mostre que lim x→ 0
sen(2x)
3 x
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
sen(2x)
3 x
· lim x→ 0
sen(2x)
x
lim x→ 0
sen(2x)
2 x
Usando (1)
· lim x→ 0
sen(2x)
2 x
Exemplo 4: Encontre lim x→ 0
sen(x)
tg(5x)
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
sen(x)
tg(5x)
= lim x→ 0
sen(x)
x
tg(5x)
x
= lim x→ 0
sen(x)
x
5 · tg(5x)
5 x
lim x→ 0
sen(x)
x
lim x→ 0
5 · tg(5x)
5 x
lim x→ 0
sen(x)
x
5 · lim x→ 0
tg(5x)
5 x
Usando (1)
Limites Resolvidos Por Meio de Rela¸c˜oes Trigonom´etricas e Limites
Fundamentais
Exemplo 1: Encontre lim x→ 0
tg(x) − sen(x)
x 3
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
tg(x) − sen(x)
x 3
= lim x→ 0
sen(x) cos(x) − sen(x)
x 3
(^) = lim x→ 0
sen(x) − cos(x) · sen(x)
x 3 cos(x)
= lim x→ 0
sen(x)(1 − cos(x))
x 3 cos(x)
N˜ao ´e poss´ıvel fazer:
lim x→ 0
sen(x)
x
· lim x→ 0
1 − cos(x)
x 2 cos(x)
pois lim x→ 0
x
2 cos(x)
Assim devemos continuar procurando.
lim x→ 0
senx(1 − cos(x))
x 3 cos(x)
sen(x)(1 − cos(x))(1 + cos(x))
x 3 cos(x)(1 + cos(x))
sen(x)(1 − cos
2 (x))
x 3 (cos(x) + cos 2 (x))
= lim x→ 0
sen(x)(sen 2 (x))
x 3 (cos(x) + cos 2 (x))
= lim x→ 0
sen 3 (x)
x 3 (cos(x) + cos 2 (x)
= lim x→ 0
sen 3 (x)
x 3
cos(x) + cos 2 (x)
= lim x→ 0
sen(x)
x
· lim x→ 0
cos(x) + cos 2 (x)
3 ·
2
Exemplo 2: Encontre lim x→ 0
cos(x) − 1
x
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
cos(x) − 1
x
= lim x→ 0
(cos(x) − 1)(cos(x) + 1)
x(cos(x) + 1)
= lim x→ 0
cos
2 (x) − 1
2
x(cos(x) + 1)
Como cos
2 (x) + sen
2 (x) = 1 ent˜ao
lim x→ 0
cos 2 − 1
x(cosx + 1)
= lim x→ 0
sen 2 x
x(cosx + 1)
lim x→ 0
senx
x
· lim x→ 0
(sen(x)) · lim x→ 0
cos(x) + 1
Exemplo 3: Encontre lim x→ 0
(x · cotg(x))
Solu¸c˜ao:
lim x→ 0
(x · cotg(x)) = lim x→ 0
x · cos(x)
sen(x)
= lim x→ 0
x
sen(x)
· lim x→ 0
(cos(x)) = lim x→ 0
x
sen(x)
= lim x→ 0
x
sen(x)
= lim x→ 0
x
x
sen(x)
x
lim x→ 0
lim x→ 0
sen(x)
x
