Baixe limite indeterminado e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Exerc´ıcios Resolvidos: Limites que Resultam em
Indetermina¸c˜oes
Contato: [email protected] Atualizado em 06/03/
Como calcular?
Por mais que se tente alguns limites n˜ao podem ser calculados.
Essa ultima afirma¸c˜ao da margem a eterna pergunta: “como ´e que eu sei se um limite tˆem solu¸c˜ao?”.
A melhor forma ´e conhecer o gr´afico da fun¸c˜ao. Por exemplo, considere o gr´afico de f(x) abaixo.
Temos dois pontos interessantes aqui. O ponto que ocorre em x = -1 e em x = 6. E evidente´ que f(x) n˜ao existe para x = -1, mas note que tanto pela direita como pela esquerda a fun¸c˜ao est´a tendendo para 5. Assim o limite de f(x) quando x tende a -1 ´e 5.
No entanto quando f(x) se aproxima de 6 pela esquerda a fun¸c˜ao de aproxima de 5. Quando se aproxima pela direita f(x) tende a 1. Como os limites laterais s˜ao diferentes ent˜ao n˜ao existe limite de f(x) quando x tende a 6.
De um modo geral uma fun¸c˜ao n˜ao tˆem limite quando apresenta uma descontinuidade do tipo “salto” como ocorre em x = 6, ou se a fun¸c˜ao possui uma assintota vertical no ponto para o qual o x est´a tendendo (caso mais comum).
Exemplo 1: Calcule lim x→ 3
x^2 + x + 2 x^2 − 2 x − 3
Solu¸c˜ao:
Primeiro vamos partir da premissa de que o limite exista. Assim vamos verificar se ´e poss´ıvel remover a indetermina¸c˜ao que ter´ıamos caso fiz´essemos a substitui¸c˜ao do x pelo 3.
A primeira coisa que podemos tentar ´e fatorar o numerador ou denominador da fun¸c˜ao. Contudo, apesar do denominador ser fator´avel o numerador n˜ao ´e.
lim x→ 3
x^2 + x + 2 x^2 − 2 x − 3
= lim x→ 3
x^2 + x + 2 (x + 1)(x − 3)
Assim por meio da fatora¸c˜ao n˜ao conseguiremos eliminar a indetermina¸c˜ao.
Vamos agora testar a possibilidade do limite n˜ao existir.
Primeiro fazemos f(3).
f (x) =
x^2 + x + 2 x^2 − 2 x − 3
⇒ f (3) =
O resultado (zero no denominador), sugere a existˆencia de uma assintota vertical^1 em x = 3.
Se isso ocorrer ent˜ao o limite acima n˜ao ter´a mesmo solu¸c˜ao. Pois, os valores a direita e a esquerda da ass´ıntota ser˜ao diferentes.
Aproxima¸c˜ao pela esquerda
f (2.999) = − 3499. 13 f (2.9999) = − 34999. 13
Aproxima¸c˜ao pela direita
f (3.001) = 3500. 88 f (3.0001) = 35000. 88
Observe que quando f(x) tende a 3 pela esquerda obtemos um valores muito pequenos e quando tende a trˆes pela direita obtemos valores muito grandes. Assim como uma varia¸c˜ao muito grande entre eles. Com isso se conclui que a assintota vertical realmente existe e que que portanto o limite em quest˜ao n˜ao tˆem solu¸c˜ao.
Exemplo 2: Verifique se existe o limite lim x→ 0
x^4 + 5x − 3 2 −
x^2 + 4
Solu¸c˜ao:
Novamente partimos da premissa que o limite existe.
Para retirar a indetermina¸c˜ao que ter´ıamos, caso substitu´ıssemos o x por zero, vamos multi- plicar a fun¸c˜ao pelo conjugado do denominador.
(^1) Ver assintota vertical.
Exemplo 3: Verifique se existe lim x→ 0
x^2 − 1 x
Solu¸c˜ao:
Aparentemente n˜ao existe nada que possamos fazer para remover a indetermina¸c˜ao de f(0). O que nos leva a crer que o limite sugerido n˜ao exista.
Calculando f(0) ter´ıamos:
f (0) =
Esse resultado sugere uma assintota vertical em x = 0. Testando numericamente essa fun¸c˜ao chega-se a conclus˜ao de que essa ass´ıntota de fato existe e portanto, o limite n˜ao tˆem solu¸c˜ao.
Exemplo 4: Calcule lim x→ 1
x^2 + 1 x^2 − 4 x + 3
Solu¸c˜ao:
Fatorando o denominado ainda n˜ao conseguimos remover a indetermina¸c˜ao. Pois, embora o denominador seja fatur´avel o numerador n˜ao ´e.
lim x→ 1
x^2 + 1 x^2 − 4 x + 3
= lim x→ 1
x^2 + 1 (x − 1)(x − 3)
Calculando f(1) ter´ıamos:
f (x) =
x^2 + 1 x^2 − 4 x + 3
⇒ f (1) =
Esse resultado sugere uma ass´ıntota vertical em x = 1. Testando numericamente a fun¸c˜ao
f (x) = x^2 + 1 x^2 − 4 x + 3
constatamos essa teoria.
Assim o limite requerido n˜ao possui solu¸c˜ao.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para [email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
