Limite e continuidade, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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Funções de mais de uma

variável - Limite e

Continuidade

Everton Lopes

O conceito de limite de uma função de duas ou mais variáveis é análogo ao caso de uma variável. Vimos que a noção de vizinhança de um ponto foi fundamental na definição de limite de uma só variável. A vizinhança de um ponto x o em R é qualquer intervalo aberto que contenha x o

Trabalhamos, em geral, com vizinhanças centradas em xo e de raio r, ou seja, intervalos da forma ] x o  r, x o

• r [. xo  r xo xo + r

Analogamente, no espaço uma vizinhança de centro em P o e raio r é o interior da esfera de centro em P o e raio r. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis de domínio D e seja P o = (x o ,y o ) um ponto tal que qualquer vizinhança de P o contém pelo menos um ponto de D distinto de P o

(xo,yo) xo yo Estamos interessados em descrever o comportamento de z = f(x,y) para pontos próximos de P o

Consideremos a seguinte função 2 x y 2 xy y xy 2 x f(x,y ) 2 2      O domínio dessa função é o conjunto dos pontos do R 2 tais que 2x  y  0, ou seja, é todo o plano menos a reta y = 2x. 1 2 função quando (x,y) se aproxima de P o

isto é, quando (x,y)  (1,2). O ponto P o (1,2)  D(f) mas qualquer vizinhança de P o contém pontos de D Vamos analisar o comportamento dessa

No caso de função de uma variável temos o limite de uma função existe se e somente se os limites laterais são iguais lim f(x) L lim f(x) lim f(x)^ L x xo x x o x xo          Para o caso de uma função de uma variável cujo domínio está em R, temos que a variável x pode se aproximar de x o por dois “caminhos”: vindo pela direita ou pela esquerda de x o

 xo 

No caso de uma função de duas variáveis z = f(x,y) um ponto P(x,y) pode se aproximar de P o =(x o ,y o ) por uma infinidade de caminhos. Po Análogo ao caso de uma variável, temos o seguinte resultado: Se uma função z = f(x,y) tem limites diferentes quando (x,y) se aproxima de (xo,yo) por caminhos diferentes, então lim f(x,y^ ) ( x,y) (xo,yo) não existe.

Substituindo na expressão da função temos 2 2 2 2 2 2 2 1 k k x ( 1 k ) kx x k x xkx f (x,kx )       Assim, 2 2 2 2 ( x,kx) ( 0 , 0 ) x (^01) k k x ( 1 k ) x k lim f(x,kx) lim       Logo, para cada valor de k temos um valor distinto para o limite e portanto o limite não existe Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e Po(xo,yo) um ponto do domínio de f. Dizemos que f é contínua em Po se, e somente se lim f(x,y) f(xo,yo^ ) (x,y) (xo,yo )  

Observações:

1. A definição é análoga para funções de n variáveis não for igual ao valor da função no ponto, dizemos que a função
2. Se a condição não for satisfeita, isto é, se o limite não existir ou é descontínua em (xo,yo) ou que (xo,yo) é um ponto de descontinuidade da função
3. Se f e g são contínuas em Po, então f  g, f.g são contínuas em Po e f /g é contínua em Po se g(Po)  0
4. Funções polinomiais e racionais são contínuas em seus domínios