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limites aula 3
Tipologia: Notas de aula
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•Interpretar os limites infinitos, apresentando aplicações relacionadas à área de Economia.
Agora atribuímos a x valores próximos de 2, à direita
Para melhor compreensão observe o esboço do gráfico desta função. A partir desta idéia, podemos enunciar a seguinte definição: Seja f uma função que esta definida em todo número de algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a. À medida que x se aproxima de a, f(x) aumenta ilimitadamente, então, diz-se que f tem limite infinito positivo, 2, quer pela esquerda, quer pela direita, f(x) assume valores cada vez menores (decresce ilimitadamente). Logo podemos escrever x f(x) 2
Observemos que, quando x tende a 3 pela direita, f(x) assume valores positivos arbitrariamente Grandes (aumenta ilimitadamente). Assim: Por outro lado, quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) assume valores cada vez menores (decresce ilimitadamente). Assim: Atribuindo a x os valores 10, 100, 10000 e assim por diante, de tal forma que x cresça ilimitadamente, o valor da função f(x) se aproxima de zero. Assim, x f(x) 3
Em geral , podemos empregar a seguinte definição: A função f tem limite L quando x cresce além de qualquer limite (ou quando x tende a infinito), o que se denota por Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de L tomando x suficientemente grande. Analogamente, a função f tem limite M quando x decresce além de qualquer limite (ou quando x tende a menos infinito), o que se denota por Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de M tomando x negativo e suficientemente grande em valor absoluto. Todas as propriedades de limites são válidas quando x f(x) 0
Solução O cálculo revela que, à medida que a produção de CDs cresce “além de qualquer limite”, o custo médio diminui e se aproxima de 1,8 dólares por disco. Para melhor compreensão observe o esboço do gráfico. Observação: Na realidade, os símbolos + (mais infinito) e - (menos infinito), não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico. Vejamos a seguir algumas operações válidas com esses símbolos. 1000 x 1, 8 3, 3 4, 8 2000
No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que contornar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são: Vamos calcular agora alguns limites imediatos, de forma a facilitar o entendimento de exercícios mais complexos. Colocando x² em evidência, podemos observar que, com exceção do 1o. termo, todos os demais tendem a zero ( para melhor compreensão tomemos x = 10000, então: 1/x = 1/10000 = 0,0001 ->0, 1/x² = 1/(10000)² = 0,000000001-> 0), Portanto, o limite dessa função é igual ao limite do seu termo de maior grau.
1. Limite fundamental trigonométrico Atribuindo valores a x pela direita e pela esquerda de zero, conforme mostra na tabela; notamos que, para valores cada vez mais próximos de zero, obtemos valores de Demonstração: (^1 ) y 1 0 y x x tgx sen x
Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem: Invertendo, temos: e 1, tem também limite igual a 1 quando x tende a 0(zero), logo
2. Limite fundamental exponencial Considerando a função definida por de base positiva, ou seja, Observamos que à medida que x cresce ou decresce indefinidamente, f(x) vai se aproximando cada vez mais do número e. Assim:
Neste caso, faremos uma mudança de variável. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2001. MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os Cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo: Atlas, 1999. LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 1988. DANTE, L. ROBERTO. Matemática: Contexto & Aplicação. São Paulo: Ática,1999. GELSON, IEZZI e outros. Fundamentos de Matemática Elementar. vol 8. São Paulo: Atual, 1985.
