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UNIFACS – Universidade Salvador Curso: Engenharias Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III
3 a^ Lista de Exercícios 2013.
Algumas Aplicações de Equações Diferenciais
Decaimento Radioativo
O núcleo de um átomo é constituído por combinações de prótons e nêutrons e muitas dessas combinações são instáveis. Em muitos casos os átomos decaem e se transformam em átomos de outra substância e os núcleos são chamados de radioativos. Para modelar um decaimento radioativo vamos supor que a taxa segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade de substância presente.
Supondo que Q(t) é a quantidade de substância presente no instante t, temos que kQ dt
dQ , sendo k uma
constante.
A meia-vida de uma substância radiativa é o tempo que ela leva para chegar à metade do valor inicial.
Veja na tabela a seguir alguns exemplos
Substância Meia-vida Polônio 218 2 min 45 segundos Polônio 214 (^) 1,64 x 10 ^4 segundos Rádio 226 1620 anos Rádio 228 6,7 anos Rádio 223 11,68 dias Rádio 224 3,64 dias Estrôncio 90 28 anos
- Resolva a equação kQ dt
dQ , supondo que Q(0)=Q 0. Mostre que se a meia vida de uma substância
radioativa é tm, então tm
ln 2 k
- Depois de três dias uma amostra de radônio-222 decaiu para 58% da sua quantidade original. Com base nesses dados, determine a meia-vida do radônio-222.
- Suponha que um acidente nuclear tenha elevado o nível de radiação por cobalto, em uma certa região, a 100 vezes o nível aceito para a habitação humana, isto é, Qo = 100Qa, sendo Qa o nível aceito para a habitação humana. Ignorando a presença provável de outros elementos radioativos, determine quanto tempo deverá passar para que a região seja novamente habitável, sabendo que a meia-vida do cobalto radioativo é 5,27 anos.
Datação por Radio Carbono
Uma importante ferramenta na pesquisa arqueológica é a determinação da idade por radio carbono. Este é o modo de determinar a idade de certos restos de madeira, plantas, ossos humanos ou de animais, artefatos, etc. O procedimento foi desenvolvido pelo químico W. Libby (1908-1980) no início dos anos 50 e
isso lhe deu o prêmio Nobel de Química em 1960. A determinação de idade por radio carbono está baseada no fato de que alguns restos de madeira ou plantas contém quantidades residuais de carbono 14
- C^14 , isótopo radioativo de carbono. Este isótopo é acumulado durante a vida da planta e começa a decair com a sua morte. Uma vez que a meia vida do carbono 14 é longa (aproximadamente 5745 anos), quantidades mensuráveis de carbono 14 estão presentes após milhares de anos. Libby mostrou que se aproximadamente 0,002 ou mais da quantidade original de carbono 14 ainda está presente, então pode-se determinar precisamente a proporção de quantidade original de carbono 14 que resta, por dosagem de laboratório adequada.
- Suponha que se descubram certos restos arqueológicos em que a quantidade residual de carbono 14 seja de 20% da quantidade original. Determine a idade desses restos.
- Em 1988 o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano que apareceu em 1356 contém o negativo da imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus Cristo. O relatório do Museu Britânico mostrou que as fibras no pano continham aproximadamente 92% do carbono original. Estime a idade do sudário.
- Numa caverna da França, famosa pelas pinturas pré-históricas, foram encontrados pedaços de carvão vegetal nos quais a radioatividade do C^14 era 0,145 vezes a radioatividade normalmente encontrada num pedaço de carvão feito hoje. Calcule a idade do carvão encontrado e com isto dê uma estimativa para a época em que as pinturas foram feitas.
Lei do Resfriamento de Newton
Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei do resfriamento de Newton. Portanto, se T(t) é a temperatura do objeto no tempo t e Ta é a temperatura ambiente
constante, temos a relação k TT , k
dt
dT (^) a depende do material de que é constituída a superfície do
objeto.
- C onsidere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30oC e resfriando a substância de 100oC para 70oC em 15 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de 40oC.
- O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8oC. Uma hora mais tarde ele tomou novamente a temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era constante a 20oC. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é 36,5oC.
- Um termômetro é retirado de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 10C. Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de 15C e após 2 minutos 12C. Use a “Lei do resfriamento de Newton” para determinar qual a temperatura da sala onde se encontrava o termômetro inicialmente.
- Um objeto com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido à temperatura constante igual a 20C. Se, após 10 minutos, a temperatura do objeto é de 30C e após 20 minutos a temperatura é de 25C, determine a temperatura inicial do corpo, supondo válida a Lei do Resfriamento de Newton:
cs = V vt vt
Q(t) V(t)
Q(t) o e s
(Vo + vet – vs t = volume inicial + volume que entra – volume que sai)
A equação final fica: s o e s
e e V v t v tv
Q(t) c v dt
dQ
Se a vazão de entrada for igual à vazão de saída ou a concentração de entrada for zero então a equação acima é de variáveis separáveis.
- Um tanque de 400 litros enche-se com uma solução de 60kg de sal em água. Depois faz-se entrar água nesse tanque à razão de 8L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na mesma razão. Qual a quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora?
- Um tanque com capacidade de 1000 galões contém, inicialmente, 500 galões de água poluída com 100 galões de poluentes. No instante t = 0, água pura é acrescentada a uma taxa de 10 galões por minuto e a solução misturada é drenada a uma taxa de 5 galões por minuto. Determine quanto poluente haverá no tanque no instante do transbordamento.
- Uma solução de 60kg de sal em água enche um tanque de 400L. Outra solução em que cada 5L contém 1kg de sal é lançada no tanque a uma razão de 10L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na razão de 15L/min. Ache a quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora.
- Um reservatório de 500 galões contém inicialmente 100 galões de água fresca. Começando no instante t = 0 escoa para o reservatório água contendo 50% de poluidores, à taxa de 2 gal/min e a mistura bem agitada deixa-o à taxa de 1 gal/min. Determine a concentração de poluidores no reservatório no instante do transbordamento
- Uma bebida contendo 5% de álcool por litro é bombeada em um tonel que contém inicialmente 200 litros de bebida com 10% de álcool. A taxa de bombeamento é de 2 litros por minuto, enquanto o líquido misturado é drenado a uma taxa de 3 litros por minuto. Determine a) Quantos litros de álcool Q(t) há no tanque num instante t qualquer b) Quando o tanque estará vazio
Circuitos Elétricos
Se i(t) é a corrente elétrica em um circuito em série LRC, então a queda de voltagem através do indutor, resistor e capacitor é apresentada no quadro abaixo
Indutor Resistor Capacitor Indutância: L henrys Resistência: R ohms Capacitância: C farads Queda de voltagem
dt
di L iR q C
Pela 2a^ Lei de Kirchoff, a soma dessas voltagens é igual à voltagem E(t) impressa no circuito, isto é,
q E(t) C
Ri dt
di L ^ ( I )
Por outro lado, a carga q(t) no capacitor está relacionada com a corrente i(t) por dt
dq i ( 1 )
Consideremos os casos particulares
A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em ampères) em um circuito simples do tipo RL (figura 1), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é
L
E
i L
R
dt
di (2)
Para um circuito do tipo RC (figura 2) consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz E, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é
R
E
q RC
dt
dq (3)
No caso em que a força eletromotriz E(t) é constante as equações (2) e (3) são equações a variáveis separáveis
Considerando dt
dq i temos 2
2
dt
dq dt
di ( 2 )
Substituindo ( 1 ) e ( 2 ) em ( I ) obtemos a equação diferencial linear de 2a^ ordem
q E(t) C
dt
dq R dt
d q L (^2)
2 ( 4)
Derivando ( I ) obtemos a equação tendo a corrente como incógnita:
dt
dE i C
dt
di R dt
d i L (^2)
2 (5)
Figura 1: circuito RL Figura 2: circuito RC
ln 2
ln0, t (aproximadamente 16000 anos atrás); 7. t 52 min; 8. t 2,24 horas,
- 22,5. 10. 40 C; 11. a) t = 4s; v = 20m/s; b) t = 2s; smax = 20m.
t 10
1 vt 100 1500 1600e e
; 13. Q = 60e6/5^ kg; 1 4. 50 galões; 15. Q = 315/16 kg;
- 48%; 17. a) 3 ( 200 t)^3 ( 200 )
200 t Q( t)
; b) Após 200 minutos;
- Resp.: 10
e 10
(i t)^50 t
amp. A quantidade e^50 t 10
é chamada corrente transitória , pois tende a
zero (se desvanece) quando t. A quantidade
é chamada corrente estacionária. Quando t a
corrente i(t) tende para a corrente estacionária.
- e^10 t 20
q( t) coulombs; 20. a) q(t) = e2t^ e5t; b) 3
ln( 5 / 2 ) t e a carga máxima é
2 / 3
5
q
coulombs; 21. e^3 t 101
(sen 30 t 10 cos 30 t) 101
(i t)
^ ^ sen 40 t 2
q( t) e^20 t 5 cos 40 t ;
^ ^ sen( 2 / 5 ) 2
q( 0 , 01 ) e^1 /^55 cos( 2 / 5 ) 4,568 coulombs
23. q( t) 6 e^20 t^ 2 e^60 t; A carga no capacitor não se anula
24. a) q( t) 10 10 e^3 (cost^3 tsen 3 t); (i t) 60 e^3 tsen 3 t;
25. sent
cost 13
q( t) et^ C 1 cos 3 tC 2 sen 3 t .
cos 5 t 25
t; (it) 25
sen 5 t 125
q( t)
