Lista de exercicio calculo 3, Exercícios de Cálculo

Baixe Lista de exercicio calculo 3 e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! 1 Caderno de Exercícios Cálculo III Aluno (a):_______________________________________________________ Professor (a):___________________________________________________ Curso:________________________________________ Semestre:________ 2018.2 2 Sumário Aula 1 Revisão dos Métodos de Integração Pág. 3 Aula 2 Integrais duplas em regiões retangulares. Pág. 6 Aula 3 Integrais duplas em regiões não retangulares Pág. 8 Aula 4 Integrais duplas em coordenadas polares. Pág. 17 Aula 5 Aplicações Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente, Pág. 24 Aula 6 Representação de Campo, Divergente e Rotacional (2D e 3 D). Pág. 30 Aula 7 Campos conservativos e Função Potencial. Pág. 36 Aula 8 Aplicações EDO – Método por Separação de Variáveis. Pág. 41 Aula 9 Aplicações EDO – Equações lineares de 1ª ordem. Pág. 59 Aula 10 Equações Lineares Homogêneas e PVI (Problema de Valores Iniciais). Pág. 64 Aula 11 EDO - Equações Lineares Homogêneas de 2ª ordem completa – Método de Lagrange. Pág. 68 Aula 12 Aplicações EDO - Equações Lineares de 2ª ordem. Pág. 72 Aula 13 Definição da Transformada de Laplace, Pág. 74 Aula 14 Transformada de Laplace Inversa e Resolução de Equações Diferenciais, Pág. 77 Aula 15 Translação de Eixos e a Transformada de Funções Periódicas. Pág. XXX REV1 Exercícios de Revisão 1 Pág. XXX REV2 Exercícios de Revisão 2 Pág. XXX GAB Gabaritos Pág. XXX REF Referências Pág. XXX 5
  
3! " #
3$  % &
'  ln
 
*  √ ∙ ln
 
+   − 9
 + 5
 − 2 
  2 + 3
 + 1 .&  6 Escola de Arquitetura, Engenharia e TI Calculo III Aluno (a):________________________________________________________ Data:___/___/___ Aula 2 - Integrais duplas em regiões retangulares 1. Calcule∬ f
x,y dA R

, ; =  ∙ =; ? = @
, ; ∈ ℛ | 1 ≤  ≤ 3 0 ≤ ; ≤ 1F
 
, ; =  cos
;; ? = @
, ; ∈ ℛ | 0 ≤  ≤ 2 0 ≤ ; ≤ 2GF
 
, ; = ;*
; ? = @
, ; ∈ ℛ | 1 ≤  ≤ 3 0 ≤ ; ≤ 1F 7

, ; = ; ln
 ; ? = @
, ; ∈ ℛ | 1 ≤  ≤ 2 − 1 ≤ ; ≤ 1F 2. Usando integral dupla, calcule o volume do sólido Q limitado lateralmente pelos planos  = 0, ; = 0  = 1 ; = 2 , inferiormente pelo plano H = 0 e superiormente pela superfície cilíndrica H = 1 +  . 1 V4-x2 of j x dydx =1 V1-x2 1 lx (| [ce -2rarar -1-1 10  11 2. Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
a   
, ;;= ⁄& # &
   
, ;;N$ . &
   
, ;;P  . & 12 3. Identifique a região de integração e inverta a ordem para resolver as seguintes integrais:
   1 cos Q;R ; √= # &
   Q!; S!;TR ;%N #⁄N % ⁄ &
   U ∙ =4 − ; V; #JN & & 15
 W
 + ; ;Y sendo R a região hachurada na figura abaixo: 5. Usando integral dupla calcule o volume do sólido Q nos seguintes casos: (a) Q é o tetraedro limitado no 1º octante pelo plano de equação kP +  + =. = 1. 16 (b) Q está acima do plano XY limitado pelo cilindro parabólico H = 1 − ; ; e pelos planos  = 0 e  = 2. 6. Calcule, usando integral dupla, a área da região limitada pelas curvas: ; = P, ; = − + 2 ; = 0. Esboce o gráfico da região. 17 Escola de Arquitetura, Engenharia e TI Calculo III Aluno (a):________________________________________________________ Data:___/___/___ Aula 4 - Integrais duplas em coordenadas polares 1. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais:
 W
8 −  − ; ;, " ?  d  ã"  * +  e"d 1 =  + ; .Y Interprete geometricamente.
 W *
 + ;  ;, " ? "  *  * + " e"d  + ; = 16 e  + ; = 25. Y −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 x y −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y 20 3. Usando integral dupla calcule o volume dos seguintes sólidos, resolvendo a integral correspondente na forma polar:
a Sólido acima do plano xy delimitado pelo paraboloide H = 4 − 2 − 2; . Esboce o sólido. (b) Sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro  + ; = 1 e superiormente pelo paraboloide H =  + ; . Esboce o sólido. x y z x y z 21 (c) Sólido limitado inferiormente pelo plano xy, lateralmente por  + ; = 4 e superiormente por ; + H = 8. 4. Calcule, usando integral dupla, a área da região R exterior ao círculo d = 2 e interior ao círculo d =4 " o (centro (2,0) e raio 2). Esboce o gráfico da região. x y z −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 x y 22 5. Usando integral dupla, podemos calcular a massa (M) de uma lâmina plana não homogênea, com a forma de uma região (R) e com densidade de massa em ponto
, ; de R, dada pela função contínua t = t
, ;, através da integral dupla u = ∬ t
, ;bY . (a) Calcule a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3 cm, se a sua densidade de massa num ponto v
, ; é dada por t
, ; = w
 + ; , k constante real. (b) Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas ; =  + 1 e ; =  + 3. Sua densidade de massa no ponto v
, ; é proporcional a distância desse ponto ao eixo x. Calcule a massa dessa lâmina. 25
 2 21( , ) ;f x y x y= + 0P (3, 2) e 5 1213 13u i j→ → →= + .
 ( ) f x, y xy;= ; 0 (1,4)P = e →u é o vetor que faz ângulo 3/πθ= com o eixo OX.
 ( ) ( )2 f x, y tg x y ;= + 0 ( /6, /3)P π π= →u é o vetor que faz ângulo 4/7π=θ com o eixo OX. 26
 ( ) 3 2, f x,y z x y z;= . 0P (1, 1, 1 ) e (1, 0, -1) u→ = .
 ( ) ( ) ( )2 2, ln 1, 4, 1 ; 2of x,y z y x z ; P u i j k→ → → →= + = − + . 2. Determine o gradiente de f no ponto indicado:
 ( ) ( ) ( )32 1, 1f x, y x xy P= + − −
 ( ) ( ) ( )ln 3,4f x, y y x y P= + − . 27 3. Esboce a curva de nível de f que passa por P e desenhe o vetor gradiente em P.
 ( ) ( )4 2 3 1,2f x,y x y ; P= − +
 ( ) ( )2 24 2,0f x, y x y ; P= + − . 4. Uma chapa de metal está situada em um plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) é inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em P(3,4) é 100o F.
 Ache a taxa de variação de T em P na direção de i + j. 30 Escola de Arquitetura, Engenharia e TI Calculo III Aluno (a):________________________________________________________ Data:___/___/___ Aula 6 – Representação de Campo, Divergente e Rotacional (2D e 3 D). 1. Esboce o campo vetorial F(x,y) yi xj= − +

, desenhando um diagrama. ( ),x y ( , )f x y 
( ),x y ( , )f x y 
(1, 0) , (-1, 0) , (2, 2) , (-2, -2) , (3, 0) , (-3, 0) , (0, 1) , (0, -1) , (-2, 2) , (2, -2) , (0, 3) , (0, -3) , 31 ROTACIONAL x GRADIENTE Seja  um campo escalar e {| = v}| + y~|+ ?w| um campo vetorial. Verifique a seguir as notações e operações com rotacional e gradiente: ∇=  }|+ ; ~|+ H w|
* ∇f =  }|+ ; ~|+ H w|
*  Rotacional d"{| = ∇ × {| = ƒƒ }| ~| w | ; Hv y ? ƒ ƒ = „?; − yH… }|− „? − vH… ~|+ „y − v;… w| d"
∇ = ∇ ×
∇ = ∇  = ƒƒ }| ~| w| ; H ; Hƒ ƒ = „ H; − H;… }| − „ H − H… ~| + „ ; − ;… w| = 0| Divergente div {| = ∇ ∙ {| = v + y; + ?H div
∇f = ∇ ∙
∇f =   +  ; +  H  n
d"{| =  n ƒƒ }| ~| w | ; Hv y ? ƒ ƒ =  n ‡„?; − yH… }|− „? − vH… ~|+ „y − v;… w|ˆ = 0 PROPRIEDADES Sejam {| ‰| campos vetoriais e  um campo escalar, então: 1.  n
{| + ‰| =  n{| +  n‰| 4. d"S{|T =  d"{| +
∇ × {| 2. d"
{| + ‰| = d" {| + d" ‰| 5.  n
∇ × ∇g = 0 3.  n
{| =  n {| + {| ∙ ∇ 6. d"Sd"{|T = d
 n {| − ∇ {| 2. Determine div F e rot F nos seguintes casos:
 2( , , ) 2F x y z x i j yz k→ → → →= − + 32
 ( , , ) xy yzF x y z e i e j xz k→ → → →= + +
 ( , , )F x y z xy i z j xz k→ → → →= + + 35 ÁREA LIVRE 36 Escola de Arquitetura, Engenharia e TI Calculo III Aluno (a):________________________________________________________ Data:___/___/___ Aula 7 – Campos Conservativos e Funções Potenciais 1. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado (a) ( , ) ar ( )f x y ctg xy= (b) 2 2 2( , , ) 3 4f x y z x y z= − + (c) 2 2 2( , , ) ( )f x y z sen x y z= + + 37 2. Confirme que u é uma função potencial de F (a) 2 3 3( , ) 2 3u x y y x y xy= + − e 3 3 2F (x,y) (6 ) i (4y 3x - 3xy ) jxy y → → → = − + + . b) ( , , ) ( ) ( ) ( )u x y z x sen z y sen x z sen y= + + e F (x,y,z) ( ( ) cos( )) i ( ( ) cos( )) j (xcos( ) ( )) ksen z y x sen x z y z sen y → → → → = + + + + + . 40 ÁREA LIVRE 41 Escola de Arquitetura, Engenharia e TI Calculo III Aluno (a):________________________________________________________ Data:___/___/___ Aula 8 – Aplicações EDO – Método por Separação de Variável 1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações diferenciais ao lado. Funções Equações Diferenciais
 ; = Š JP ;‹ + 3; = 0
 ; = Š ∙ cos
 ;‹ + ; ∙ tan

 ; = Š. cos
3 + Š sen
3 ;" + 9; = 0
 ; = ŠP ;‹ = ;
 ; =  + Š. + Š ;" =  42 2. Use um software de computacional para desenhar os campos direções a seguir esboce as curvas soluções que satisfazem as condições iniciais dadas. Em seguida imprima a solução e cole no espaço indicado. (Sugestão: WINPLOT – consulte tutorial) (a) Campo direção: ;′ =  ; Condições iniciais: ;
0 = 1, ;
0 = 2, ;
0 = G, ;
0 = 4, ;
0 = 5 (b) Campo direção: ;′ = ; + ; Condições iniciais: ;
0 = 1. (c) Campo direção: ;′ = 
 + ; Condições iniciais: ;
0 = 1. 45 (i) tan
 ;‹ = ; (J) tan
 
; + "
 ∙ "
;; = 0 (k) 3  ∙ tan
;  +
1 − 
;; = 0 46 (l) ;;‹ = 1 −  (m) ; = 2 (n) ŽŽ = 2 + 2m +  + m 47 (0) 2;
 + 1; =  (p) ;‹ − Q‘J Nl. R Q=l=$= R = 0 (q)
; + ; ; +
 + ;  = 0 50 (c)
; +  +
 ; − ;; = 0; ;
2 = 1 (f) ; 
 +
; + 1 ’“”
; = 0; ; Q% R = 1 ÁREA LIVRE 51 APLICAÇÕES - Método Por Separação de Variáveis Decaimento Radioativo O núcleo de um átomo é constituído por combinações de prótons e nêutrons e muitas dessas combinações são instáveis. Em muitos casos os átomos decaem e se transformam em átomos de outra substância e os núcleos são chamados de radioativos. Para modelar um decaimento radioativo vamos supor que a taxa segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade de substância presente. Supondo que y
 é a quantidade de substância presente no instante t, temos que Ž•Ž = wy, sendo w uma constante. A meia-vida de uma substância radiativa é o tempo que ela leva para chegar à metade do valor inicial. Veja na tabela a seguir alguns exemplos: Substância Meia-vida Polônio 218 2 min 45 segundos Polônio 214 1,64 x 10 −4 segundos Rádio 226 1620 anos Rádio 228 6,7 anos Rádio 223 11,68 dias Rádio 224 3,64 dias Estrôncio 90 28 anos 5. Resolva a equação Ž•Ž = wy, supondo que y
0 = y&. Mostre que se a meia vida de uma substância radioativa é –, então w = —˜ ™ . 52 6. Depois de três dias uma amostra de radônio-222 decaiu para 58% da sua quantidade original. Com base nesses dados, determine a meia-vida do radônio-222. 7. Suponha que um acidente nuclear tenha elevado o nível de radiação por cobalto, em uma certa região, a 100 vezes o nível aceito para a habitação humana, isto é, y& = 100yš, sendo yš o nível aceito para a habitação humana. Ignorando a presença provável de outros elementos radioativos, determine quanto tempo deverá passar para que a região seja novamente habitável, sabendo que a meia-vida do cobalto radioativo é 5,27 anos. 55 11. Considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30oC e resfriando a substância de 100oC para 70oC em 15 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de 40oC. 12. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8oC. Uma hora mais tarde ele tomou novamente a temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era constante a 20oC. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é 36,5oC. 13. Um termômetro é retirado de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 10°C. Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de 15°C e após 2 minutos 12°C. Use a “Lei do resfriamento de Newton” para determinar qual a temperatura da sala onde se encontrava o termômetro inicialmente. 56 14. Um objeto com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido à temperatura constante igual a 20°C. Se, após 10 minutos, a temperatura do objeto é de 30°C e após 20 minutos a temperatura é de 25°C, determine a temperatura inicial do corpo, supondo válida a Lei do Resfriamento de Newton. Problema de Mistura Consideremos um tanque com uma solução (soluto + solvente) (por exemplo, sal e água) de volume inicial ›&, com fluxo de entrada e saída. Mantendo-se essa solução uniformemente misturada vamos calcular a quantidade Q(t) de soluto no tanque no instante t. A variação da quantidade de soluto no tanque é obtida pela diferença entre a quantidade de soluto que entra e que sai do tanque. Por outro lado, se ›
 é o volume no instante t, temos que: Ž•Ž = Ž•Žœ ∙ ŽœŽ , em que Ž•Žœ é a variação da concentração e ŽœŽ é a taxa de variação do volume, ou seja, a vazão. Assim, Ž•Ž = Ž•Žœ ∙ ŽœŽ é igual a concentração x vazão. Logo, se há um fluxo de entrada e saída temos: Ž•Ž = ŠM›M − Š› , em que: žŠM − " dçã"  d›M − nHã"  dŠ − " dçã"  훝 − nHã"  í  . Como Š = Ž•œ
 = •
œ¡ l œ¢ J œ£  , em que ›& + ›M  − ›  = n"*m+  * + n"*m+ ¤m d − n"*m+ ¤m  . A equação final fica: Ž•Ž = ŠM›M − •
œ¡lœ¢Jœ£ ∙ › . Se a vazão de entrada for igual à vazão de saída ou a concentração de entrada for zero então a equação acima é de variáveis separáveis. 57 15. Um tanque de 400 litros enche-se com uma solução de 60kg de sal em água. Depois faz-se entrar água nesse tanque à razão de 8L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na mesma razão. Qual a quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora? 16. Um tanque com capacidade de 1000 galões contém, inicialmente, 500 galões de água poluída com 100 galões de poluentes. No instante t = 0, água pura é acrescentada a uma taxa de 10 galões por minuto e a solução misturada é drenada a uma taxa de 5 galões por minuto. Determine quanto poluente haverá no tanque no instante do transbordamento. 17. Uma solução de 60kg de sal em água enche um tanque de 400L. Outra solução em que cada 5L contém 1kg de sal é lançada no tanque a uma razão de 10L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na razão de 15L/min. Ache a quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora. 60 APLICAÇÕES – Equações Diferenciais Lineares 1ª ordem A 2ª Lei de Newton: Movimento de Queda Livre Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Admitamos que tanto a gravidade como a massa permaneçam constantes e, por conveniência, escolhemos o sentido “para baixo” como sentido positivo. De acordo com a Segunda Lei de Newton do Movimento, a força resultante que atua sobre o corpo é { = + Ž¥Ž , em que v é a velocidade do corpo, no instante t. Neste modelo, há duas forças atuando sobre o corpo: (1) A força devido à gravidade, dada pelo peso do corpo que é igual a mg. (2) A força devido à resistência do ar, dada por kv, onde 0≥k é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se torna necessário por que a força se opõe à velocidade; isto é, atua no sentido “para cima”, ou seja, no sentido negativo. Desta forma, a força resultante é { = + − wn. Obtemos então: + − wn = + Ž¥Ž ou Ž¥Ž + ¦– n =  como equação diferencial do movimento do corpo. 61 2. Lança-se uma pedra do solo, verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20m/s. Considere nula a resistência do ar e g=10m/s. Observe que, neste caso, usaremos a equação g dt dv −= (Justifique!) (a) Quanto tempo levará e qual será sua velocidade quando a pedra atingir novamente o solo? (b) Quanto tempo levará a pedra para atingir altura máxima e qual será essa altura? 3. Um paraquedista, pesando 70 kg, salta de um avião e abre o paraquedas após 10 segundos. Antes da abertura do paraquedas, o seu coeficiente de atrito é w§¨ = 5 w/ , depois é w©§¨ = 100 w/ . (a) Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas? (b) Qual a distância percorrida em queda livre? (c) Qual a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas? (ª : n–«˜ = lim→­ n
). 62 Circuitos Elétricos Se i(t) é a corrente elétrica em um circuito em série RC, então a queda de voltagem através do , resistor e capacitor é apresentada no quadro abaixo: RESISTOR CAPACITOR Resistência: R ohms Capacitância: C farads Queda de voltagem ? 1Š ¤ Pela 2a Lei de Kirchoff, a soma dessas voltagens é igual à voltagem E(t) impressa no circuito, isto é, 1 ( )Ri q E t C + = ( I ) Por outro lado, a carga q(t) no capacitor está relacionada com a corrente i(t) por dq i dt = ( 1 ) Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz E, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é: 1dq E q dt RC R + = (2) Observe, que no caso em que a força eletromotriz E(t) é constante a equação (2) é uma equação por variáveis separáveis. Caso contrário, é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. 65 APLICAÇÕES – EDO Lineares de 2ª ordem em Circuitos Elétricos Se
 é a corrente elétrica em um circuito em série ´?Š e q(t) a carga do circuito, então a queda de voltagem através do indutor, resistor e capacitor é apresentada no seguinte quadro: Indutor Resistor Capacitor Indutância L henrys Resistência R ohms Capacitância C farads Queda de voltagem ´   ? 1Š ¤ Pela 2a Lei de Kirchoff, a soma dessas voltagens é igual à voltagem ®
 impressa no circuito, isto é, ´ Ž«Ž + ? + .µ ¤ = ®

¤mçã" ¶ 66 Considerando = Ž¨Ž temos que Ž«Ž = ŽN¨ŽN . Substituindo na equação ( I ) obtemos a equação diferencial linear de 2a ordem em função da carga ¤
: ´ ŽN¨ŽN + ? Ž¨Ž + .µ ¤ = ®

¤. 1 Derivando a equação 1 obtemos a equação a seguir, em função da corrente elétrica: ´ ŽN«ŽN + ? Ž«Ž + .µ = Ž·Ž
¤. 2 Observe, que quando a força eletromotriz for igual a zero a equação diferencial é homogênea. A depender das raízes da equação característica correspondente o circuito será • Superamortecido (raízes reais e distintas) • Criticamente amortecido (raízes reais e iguais) • Subamortecido (raízes complexas) APLICAÇÕES – Equações Homogêneas em Circuitos Elétrico 2. Encontre a carga no capacitor em um circuito em série ´?Š no instante  = 0,01 segundo quando ´ = 0,05 henry, ? = 2 ohms, Š = 0,01 farad, ®
 = 0, ¤
0 = 5 coulombs e
0 = 0 ampère. 67 3. Encontre a carga no capacitor em um circuito em série ´?Š quando ´ = 1 4⁄ henry, ? = 20 ohms, Š = 1 300⁄ farad, ®
 = 0, ¤
0 = 4 coulombs e
0 = 0 ampère. A carga no capacitor se anula em algum instante? ÁREA LIVRE 70 (c) 71 (d) 72 Escola de Arquitetura, Engenharia e TI Calculo III Aluno (a):________________________________________________________ Data:___/___/___ Aula 12 – Aplicações Equações Lineares Homogêneas de 2ª ordem 1. Encontre a carga no capacitor e a corrente no circuito em série ´?Š, considerando ´ = 5 3 ⁄ henrys, ? =10 ohms, Š = 1 30 ⁄ farad, ®
 = 300 n"* , ¤
0 = 0 coulombs e
0 = 0 ampères. 75 (a) 
 = 1 ,  ≥ 0 (b) 
 =  ,  > 0
 
 = š ,  > 0,   ℛ 76 Propriedades da Transformada de Laplace Teorema (Linearidade da Transformada de Laplace): A Transformada de Laplace é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções f(t) e g(t) cujas transformadas de Laplace existam e quaisquer constantes a e b temos que: ´[
 + 
½ =  ´[
½ +  ´[
½ 2. Usando a Tabela de transformada e a linearidade calcule as transformadas das seguintes funções:
 
 =  + 6 − 3 (c) 
 =
 +  (b) 
 =
 + 1P (d) 
 =  + 
3 − cos
G 77 Escola de Arquitetura, Engenharia e TI Calculo III Aluno (a):________________________________________________________ Data:___/___/___ Aula 14 – Transformada de Laplace Inversa e Resolução de Equações Diferenciais Teorema de Lerch: Sejam f e g funções contínuas por partes de ordem exponencial e suponhamos que exista um número real & tal que ´[
½
 = ´[
½
 para todo > &. Então, com a possível exceção dos pontos de descontinuidade, 
 = 
 para todo  > 0. Definição: A Transformada Inversa de Laplace da função F(s), denotada por ´J.[
{
½ , é dada por: ´J.[
{
½ = 
 ↔ ´[

½ = {
 1. Utilizando a Tabela de Transformadas e os resultados vistos encontre 
, se ´[

½ ={
 é igual a (a) ( ) ( 2)( 3)( 6) s F s s s s = − − − 80 (d) 2 2 ( ) 4 4 F s s s = + + 81 2. Use as Transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
 ;´́
 + 2;
́ – 8;
 = 0 ; ;
0 = 1 ;
́0 = 8 82 (b) ;"
 − ;′
 =  cos
 ; ;
0 = 0 ;
́0 = 0 85 5. Uma massa de 1 Æ atada a uma mola de constante elástica Æ = 100 ǖ está, inicialmente com velocidade nula (‹
0 = 0) e passando pela posição 
0 = 10+. Despreze os atritos. Se o sistema é submetido no tempo  = 0 a uma força externa 
 = 120 Newtons, use as transformadas de Laplace para determinar a equação que define a posição da partícula 
 para um instante qualquer  ≥ 0. Lembre-se que o modelo linear para este sistema físico (uÊË forçado sem amortecimento) é: +   + Æ = 
 86 Gabaritos Respostas: Aula 1 1.
  ÌN + 6
 − NP + Š (b) − ’“”
PP + P  − 2d 
 + Š
 .P ln|3 − 7| + Š (d)− . ln|cos
2| + Š
 . 

 M˜$
P − 2 M˜Ì
 + M˜Í
Î + Š
  − M˜
# + Š
ℎ . 

 − cos
 + Š
 0
Ï  ∙ *
 −  + Š
* P $N ln
 − #Ð $N + Š
+ ln| + 5| − ln| − 2| + Š
2 ln
2 + . Respostas: Aula 2 1. (a) P − − 2 (b) 0 (c)
3 2⁄ *3 − 1 (d) 0 2. 8 3 m. n.⁄ Respostas: Aula 3 1. (a) 8 3⁄ (b) .pP (c)
/4 −
3 4 ⁄ (d) 1 3⁄ (e) 0 (f) −1 2⁄ 2. (a) ¼ ¼ 
, ;;#  & (b) ¼ ¼ 
, ;;√=$√=.& (c) ¼ ¼ 
, ;; + ¼ ¼ 
, ;; .= PÑP = Ñ= PÑ & 3. (a) ¼ ¼ . cos Q=R ; = 1 − cos 2N& & (b) ¼ ¼ Q!; S!;TR ;√=& = %N# − 
%N #⁄& %N# ) (c) ¼ ¼ ∙MNÒ#J= ; = MÓJ.#!#J=&#& 4. (a) 896 15⁄ (b) 5 6⁄ (c) 0 (d)
− 1 2⁄ (e) 2 5. (a) 1 m. n. (b) 8 3 m. n.⁄ 6. 3 4 m. .⁄ Respostas: Aula 4 1. (a) 8G (Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base 1 e limitado superiormente pe3lo plano de equação H = 8 −  − ; (b) 2G[25 ln
5 − 32 ln
2 −
9/2 (c)
G 2⁄ 
Ô − 1 (d) ÎÐ S10√2 − 11T 2. (a) ¼ ¼ ՎՎÖ
.lÕNN ; = % .&%& (b) ¼ ¼ d# " o  o do = P . &% ⁄& 3. (a) 4π u.v. (b) G 2 m. n.⁄ (c) 32π u.v. 4. #%P + 2√3 u.a. 5.
 Ô.¦%
b 11,7 k 6. 5 24⁄ coulombs Respostas: Aula 5 01. (a) -2/5; b) zero; (c) -6/169; (d) 1 3 2 8 + (e) 2 2 (f) 2 ; g) 3 6 . 02. (a) -36i-12j; (b) 4i+4j. 03. (a) a curva de nível é a reta y = 2x e o vetor gradiente (4, -2) (b) a curva de nível é a elipse x2 + 4y2 = 4 e o gradiente ( −4,0) 04. (a) 28 / 2− ; (b) a direção de -12i -16j; (c) a direção de 12i +16j; (d) a direção de 4i -3j. 05. 22e iπ− . 06. 178 ; 4 -8 54 , 2996 14 i j k − + . Respostas: Aula 6 02. (a) div F = 2x + y; rot F = z i (b) ( ) xy yzdiv F ye ze x → = + + ; ( ) yz xyrot F ye i z j xe k → → → → = − − − c) ( )div F y x → = + ; ( )rot F i z j x k → → → → = − − − ; d) 1( )div F x x y → = + + ; 1 ( )rot F i z j k x y → → → → = − − − + 03. (a) e (e) não têm significado; (b) e (d) são campos vetoriais e (c) é escalar. 04. 2 2 2 2 2 2 ln( ) xz xy x u y xz i j k y xz y xz y xz → → →  ∇ = + + + + + + +  ; .( ) 0x F → ∇ ∇ = ; 3 / 2 ( ) 1 4 z F k −→ →  ∇ ∇ ⋅ = +     . Respostas: Aula 7 1. (a) 2 2 2 2 ( , ) 1 1 y x F x y i j x y x y = + + + ; (b) F(x,y,z) = 2x i −6y j + 8z k; (c) F(x,y,z) = 2x cos(x2 +y2 +z2) i + 2y cos(x2 +y2 +z2) j + 2z cos(x2 +y2 +z2) k 2. Resposta pessoal, demonstração. 3. a) conservativo; 2 2 ( , ) 2 2 x y u x y C= + + ; b) e d) não conservativo; c) conservativo, u(x,y) = xcosy +ysenx + C; e) conservativo, u = senxy + exy +z + C; f) conservativo e u = xyz + senx + cosy + C. 87 Respostas: Aula 8 1. a) sim. b) sim. c) sim. d) sim. e) não. f) sim 2. Resolução através de software computacional 3. a) y = 1 − Ce−x. b) x3 = Cy. c) 2xy Ce−= d) 2 4 2 4 y t te C= + + . e) / 48 ti Ce−= − f) y2 + cos(x2) = C. g) x y ye Ce 1 0+ + + = h) 2 + y2 = C ( 4 + x2 ) i) y = C sen(x) j) tg2(x) −cotg2(y) = C k) ( ) ( )31 xe Ctg y− = l) ( )2 2 2lny x x C= − + m) 2 2 x xy xe e C− −=− − + n ) 2 ln(1+u) = 4t + t2 + C 0) C1xlnxy2 ++−= p) 4 arctgy = x4 −4x2 +4lnx + C q) (1+y2) = C(1+x2)–1 r) ln( 1+y)2 = x2 −2x + C s) C1xln5xy +++= t) lny = −1/x + x + C 4. a) y = x2/4. b) ( )22 ln 1 4 xey e  = +    c) (x2 −1)(y2 +1) = 6. d) lny = cossecx – cotgx e) ( )2 1 1 2 2 arcsen x y π−= + . f) ( ) ( )cos 22 2ln 3xe y y− + + = . 5 ( ) ktoQ t Q e= 6. a) Aproximadamente 3,8 dias. b) 694 7. (5,27)ln100 35 ln2 t anos= ≅ 8. ( )ln 2 5745 k − = ; ( ) ( )ln 2 5745 t oQ t Q e         − = ( ) ( ) ( ) ln 5 5745 ln 2 t anos= 9. Aproximadamente 604 anos 10. ( ) ( ) ln 0,145 .5745 ln 2 t = − (aproximadamente 16000 anos atrás) 11 . t ≈ 52 min 12. t ≅ 2,24 horas 13. 22,5° 14. 40 °C 15. Q = 60 e−6/5 kg 16. 50 galões 17. Q = 315/16 kg 18. 19. a) 3 3 200 10 ( ) (200 ) 20 (200) t Q t t −= + − b) Após 200 minutos Respostas: Aula 9 1. a) não é linear b) y = (2/3) 2xx Cee −+ c) y = 4 x C− d) não é linear e) C cosxy x −= f) y = x2+Ce4x 2. (a) t = 4s; v = −20m/s; (b) t = 2s; smax = 20m. 3. (a) 70 m/s (b) 392 m (c) 6,86 m/s 4. 10 1 99 ( ) 20 20 tq t e−= + coulombs 5. a) q(t) = e−2t − e−5t b) ln(5 / 2) 3 t = e a carga máxima é 2 / 3 3 2 5 5 q  =     coulombs Respostas: Aula 10 1. (a) ; = Š.  + Š JP (b) 2 21 2cos(3 ) (3 )x xy C e x C e sen x= + (e) ; = Š. J/ + Š  J/ (r) ; = J 
cos
 + 2 
 2. ¤
 = J &
5 cos
40 +  
40; ¤
0,01 = J. ⁄
5cos
2 5⁄  +  
2 5⁄  ≅ 4,568 "m*"+ 3. ¤
 = 6 J & − 2 Jp&. A carga no capacitor não se anula.