MATA06: C´alculo E Lista 3 Henrique B. da Costa
Exerc´ıcio 1 (L’Hˆopital).Suponha que f(z0) = g(z0)=0, que f0(z0)eg0(z0)existam e g0(z0)6= 0.
Mostre que
lim
z→z0
f(z)
g(z)=f0(z0)
g0(z0).
Exerc´ıcio 2. Mostre que os limites abaixo n˜ao existem:
(a) lim
z→0
z
z;(b) lim
z→0z
z2
Exerc´ıcio 3. Mostre que se lim
z→z0
f(z) = w0, ent˜ao lim
z→z0
|f(z)|=|w0|.
Exerc´ıcio 4. Suponha que fseja uma fun¸c˜ao limitada numa vizinhan¸ca de z0eguma fun¸c˜ao tal
que lim
z→z0
g(z)=0. Mostre que lim
z→z0
f(z)g(z)=0.
Exerc´ıcio 5. Mostre que as fun¸c˜oes abaixo s˜ao descont´ınuas no ponto z0especificado.
(a) f(z) = z3−1
z−1,|z| 6= 1,
3,|z|= 1,,z0=i;(b) f(z) = Arg(iz),z0=i.
Exerc´ıcio 6. Determine Re(eiz2).
Exerc´ıcio 7. Se z=x+iy, mostre as identidades abaixo:
(a) senh z= senh xcos y+icosh xsen y;
(b) cosh z= cosh xcos y+isenh xsen y;
(c) |senh z|2= senh2x+ sen2y;
(d) |cosh z|2= senh2x+ cos2y;
(e) senh z= 0 se, e somente se, z=kπi,k∈Z;
(f) cosh z= 0 se, e somente se, z= ( π
2+kπ)i,k∈Z;.
Exerc´ıcio 8. Mostre que para todo z∈Ctemos
(a) sen z= sen z;
(b) cos z= cos z;
(c) senh z= senh z;
(d) cosh z= cosh z.
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