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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
SEQÜÊNCIAS
Informalmente, dizemos que uma seqüência é uma sucessão interminável de “coisas”, em uma
determinada ordem. As seqüências com as quais trabalharemos são seqüências numéricas. Por exemplo:
- A seqüência dos números pares: 0, 2, 4, 6, ..., 2n, ....
- A seqüência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...
Cada termo de uma seqüência é, em geral, representado por uma variável indexada, com o índice
representando a posição do termo na seqüência:
a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
onde
1
a é o primeiro termo,
2
a é o segundo, e assim por diante.
Podemos, também, definir uma seqüência apresentando uma fórmula para obter um termo qualquer
a
n
chamado de n- ésimo termo ou termo geral - , escrevendo o mesmo entre chaves ou entre parênteses:
{a
n
n 1
ou
a
n
n 1
Por exemplo, a seqüência dos números pares e a dos números ímpares, definidas acima, podem
ser representadas, respectivamente, por:
0
n≥
n e
0
≥
n
n .
Obs : Observe que, no exemplo acima, os índices dos termos das seqüências iniciam em zero. Na verdade,
numa seqüência os índices podem iniciar em zero ou em qualquer outro número natural. Porém,
quando escrevermos simplesmente
n
a ou
n
a , convencionamos que n começa em 1.
Seqüências também podem ser definidas recursivamente, ou seja, através de uma fórmula que determina
como obter cada termo da seqüência a partir de um ou mais termos anteriores (que devem ser dados),
chamada de equação de recorrência ou fórmula de recursão.
Exemplos:
(a) A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... , chamada de seqüência de Fibonacci , pode ser definida
recursivamente por:
1 2
2
1
− −
a a a n
a
a
n n n
.
(b) Através da recorrência
1
1
−
a a n
a
n n
, obtém-se a seqüência:
3, 6, 12, 24, 48, ...
Um pouco mais formalmente, definimos uma seqüência como uma função cujo domínio é o conjunto dos
números inteiros positivos (se iniciarmos os índices em 1):
n f n
f IN IR
∗
onde ( 1 )
1
a = f , ( 2 )
2
a = f , ..., a f(n)
n
Em geral, a representação gráfica de uma seqüência é a usual de funções de uma variável, utilizando-se o
eixo horizontal para representar os índices (domínio da função) e o vertical para os termos da seqüência
(imagem da função).
Exemplo:
Seja a seqüência
n
Neste caso,
f n=a
n
n
Logo:
1
a = , 3 / 2
2
a = ,
3
a = ,
5
a = , ...
Ao estudarmos uma seqüência interessa saber como ela “evolui”, ou seja, como ela se comporta à
medida que os seus termos vão sendo gerados. Analisando o gráfico da seqüência pode-se avaliar o
comportamento de
a
n
quando n cresce indefinidamente. Por exemplo, na seqüência acima, à medida que n
aumenta,
a
n
se aproxima de 1.
O teorema abaixo fornece uma maneira de estudarmos o comportamento de uma seqüência quando n
tende para mais infinito.
Teorema
Seja uma função f definida em um intervalo [ c ;+∞ ), onde c ∈ℝ , e a seqüência
n
a tal que
a
n
= f n , para cada inteiro positivo n.
lim
x ∞
f x = L
então
lim
n ∞
a
n
=L
.
lim
x ∞
f x =∞
(ou
então
lim
n ∞
a
n
(ou
.
Isto significa que o limite de uma seqüência pode ser obtido a partir do limite da função de uma variável
real correspondente.
Exemplos:
(a)
0
≥
n
n
=
r = < , lim
n ∞
n
Logo, a seqüência converge para 0.
(b)
n
n 0
r = 4 > 1 ,
lim
n ∞
n
Logo, a seqüência é divergente.
O resultado abaixo é particularmente útil para seqüências de termos negativos ou que alternam sinais
(chamadas de seqüências alternadas ).
Teorema
Seja
n
a uma seqüência. Se
lim = 0
→ ∞
n
n
a
então
lim = 0
→ ∞
n
n
a
.
Exemplo:
Seja a seqüência alternada
n
n
n 0
Considerando o valor absoluto de cada termo, obtemos a
seqüência:
n
Temos que:
lim
n ∞
n
= lim
n ∞
n
Logo, a seqüência
n
converge para 0. Assim, pelo teorema
anterior, concluímos que
lim
n ∞
n
n
e que a seqüência dada é convergente.
Um outro resultado importante:
Teorema:
Uma seqüência converge para um limite L se e somente as seqüências dos termos de posição par e
ímpar convergem ambas para L.
Exemplos:
(a) A seqüência:
2
2
3
3
(isto é,
a
n
n 1
2
se n é ímpar, e
a
n
n/ 2
se n é par) diverge, pois a
seqüência dos termos de posição par:
2
3
tende para zero, enquanto que a seqüência dos termos de posição ímpar:
2,
4,
tende para
(diverge).
(b) A seqüência
{
n 2 n
3
n
3
}
n 1
diverge, pois a seqüência dos termos de posição par converge para 2:
lim
n ∞
2 n
3
n
3
enquanto que a a seqüência dos termos de posição ímpar converge para -2:
lim
n ∞
2 n
3
n
3
Teorema do Confronto:
Sejam as seqüências
n
a ,
n
b e
n
c , tais que
n n n
a ≤ b ≤c , para todos os valores de n acima de
algum índice. Se
lim
n ∞
a
n
=L=lim
∞
c
n
então
b L
n
n
→ ∞
lim
.
Exemplo:
Seja a seqüência
n
n
cos ( )
2
. Temos que − 1 cos n 1 , logo, 0 cos
2
n 1 e, então:
n
n
n
cos ( )
2
n
.
Assim, obtemos que:
n
n
cos ( )
2
n
n
a
n
b
n
c
Como
lim 0 = 0
x → + ∞
e 0
lim =
→ + ∞
n
x
, pelo teorema do Confronto, concluímos que
lim
n ∞
cos
2
n
n
Portanto, a seqüência
n
n
cos ( )
2
converge para 0.
Obs :
Das operações e propriedades operatórias dos limites obtemos algumas propriedades das seqüências.
Em particular:
Se (
n
a ) e (
n
b ) são seqüências convergentes e c é um número real então as seqüências
(
n
a ) ± (
n
b ) , (
n
a ). (
n
b ) e (c
n
a )
são convergentes.
