lista de transformação linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe lista de transformação linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Lista 3 Transformações lineares. 1. Decida se as seguintes transformações T : V → W são lineares a) T : R→ R, definida por T (x) = |x|, para todo x ∈ R. b) T : Pn(R)→ Pn(R), onde T (p(t)) = p(t+ 1) para todo polinômio p(t) ∈ Pn(R); c) T : Mn(R)→ R, onde T (A) = traço(A), A ∈Mm×n(R); d) T : Mm×n(R)→ R, onde T (A) = posto(A), A ∈Mm×n(R); e) T : Mn(R)→ R, onde T (A) = det(A), A ∈Mm×n(R). 2. Seja T : V → W uma transformação linear. Em cada caso prove a afirmação ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. a) Se dimV = 4, dimW = 3, então T é injetora; b) Se {e1, e2, e3, e4} é uma base de V e T (e2) = 0 = T (e4), então dim Im(T ) ≤ 2; c) Se T for injetora, então dimV ≤ dimW . d) Se dimV ≥ dimW , então T é sobrejetora. e) Se T : Rm → Rn for sobrejetora, então dimKer(T ) = m− n 3. Determinar bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo: a) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ y, 2x+ y, 3x+ y), (x, y, z) ∈ R3. b) T : R→ R2, T (x, y) = y + 2x, (x, y) ∈ R2. c) T : M2(R)→M2(R), T (X) = AX , X ∈M2(R), onde A = [ 1 2 2 4 ] . d) T : P2(R)→ P2(R), T (p(t)) = p′(t), p(t) ∈ P2(R). e) T : P2(R)→ P2(R), T (p(t)) = p′(t) + p′′(t), p(t) ∈ P2(R). f) T : M2(R)→M2(R), T (X) = AX +X , X ∈M2(R), onde A = [ 1 2 2 4 ] . 4. Seja T : R3 → R3 um operador linear tal que T ((1, 0, 0)) = (2, 3, 1), T ((1, 1, 0)) = (5, 2, 7), e T ((1, 1, 1)) = (−2, 0, 7). Encontre T ((x, y, z)) para (x, y, z) ∈ R3. T é sobrejetora? T é injetora? T é bijetora? 5. Sejam E e O os subespaçõs constituídos pelos polinômios pares, p(t) tal que p(−t) = p(t) e ímpares q(t) tal que q(−t) = −q(t) de Pn(R). Use o teorema da dimensão para mostrar que dimO+dimE = n+ 1. 6. Seja T : P2(R)→ P4(R) tal que T (1) = t, T (t+t2) = 1, T (t−t2) = t+t3. Determine T (a+bt+ct2). 7. Determinar uma aplicaçao linear T : R5 → R3 tal que Im(T ) = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1)], Ker(T ) = [(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 0)].