MAT 0222 ´
Algebra Linear II
Lista 2
1. Seja T:C2→C2definida por T(x1, x2)=(x1,0).Seja B={v1, v2}com v1= (1, i) e
v2= (−i, 2). Ache as matrizes: [T]can,B ,[T]B,can,[T]can e [T]B.(Aqui can designa a base
canˆonica de C2.)
2. Seja A∈Mn(K) uma matriz fixa e seja TA:Mn(K)→Mn(K) definida por
TA(M) = AM −MA.
Mostre que TA´e uma transforma¸c˜ao linear.
3. Exiba uma fun¸c˜ao T:C→Cque seja R- linear mas que n˜ao seja C- linear.
4. Sejam VeWespa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre K. Sejam T:V→WeS:W→V
transforma¸c˜oes lineares. Mostre que se dimV > dimWent˜ao a composta S◦Tn˜ao ´e invert´ıvel.
5. Seja Vum espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T:V→Vlinear tal que posto(T2) =
posto(T). Prove que KerT∩ImT={0}.
6. Seja θ∈R. Prove que as matrizes
cosθ −senθ
senθ cosθ eeiθ 0
0e−iθ
s˜ao matrizes semelhantes em Mn(C).
7. Seja Vum espa¸co vetorial de dimens˜ao 2 sobre o corpo Ke seja Tum operador linear em V
tal que T2=T. Prove que ou T´e o operador nulo, ou T´e a identidade ou existe Bbase de
Vtal que
[T]B=1 0
0 0 .
8. Seja Vum espa¸co vetorial de dimens˜ao nsobre o corpo Ke seja Tum operador linear em V
tal que Tn= 0 e Tn−16= 0. Seja v∈Vtal que Tn−1v6= 0. Prove que o conjunto
B={v, T v, T 2v, ..., T n−1v}
´e uma base de V. Qual ´e a matriz [T]B?
