lista de algebra linear transformação linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe lista de algebra linear transformação linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Álgebra Linear - Exercícios (Transformações Lineares) Índice 1 Transformações Lineares 1 Transformações Lineares e Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações 4ov = 0 nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação: 00 0/0 0 1 2/0 | La La+(-1)Lz 01 1/0 00 0/0 0 1 2/0 |L2+6 1, +2L 00 1/0 00 0 ]0 01 010 00 -1/0 Dado que rA, = 2 < 3 0 sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, c a solução é da forma: v vu v |=| 0 = vz 0 O contradomínio, ou imagem, de T>, denotado por Im (T>) ou T> (R?) é dado pelo conjunto Im (Tb) = (w E Rº:T>(v) =w,Voers). Temos as- sim que analisar a forma dos vectores Apv. Note-se que A2v consiste na combinação linear das colunas de As: 0 0 0 Av=v| 0 |+vw|l1l|+w|2 0 1 1 0 0 É evidente que apenas | 1 | e | 2 | são linearmente independentes 1 1 (não são múltiplos um do outro), pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w, se terá com vector genérico de Im (T>): 0 1 O |,;meR w 0 0 uw |=vw|1|+03|2 |,u,veR w3 1 Tem-se claramente, Nuc(T1) = Nuc(T>). Embora de modo menos claro, também se tem Im (71) = Im (T>). Basta verificar que os vectores da base 1 Transformações Lineares 0 0 de Im (T»), ( 1 | , | 2 | | se podem escrever como combinação linear 1 1 dos vectores da base de Im (71), o que significa que os vectores da base de Im (71) geram o conjunto Im (T;). Deste modo, tem-se Im (Ti) = Im (73). Exercício 2 Verifique se a aplicação T se qualifica como transformação linear: Rº, T;R SR eT(z,y)=(22-9,0) Solução Temos de verificar se T (au + Bv) = aT (u) + BT (v),Vuver2; Va,per- Faça- mos então u = (um, u2) ev = (vi, vz). T (au + Bu) = T(a(w,ua) +8(w,02)) = T(au + Bu, au + Bva) = (2(aw + Bm) — (aus + Bus) ,0) = (20u — qua + 2801 — Bv2,0) = (20u — aup,0) + (2801 — Bv2,0) = (Zu — u2,0) + B (2 — 02,0) = aT(u)+8T(v) Logo, T é uma transformação linear. Exercício 3 Determine a matriz da transformação de cada uma das seguintes transformações lineares, considerando a base canónica: a) T:;R2>R2 eT(x,y)=(22-—9,0) bd) T:RE >R2 eT(x,y) = (2x —y,2) JTIRSR eT(z,y2)=(22-y,0,4+2) d) T:R3 >Rº eT(2,y,2) = (0,0,9) Solução Consideremos a base canónica para R?, (e; = (1,0),e» = (0,1), e para Rº, Ter = (1,0,0),e2 = (0,1,0),es = (0,0,1)>. 1 Transformações Lineares T(e)=T(,0)=(2,0)=2:e,40-e2 ) ( T(eo)=T(0,1) = (1,0) =(-1)-e1+0-€2 A matriz da transformação, 4, será uma matriz do tipo 2 x 2 cujas colunas são as coordenadas de T (e;) na base (e;): W LTe)=TA,0)=(8D=2-e+1-e» ) À Pl) =P(01)=(-1,0)= (1) ce: +0-c» A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 2x 2 cujas colunas são as coordenadas de T (e;) na base (e;): 2-1 1-0] T(e)=T(1,0,0)=(2,0,0)=2-e;+0-e2+0-es co) 4 T(e)=T(0,1,0)=(-1,0,1)=(-1) e +0-es+1-es T(es)=T(0,0,1)=(0,0,1)=0-e;+0-es+1-es A matriz da transformação, 4, será uma matriz do tipo 3x 3 cujas colunas são as coordenadas de T'(e;) na base (e;): 2-10 A=|0 0 0 011 ( T(0,1,0)=(0,0,1)=0-e;+0-es+1-es T(es)=T(0,0,1) = (0,0,0) =0-e1 +0-e2+0-es A matriz da transformação, 4, será uma matriz do tipo 3 x 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e;) na base (e;): T(e)=T(1,0,0) = (0,0,0) =0-e1 +0-e2+0-es d) ( T(ea)= =( voo noo coo Los Exercício 4 Determine a imagem do vector (—2,4) relativamente a cada uma das seguintes transformações lineares. Utilizando primeiro a definição e em seguida utilizando a matriz de cada transformação: 1 Transformações Lineares i) Temos de verificar se T(aA + 842) =0T (A) + BT (Ao), Va, A3eMo(R)» Va, 6eR Façamos então 4; = [ o k | eA= [ o b | T(aA, + BA) o q by ao dba «nela areia a) aa + Ba abr + Bba aci + Becas ady + Bdo am by +Bbo aci dy + Bda Bas abr + Bda Bca ady + Bda — jam ab +) SM Bbo Bas abr Bas Ba — Ja ad ac; Bda Bea ady Bco Bda =02 a ba as br 2 = ClAl+ab o q 18 dy [FIM a b a b = ctr(4) + 8ºr (4) ras (for da Joia du |) * ar(u)+B7(o) Logo, T' não é uma transformação linear. ii) Temos de verificar se: T(aA, + 842) =0T (Ay) + BT (As) Va, ,4,eMa(R)) Va, ger Façamos então 4; = [ ' k | eAo= [ o b | T(aA, +84) = (la aleli a]) o r([ am +Baz ab, + Bbo |) aci + Bco ady + Bda 2(aa+ Baz)+3(abi+ Bbo)+Haci+ Bea)—(adi+ Bda) a-(20) +3b, +ci — dy) + 8 - (2a2 + 3ba + co — do) = 0T(A) + BT (As) 10 1 Transformações Lineares Logo, T é uma transformação linear. Exercício 6 Seja T uma transformação linear em Rº dada por T (x,y,2) = (am -w-2). a) Indique o núcleo de 'T, a sua dimensão e uma base. b) Determine a dimensão da imagem de Rê dada por T. c) T é sobrejectiva? Justifique. Solução a) Consideremos a base canónica para Rº: ter = (1,0,0),e2 = (0,1,0),es = (0,0,1)) Determinemos a matriz da transformação: T(a)=T(1,0,0)=(0,1,0)=0-e+1-e2+0-es T(e)=T(0,1,0)=(0,-1,0)=0-e;+(—1)-es+0-es T(es)=T(0,0,1)=(1,0,-1)=1-e,+0-es+(-1)- es A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3x 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e;) na base (e;): O núcleo da transformação é dado pelo conjunto Nuc(T)= (ve R*:T(v)=0) Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações Av = 0 nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação: 0 0 1140 1-1 0 ]0 Ly co Ly 0 0 -—1]0 1-1 0 ]0 0.0 110 Ly Ly+L 0 0 1/0 1-1 0/0 0 0 1/0 0 0 0/0 Transformações Lineares Dado que ra = 2 < 3 0 sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, e a solução é da forma: vi vz 1 vl=|0 |=n|1|,weR vz 0 on Assim, Nuc(T) tem dimensão 1 (nulidade é 1) e base ( | | j b) Sabendo que dim (Nuc(T)) + dim (Im (T)) = dim (R?) ... teremos, 1 + dim (Im (T)) = 3 e portanto dim (Im (T)) = 2. c) A transformação T é sobrejectriva se Vwens, Ivens : T(v) = w. É simples verificar que um vector genérico de Im (T') terá a forma Av, isto é, será combinação linear das colunas de 4. A primeira e segunda colunas de A são múltiplas entre si, logo, são linearmente dependentes. Tal significa 0 1 que Im (7) terá como base, por exemplo, ( | 1].1 0 + Ora, nestas 0 —1 1 circunstâncias poderemos facilmente inferir que o vector wo = | 0 | ER? 0 não pode ser obtido por combinação linear dos vectores da base de Im (T), isto é, não existe um vector v tal que T(v) = wo. Confirmemos que de facto assim é, verificando que o sistema Av = 1 é impossível, para o que estudaremos a matriz ampliada: o 0 1/1 14 0 | Le 0 0 -—1]/0 1-1 0 ]0 0 0 1/1 |LoL5+L 0 0 -—1]0 1 0 0 -1 0/0 o 1/0 o 0/1 Como previsível tem-se ra =2 < 3=r4|p, isto é, o sistema é impossível. 12 1 Transformações Lineares -3 —1 0 A=|2 01 4 3 1 Verificando que |A| = 0-4+0-—(0-9-2) = 7 £ O concluímos que A é regular e portanto T é invertível. A teoria ensina que a matriz da transformação inversa T-! é precisamente a matriz A“!. Utilizando um qualquer método de inversão (por condensação ou pela matriz adjunta) conlui-se que: “leo “at Al = te (atm Ú jts b =altoateo tomo | Exercício 9 Seja T uma transformação linear em R? definida por: T(a,x>,23) = (am,apto,asx3), a; ER,i=1,2,3 e fixos. Determine as condições que a1,a2 e ag devem satisfazer para T admitir inversa, e obtenha a expressão de T-1. Solução A transformação inversa, T”!, existirá se a matriz da transformação T for regular. Comecemos então por determinar esta matriz: consideremos a base canónica para Rê, (e; = (1,0,0),e2 = (0,1,0),es = (0,0,1)). T(e)=T(1,0,0)=(01,0,0)=a «e +0-e2+0-es T(e)=T(0,1,0)=(0,02,/0)=0-e;+az-ez+0-es T(es)=T(0,0,1)=(0,0,03)=0-e;+0-es+as-es A matriz da transformação, 4, será uma matriz do tipo 3 x 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e;) na base (fi): q 00 A=|0 a 0 0 0 as Verificando que |A] = ajazag concluímos que A é regular, e portanto T é invertível, se e só se japas £ O. Deveremos portanto impor as condições q £0ha £0OAas £ OA. A teoria ensina que a matriz da transformação inversa T-1 é precisamente a matriz A-!, Utilizando um qualquer método de inversão (por condensação ou pela matriz adjunta) conclui-se que: 15 1 Transformações Lineares a lgio 4t=|0 40 00 & Exercício 10 Seja T uma transformação linear de R3 em R? definida por: T(a) = (Ti (x), To (2) . com Ty e To transformações lineares de Rê em R. Mostre que T é transformação linear se e só se Ti e T» são transformações lineares. Solução (==>) Suponhamos que T é uma transformação linear. Pretende-se mostrar que Ty e T; são transformações lineares. Se T é uma transformação linear teremos: T (au + Bu) =aT (u) + BT (0) ,Vuvers, Va,gem Desenvolvendo ambas os termos das igualdades teremos: T (au + Bv) (Ti (ou + Bu), To (au + Bu)) (u) +87T(0) = a(M (u), To (u)) + 8 (Mi (0), To (0)) Teremos assim: (Ti (au + Bv),To (au + Bv) = a(T (u),To (u)) + B(M (0), To (v)) = (aM (u) ,aT> (u)) + (87 (v) To (v)) (aT (u) + 87 (0) ,aT> (u) + BT> (v)) O que implica que: (Ti (au + Bo), To (au + Bv)) = (aTi (u) +87 (v),aTa (u) +87 (v)) += Ty (ou + Bu) = Ty (u) + BT; (0) + (if go Dara Lo) Mas então Ti e T» são transformações lineares. 16 1 Transformações Lineares (+=) Suponhamos que 7) e T» são transformações lineares. Pretende-se mostrar que T é uma transformação linear. Se Tj e T; são transformações lineares teremos: Ty (au + Bu) = Ti (u) + BM (0), Vuvers, Va ger e To (au + Bv) = Ta (u) + BTo (v) ,Vuver?, Vo geR Pretende-se mostrar que T (au + Bv) = aT (u) + BT (v),Vu,veRs, Va,ger: T (au + Bu) (Mi (au + Bu), To (au + Bu) (aTh (u) + 87% (0) ,aTo (u) + BT» (0) (aT (u) ,aT» (u)) + (7 (0), BT> (0) = a(M (u), To (u) + 8(My (0), To (0) = aT(u)+6T(0) Logo, T é uma transformação linear. Exercício 11 Seja P» o espaço vectorial dos polinómios de coeficientes reais de grau menor ou igual a 2. Considere a transformação linear T, de P3 em si mesmo, definida por T [p (x)] =p (2 +1) — p(x) ,Vp(ojera- a) Indique, justificando, uma base para a imagem de T. b) Determine o núcleo da transformação lincar T, a sua dimensão e uma base. Solução a) Comecemos por determinar a matriz da transformação T considerando a base canónica para Pp, (er =22,e,=2,e3=1): T(e)=T()=(2+412-22=2041=0-+2-es+1-e3 T(e)=T(r)=(2+1) =0:e+0-e+1-es T(es)=T(l)=1-1=0=0-e,+0-e2+0-es A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3 x 3 cujas colunas são as coordenadas de T' (e;) na base (fi): 1 Transformações Lineares Poderemos escrever esta matriz como a seguinte combinação linear de matrizes: 100 010 001 a/0 0 0|+b|[1 0 0|+c|/0 0 0]+ 000 000 100 000 000 000 d/010|+e/0 0 1|+f/0 0 0 | Vabedefer 000 010 001 Concluímos assim, que no caso n = 3, a nulidade é 6 e a base é constituída. pelos vectores: 1 , , 0 |, 0 00 0 000 1/0 1 > 0 5/0 0 0 »Vasbsed,e fER 00 1 001 Poderemos facilmente inferir que, no caso geral, a nulidade será 1 + 2 + e +n= nel e a base será constituída pelos matrizes com os seguintes elementos: con soo soo con oHo voo ooo Soo sono ooo 9090 mj=1, iDj=1, Wj=aj i<Xj=1, c) Consideremos então base canónica para Mo (R): te=Lo oJe-[o o)s-[2o)e-[01]) Determinemos a matriz da transformação: 20 1 Transformações Lineares nezo(88D- [88-88] -[88]- =0-e,+0-e2+0-e3+0-e4 r recife EESTI =0-e+1-es+(-1)-es+0-e4 7 nos" [ASAE e+(-1)-es+1-e3+0-e4 r red=r(fo 2)=Lo 2] [o 1] =Lo0]= =0-e,+0-e2+0-e3+0-e4 A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 4x 4 cujas colunas são as coordenadas de T (e;) na base (e;): 00 10 01-10 4=|0 210 00 00 Exercício 13 Seja T uma transformação lincar em R, onde T(1,0,0) = (10,3,-1), T(0,1,0) = (5,3,-4) e T(0,0,1) = (4,6,-10). Determine T (v) onde v = (9, 4,9). Solução Comecemos por determinar a matriz da transformação: consideremos a base canónica para R$, (e; = (1,0,0),e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1)). T(e)=T(1,0,0) = (10,3,-1)=10-e;+3-e2+(-1) -es T(e)=T(0,1,0)=(5,3,-4)=5-e+3-e2+(-4) «es T (es) = T(0,0,1) = (4,6,-10) = 4-e; +6-e2 + (-10) -eg A matriz da transformação, 4, será uma matriz do tipo 3 x 3 cujas colunas são as coordenadas de T (e;) na base (fi): 10 5 4 A=|3 3 6 -1 —4 —10 Como o vector v = (9, 4,9) se pode escrever como combinação linear da base escolhida do seguinte modo: 9-e; + (—4)- e» +9-es, resulta que as coorde- 9 nadas do vector v na base canónica são | —4 |. Conclui-se que as coordenadas 9 21 1 Transformações Lineares de T (v) na base canónica se podem determinar fazendo o produto Av (v neste contexto refere-se às coordenadas e não ao vector propriamente dito): 10 5 4 9 106 Av=| 3 3 6 —4 | =| 69 -1 —4 —10 9 —83 106 Assim, o vector T (v) tem coordenadas | 69 | na base canónica pelo que —83 pode ser escrito como 106 - e; + 69-e> + (—83) -e3. Um simples cálculo permite verificar que: T(v) = 106-e,+69-e2 +(-83) -es = 106-(1,0,0) +69- (0,1,0) + (-83) : (0,0,1) = (-8,0) Exercício 14 Seja T uma transformação em R2: T(x,y)=(k-z,z+y),k E R. a) Prove que T é linear. b) Determine k de modo a que a transformação T admita inversa e, para esses valores, obtenha a transformação inversa T—1. c) Considere k = 0. Determine a dimensão e uma base no núcleo de T. Solução Exercício 15 Suponha que V e W são espaços vectoriais eUT:V > W transformações lineares. a) O que entende por núcleo de 'T? b) Mostre que Núc(U + T) 2 Núc(U) N Núc(T). Solução 22