MAT 0222 ´
Algebra Linear II
Lista 8
1. Seja A∈Mm×n(K). Defina posto linha (coluna) de Acomo sendo a dimens˜ao do subespa¸co
de Kn(Km) gerado pelas linhas (colunas) de A.
(a) Seja T:Kn→Kma transforma¸c˜ao linear cuja matriz em rela¸c˜ao `as bases canˆonicas de
KneKm´e A. Prove que KerT =W⊥, onde W´e o subespa¸co de Kngerado pelas linhas de
A.
(b) Prove que o posto linha de A´e igual ao posto coluna de A.
2. Sejam VeWespa¸cos vetoriais de mesma dimens˜ao (finita) sobre Ke com produtos internos
< , >Ve< , >Wrespectivamente. Seja T:V→Wuma transforma¸c˜ao linear. Prove que as
seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(a)< Tu, T v >W=< u, v >Vpara todo u, v ∈V .
(b)Tleva toda base ortonormal de Vem uma base ortonormal de W.
(c)Tleva uma base ortonormal de Vem uma base ortonormal de W.
(d)kT vk=kvkpara todo v∈V .
Tal T´e um isomorfismo de espa¸cos com produto interno.
3. Seja Vum espa¸co vetorial sobre Kcom produto interno < , > e seja Tum operador linear
invert´ıvel em V. Prove que se < T u, T v >=< u, v > para todo u, v ∈V, ent˜ao Tadmite um
adjunto e T∗=T−1.Mostre que a rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira, isto ´e , se T´e um operador
linear em Ve se Tadmite um adjunto tal que T∗T=T T ∗=Ient˜ao T´e um isomorfismo
de espa¸cos com produto interno (isto ´e, < T u, T v >=< u, v > para todo u, v ∈V). Tal T´e
chamado operador unit´ario se K=Ceortogonal se K=R.
4. Seja To operador linear em C2(com o produto interno usual) definido por: T(1,0) = (1+i, 2)
eT(0,1) = (i, i).Ache a matriz de T∗em rela¸c˜ao ´a base canˆonica de C2. Vale que T T ∗=T∗T?
5. Seja Vum espa¸co vetorial sobre K, de dimens˜ao finita e com produto interno < , > e seja T
um operador linear em V. Mostre que ImT ∗= (K erT )⊥.
6. Seja Vum espa¸co vetorial sobre K, de dimens˜ao finita e com produto interno < , > e seja T
um operador linear em V. Prove que se T´e invert´ıvel, ent˜ao T∗´e invert´ıvel e (T∗)−1= (T−1)∗.
7. Seja V=P3(R) com o produto interno < p, q >=R1
0p(x)q(x)dx. Seja Do operador deriva¸c˜ao.
Ache D∗.
