Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matemática e Estatística
GET00189 – PROBABILIDADE I
Probabilidade e Variáveis Aleatórias Unidimensionais
AnaMariaLimadeFarias
JessicaQuintanilhaKubrusly
MarianaAlbideOliveiraSouza
17deabrilde2021
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Livro-texto de Probabilidade, Resumos de Probabilidade
Livro-texto de Probabilidade e Estatística
Tipologia: Resumos
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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matemática e Estatística
GET00189 – PROBABILIDADE I Probabilidade e Variáveis Aleatórias Unidimensionais
Ana Maria Lima de Farias
Jessica Quintanilha Kubrusly
Mariana Albi de Oliveira Souza
17 de abril de 2021
Conteúdo
- 1 Probabilidade Conteúdo i
- 1.1 Experimento aleatório, espaço amostral e evento
- 1.2 Probabilidade: axiomas e propriedades
- 1.3 Espaços amostrais finitos e igualmente prováveis
- 1.4 Conjuntos limite e continuidade da probabilidade
- 2 Probabilidade Condicional
- 2.1 Probabilidade condicional
- 2.2 Regra da multiplicação
- 2.3 Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes
- 2.4 Independência de eventos
- 3 Variáveis Aleatórias
- 3.1 Variáveis aleatórias
- 3.2 Função de distribuição
- 3.3 Classificação de variáveis aleatórias
- 4 Variáveis Aleatórias Discretas
- 4.1 Função de probabilidade
- 4.2 Funções de variáveis aleatórias discretas
- 4.3 Esperança de Variáveis Aleatórias Discretas ii CONTEÚDO
- 4.4 Variância e desvio-padrão de variável aleatória
- 5 Variáveis Aleatórias Contínuas
- 5.1 Função densidade de probabilidade
- 5.2 Funções de variáveis aleatórias contínuas
- 5.3 Esperança de variáveis aleatórias contínuas
- 5.4 Variância e desvio-padrão de variáveis aleatórias contínuas
- 6 Momentos e sua função geradora
- 6.1 Momentos
- 6.2 A função geradora de momentos
- 6.3 Distribuições simétricas
- 6.4 Algumas desigualdades importantes
- 7 Algumas Distribuições Discretas
- 7.1 Distribuição uniforme discreta
- 7.2 Distribuição de Bernoulli
- 7.3 Distribuição binomial
- 7.4 Distribuição geométrica
- 7.5 Distribuição binomial negativa
- 7.6 Distribuição hipergeométrica
- 7.7 Distribuição de Poisson
- 7.8 Mais exemplos
- 8 Algumas Distribuições Contínuas
- 8.1 Distribuição uniforme
- 8.2 Distribuição exponencial
- 8.3 Distribuição gama
- 8.4 Distribuição beta CONTEÚDO iii
- 8.5 Distribuição de Weibull
- 8.6 Distribuição de Pareto
- 9 A Distribuição Normal
- 9.1 Distribuição normal padrão
- 9.2 Cálculo de probabilidades da normal padrão
- 9.3 A distribuição normal
- 9.4 Cálculo de probabilidades da normal
- 9.5 Cálculo de quantis da distribuição normal
- 9.6 Exemplos de aplicação da distribuição normal
- 9.7 A distribuição log-normal
- A Resumo das distribuições
- B Tabelas
- C Respostas dos Exercícios
- Bibliografia
- Índice Remissivo
Capítulo 1
Probabilidade
No nosso cotidiano, lidamos sempre com situações em que está presente a incerteza do resultado, embora, muitas vezes, os resultados possíveis sejam conhecidos. Por exemplo, se estamos interessados na face voltada para cima ao jogarmos um dado, os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 e 6, mas só saberemos o resultado quando o experimento se completar, ou seja, quando o dado atingir a superfície sobre a qual foi lançado. Se nosso interesse é o tempo de duração, em minutos, de determinado tipo de lâmpada, sabemos que o resultado pode ser qualquer número positivo, que só será conhecido quando a lâmpada se queimar. É conveniente, então, dispormos de uma medida que quantifique a incerteza presente em cada um destes acontecimentos. Tal medida é a probabilidade.
1.1 Experimento aleatório, espaço amostral e evento
Um experimento que pode gerar diferentes resultados se realizado mais de uma vez, sob as mesmas condições, é chamado de experimento aleatório. Como exemplos de experimentos aleatórios temos: o lançamento de um dado e a observação da face superior; a observação do tempo de duração de um dispositivo eletrônico; lançamentos consecutivos de uma moeda até que saia a face cara.
O conjunto formado por todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral e será representado pela letra grega maiúscula Ω. Em geral, usamos a letra grega minúscula ω para representar um resultado específico de um experimento aleatório. Nesse caso, podemos escrever ω ∈ Ω.
Se Ω é o espaço amostral de algum experimento aleatório, qualquer subconjunto A ⊆ Ω será chamado de evento. Em particular, cada ω ∈ Ω é chamado de evento elementar.
Assim como os conjuntos, eventos, em geral, são denotados por letras maiúsculas.
Exemplo 1. Para os experimentos aleatórios listados a seguir, defina o espaço amostral e apresente alguns
1
1.1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO 3
A = “a primeira bola retirada é branca”; B = “a segunda bola retirada é branca”; C = “ambas as bolas retiradas são brancas”.
Solução: Considerando a numeração das bolas, o espaço amostral pode ser definido como:
Ω = { (i; j) | i = 1; 2 ; 3 ; 4; j = 1; 2 ; 3 ; 4; i 6 = j } = { (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3) } :
Os eventos são:
A = { (i; j) | i = 1; 2; j = 1; 2 ; 3 ; 4; i 6 = j } = { (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 3); (2; 4) } ; B = { (i; j) | i = 1; 2 ; 3 ; 4; j = 1; 2; i 6 = j } = { (2; 1); (3; 1); (4; 1); (1; 2); (3; 2); (4; 2) } ; C = { (i; j) | i = 1; 2; j = 1; 2; i 6 = j } = { (1; 2); (2; 1) } :
Exemplo 1.3 Extração de cartas de um baralho especial Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada uma das seguintes cores: azul, vermelha, marrom e branca. Dê um espaço amostral para esse experimento e liste os eventos:
E 1 = “todas as cartas selecionadas são vermelhas”; E 2 = “uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta marrom são selecionadas”; E 3 = “as três cartas selecionadas têm cores diferentes”; E 4 = “cartas de todas as quatro cores são selecionadas.
Solução: Vamos denotar por A, V , M e B o sorteio de uma carta da cor azul, vermelha, marrom ou branca, respectivamente. Então
Ω = { (x 1 ; x 2 ; x 3 ) : xi = A; V ; M; B; i = 1; 2 ; 3 } :
4 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
Os eventos são:
E 1 = { (V ; V ; V ) } ;
E 2 = { (V ; A; M); (V ; M; A); (A; V ; M); (A; M; V ); (M; V ; A); (M; A; V ) } ;
E 3 = { (V ; A; M); (V ; M; A); (A; V ; M); (A; M; V ); (M; V ; A); (M; A; V );
(V ; A; B); (V ; B; A); (A; V ; B); (A; B; V ); (B; V ; A); (B; A; V );
(V ; B; M); (V ; M; B); (B; V ; M); (B; M; V ); (M; V ; B); (M; B; V );
(B; A; M); (B; M; A); (A; B; M); (A; M; B); (M; B; A); (M; A; B) } :
Como temos quatro cores diferentes e apenas três extrações, não é possível obter todas as cores; logo, E 4 = ∅.
Sendo os eventos subconjuntos do espaço amostral, outros eventos podem ser obtidos através de operações elementares de conjuntos (veja a Figura 1.1).
- A interseção de dois eventos A e B é o evento A ∩ B = { ω : ω ∈ A e ω ∈ B } , que corresponde à ocorrência simultânea de A e B.
- Se A ∩ B = ∅, os eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos , o que significa que não podem ocorrer simultaneamente.
- A união de dois eventos A e B é o evento A ∪ B = { ω : ω ∈ A ou ω ∈ B } , que corresponde à ocorrência de pelo menos um dos eventos A e B.
- O complementar de A é o evento Ac^ = { ω : ω / ∈ A } , que corresponde à não ocorrência de A.
- A diferença A − B é o evento A − B = { ω : ω ∈ A e ω / ∈ B } , que corresponde à ocorrência de A, mas não de B. A diferença B − A é o evento B − A = { ω : ω ∈ B e ω / ∈ A } , que corresponde à ocorrência de B, mas não de A. Assim como com números, a diferença não é comutativa. Note que podemos escrever A − B = A ∩ Bc^ e B − A = B ∩ Ac. (Veja as Figuras 1.1e e 1.1f)
Nas operações de união e interseção definidas acima, consideramos apenas dois eventos, mas
é possível considerar uniões e interseções de coleções infinitas de eventos. Assim,
⋃^ ∞
i=
Ai é o evento
formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos eventos Ai, i = 1; 2 ; : : :, e
⋂^ ∞
i=
Ai é o
evento formado pelos elementos que pertencem a todos os eventos Ai, i = 1; 2 ; : : :.
A seguir apresentamos as principais propriedades das operações com eventos.
6 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
- Comutatividade
A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A (1.7)
- Associatividade
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (1.8)
- Distributividade
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) (1.9)
- Absorção
A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A (1.10)
- Leis de De Morgan
(A ∩ B)c^ = Ac^ ∪ Bc (A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc^ (1.11)
Considerando coleções infinitas de eventos, podemos generalizar algumas propriedades citadas como descrito a seguir.
- Distributividade Generalizada
A ∩
i=
Bi
⋃^ ∞
i=
(A ∩ Bi)
A ∪
i=
Bi
⋂^ ∞
i=
(A ∪ Bi) (1.12)
- Leis de De Morgan Generalizadas ( (^) ⋂ ∞
i=
Ai
)c
⋃^ ∞
i=
Aci ( (^) ∞ ⋃ i=
Ai
)c
⋂^ ∞
i=
Aci (1.13)
1.1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO 7
Exemplo 1.4 Lançamento de duas moedas Consideremos o experimento do lançamento de duas moedas e observação das faces superiores. Sejam os eventos A = “sair exatamente 1 cara”, B = “saírem duas faces iguais” e C = “sair pelo menos 1 cara”. Determine A ∩ B, A ∪ B, A − B, B − A, A ∩ C , A ∪ C , A − C , C − A, B ∩ C , B ∪ C , B − C , C − B, Ac, Bc, C c, A ∪ (B ∩ C ) e A ∪ B ∪ C.
Solução: Como antes, vamos representar por K face superior cara e por C , coroa. Espaço amostral: Ω = { K K ; K C ; C K ; CC } Eventos: A = { K C ; C K } ; B = { CC ; K K } ; C = { K C ; C K ; K K }. Logo, A ∩ B = ∅; A ∪ B = Ω; A − B = A; B − A = B (note que A e B são disjuntos); A ∩ C = A; A ∪ C = C ; A − C = ∅; C − A = { K K } (note que A ⊂ C ); B ∩ C = { K K } ; B ∪ C = Ω; B − C = { CC } ; C − B = { K C ; C K } ; Ac^ = B; Bc^ = A; C c^ = { CC } ; A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) = Ω ∩ C = C ; A ∪ B ∪ C = Ω. (^)
Exemplo 1. Considere o experimento aleatório que consiste em lançar uma moeda até que apareça cara pela primeira vez. No Exemplo 1.1, vimos que Ω = { K ; C K ; CC K ; CCC K ; CCCC K ; : : : } , em que K representa face superior cara e C , coroa. Vamos definir as seguintes sequências de eventos na σ -álgebra 2 Ω:
An = “a primeira cara ocorre, ou no n − ésimo lançamento, ou depois do n − ésimo lançamento”;
Bn = “a primeira cara ocorre, ou no n − ésimo lançamento, ou antes do n − ésimo lançamento”.
Vamos analisar
⋃^ ∞
i=
Ai,
⋂^ ∞
i=
Ai,
⋃^ ∞
i=
Bi,
⋂^ ∞
i=
Bi.
Solução:
A 1 = { K ; C K ; CC K ; CCC K ; CCCC K ; : : : } = Ω;
A 2 = { C K ; CC K ; CCC K ; CCCC K ; : : : } ;
A 3 = { CC K ; CCC K ; CCCC K ; : : : } ;
Como A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ A 4 ⊃ · · · , resulta que
⋃^ ∞ i=
Ai = Ω e
⋂^ ∞
i=
Ai = ∅:
1.1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO 9
(a) Pela Propriedade (S 1 ), sabemos que Ω ∈ F. Logo, pela Propriedade (S 2 ), temos que Ωc^ ∈ F. Mas Ωc^ = ∅ ∴ ∅ ∈ F.
(b) Ai ∈ F (^) ︸︷︷︸= ⇒ S 2
Aci ∈ F (^) ︸︷︷︸= ⇒ S 3
⋃^ ∞
i=
Aci ∈ F (^) ︸︷︷︸= ⇒ Morgan
i=
Ai
)c ∈ F (^) ︸︷︷︸= ⇒ S 2
⋂^ ∞
i=
Ai ∈ F.
Exemplo 1. Seja Ω = { 1 ; 2 ; 3 } e considere as seguintes coleções de subconjuntos de Ω:
F 1 = { ∅; Ω; { 3 } ; { 1 ; 2 }} e F 2 = { ∅; Ω; { 2 } ; { 3 } ; { 1 ; 2 } ; { 1 ; 3 }} :
Verifique se F 1 e F 2 são σ -álgebras.
Solução:
• F 1
? Ω ∈ F 1 ; portanto, S 1 é satisfeita. ? ∅c^ = Ω ∈ F 1 , Ωc^ = ∅ ∈ F 1 , { 3 } c^ = { 1 ; 2 } ∈ F 1 , { 1 ; 2 } c^ = { 3 } ∈ F 1 ; S 2 é satisfeita. ? ∅ ∪ Ω = Ω ∈ F 1 , ∅ ∪ { 3 } = { 3 } ∈ F 1 ,∅ ∪ { 1 ; 2 } = { 1 ; 2 } ∈ F 1 , Ω ∪ { 3 } = Ω ∪ { 1 ; 2 } = Ω ∈ F 1 , { 1 ; 2 } ∪ { 3 } = Ω ∈ F 1 É fácil ver que as uniões de 3 ou 4 subconjuntos resultam em elementos de F 1. Além disso, como F 1 é uma classe finita, pelas propriedades de idempotência (Equações 1.6), qualquer união de 5 ou mais subconjuntos também resulta em um elemento de F 1. Logo, a propriedade S 3 é satisfeita.
F 1 é σ -álgebra.
- F 2 Podemos ver que { 2 } ∪ { 3 } = { 2 ; 3 } ∈ F / 2. Logo, F 2 não é σ -álgebra.
Exemplo 1.7 A menor σ -álgebra contendo A Sejam Ω um espaço amostral e A ⊂ Ω um subconjunto qualquer. Mostre que
F = { ∅; Ω; A; Ac }
é uma σ -álgebra.
10 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
Solução:
? Ω ∈ F ; portanto, S 1 satisfeita.
? ∅c^ = Ω ∈ F , Ωc^ = ∅ ∈ F , Ac^ ∈ F , (Ac)c^ = A ∈ F ; portanto, S 2 satisfeita
? ∅ ∪ Ω = Ω ∈ F , ∅ ∪ A = A ∈ F ,∅ ∪ Ac^ = Ac^ ∈ F , Ω ∪ A = Ω ∪ Ac^ = Ω ∈ F 1 , A ∪ Ac^ = Ω ∈ F As uniões de 3 ou 4 subconjuntos resultarão trivialmente em elementos de F , assim como uniões com 5 ou mais subconjuntos (pela propriedade de idempotência). Logo, a propriedade S 3 é satisfeita.
F é σ -álgebra, que é chamada menor σ -álgebra que contém A, no sentido de que qualquer outra σ -álgebra que contiver A terá os mesmos elementos de F e, possivelmente, mais alguns.
Exemplo 1.8 σ -álgebras canônicas Se Ω é um espaço amostral, então temos duas σ -álgebras canônicas:
F 1 = { ∅; Ω } e F 2 = 2Ω;
em que 2 Ω^ representa o conjunto de todos os subconjuntos de Ω, chamado de conjunto das partes de Ω. F 1 e F 2 são chamadas, respectivamente, de menor e maior σ -álgebra de Ω. Em todos os exemplos e situações abordadas nesse curso iremos considerar a σ -álgebra F 2 = 2Ω.
Solução: Não apresentaremos aqui a demonstração de que F 2 é uma σ -álgebra. A verificação para F 1 é imediata.
Muitos experimentos aleatórios têm intervalos da reta ou o próprio conjunto R como espaço amostral e aí também consideraremos o conjunto das partes como a σ -álgebra subjacente. Mas, a título de curiosidade, existem outras possibilidades, e uma delas é a σ -álgebra de Borel em R, que é a menor σ -álgebra que contém todos os intervalos da reta e é representada por B. Ou seja, B é a σ - álgebra formada por todos os intervalos da reta, seus complementares, uniões e interseções finitas e infinitas desses conjuntos. Por exemplo, veja que ∀ x; y ∈ R temos ( −∞ ; x); ( −∞ ; x]; (x; y) ∈ B , já que todos são intervalos. Também é verdade que o conjunto unitário { x } ∈ B qualquer que seja x ∈ R,
uma vez que
⋂^ ∞
i=
x −^1 i ; x
]
= { x }. No entanto, a σ -álgebra de Borel não é o conjunto das partes, ou
seja, existem subconjuntos de R que não podem ser obtidos através de uniões ou interseções, finitas ou infinitas, de intervalos. A demonstração de tal fato, no entanto, está muito além do escopo deste livro.
12 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
- Sejam três cartas de cores diferentes: uma vermelha, uma branca e a outra azul. Considere o experimento de selecionar uma carta, observar a sua cor, juntá-la com as demais cartas e então retirar novamente uma carta e observar a cor. Descreva o espaço amostral desse experimento. Repita agora supondo que a segunda carta seja selecionada sem que a primeira seja juntada às demais cartas.
1.2 Probabilidade: axiomas e propriedades
Considere, mais uma vez, o experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado equilibrado e consequente observação da face superior. Como já visto, o espaço amostral desse experimento é Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } , e alguns eventos de interesse são A =“sair face 2”, B =“sair face par” etc. A questão que se coloca, agora, é como atribuir probabilidade a esses eventos. Ou seja, queremos determinar um número que expresse o quão provável é a ocorrência de cada um desses eventos.
Um raciocínio intuitivo nos leva à resposta 12 para a probabilidade de se obter uma face par. Afinal, metade das faces consiste em números pares e, assim denotamos
P(B) =^12 =^36 :
O contexto subjacente a esse exemplo é um espaço amostral Ω finito em que todos os seus eventos elementares { 1 } ; { 2 } ; { 3 } ; { 4 } ; { 5 } ; { 6 } são igualmente prováveis e tal contexto leva à definição clássica de probabilidade :
P(A) = #Ω#A
em que #A representa o número de elementos em A. Essa foi a primeira definição formal de probabilidade, explicitada por Girolamo Cardano (1501-1576).
Embora intuitiva, essa definição não se aplica a outros contextos, o que leva à necessidade de uma definição mais geral, que foi dada por Kolmogorov, por volta de 1930, na forma de uma definição axiomática. Os axiomas^1 estabelecem propriedades mínimas que se espera sejam satisfeitas pela probabilidade de qualquer evento.
(^1) Axioma : (1) Premissa imediatamente evidente que se admite como universalmente verdadeira sem exigência de demonstração. (2) Proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. (dicionário Aurélio )
1.2. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES 13
Definição 1.2 Probabilidade Seja Ω um espaço amostral de um experimento aleatório e F uma σ -álgebra de subconjuntos de Ω. Uma função real P definida em F é uma probabilidade se satisfaz os seguintes axiomas, denominados Axiomas de Kolmogorov:
(Ax 1 ) P(Ω) = 1 ;
(Ax 2 ) para todo evento A ∈ F , P(A) ≥ 0 ;
(Ax 3 ) para toda sequência de eventos A 1 ; A 2 ; : : : ∈ F mutuamente exclusivos, isto é, tais que Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i 6 = j , P
i=
Ai
∑^ ∞
i=
P(Ai):
Vale destacar o seguinte caso particular do Axioma (Ax 3 ): a probabilidade da união finita de eventos mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades desses eventos. Isto é, para quaisquer n eventos A 1 ; A 2 ; : : : An ∈ F mutuamente exclusivos, P
(⋃n i=1 Ai
= ∑ni=1 P(Ai):
A trinca (Ω; F ; P) é denominada espaço de probabilidade.
Em alguns livros, por exemplo James (2004), os autores fazem distinção entre evento e evento aleatório, definindo evento como qualquer subconjunto do espaço amostral e evento aleatório como qualquer evento ao qual é atribuída uma probabilidade, ou seja, os eventos da σ -álgebra. Neste texto, por se tratar de um primeiro curso de probabilidade, não faremos essa distinção. Sempre que qualquer um dos dois termos for mencionado, ele indicará um evento ao qual é atribuída uma probabilidade.
Vamos, agora, apresentar propriedades da probabilidade que resultam dos Axiomas de Kolmogorov.
Proposição 1.2 Propriedades da probabilidade Seja (Ω; F ; P) um espaço de probabilidade. Sejam também A , B e Ai ; i = 1; 2 ; 3 ; : : : , eventos nesse espaço de probabilidade. Então valem as seguintes propriedades:
(Pr 1 ) P(Ac) = 1 − P(A) ;
(Pr 2 ) P(∅) = 0 ;
(Pr 3 ) P(B ∩ Ac) = P(B) − P(B ∩ A) ;
(Pr 4 ) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ;
(Pr 5 ) Se A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) ;
(Pr 6 ) P(A) ≤ 1 ;
1.2. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES 15
(a) Decomposição de B (b) A ⊂ B (c) Decomposição de A ∪ B Figura 1.3 – Demonstração da Proposição 1.
Exemplo 1.9 Ou exclusivo Prove que, para A e B eventos num mesmo espaço de probabilidade,
P ((A ∩ Bc) ∪ (Ac^ ∩ B)) = P(A) + P(B) − 2 P(A ∩ B):
Solução: Essa afirmação trata da probabilidade da ocorrência de exatamente um dos eventos A ou B.
P ((A ∩ Bc) ∪ (Ac^ ∩ B)) (^) ︸︷︷︸= (Ax 3 )
P(A ∩ Bc)+P(Ac ∩ B) (^) ︸︷︷︸= (Pr 3 )
P(A) − P(A ∩ B)+P(B) − P(A ∩ B) = P(A)+P(B) − 2 P(A ∩ B):
Exemplo 1.10 Atribuição de probabilidade Dado que Ω = {− 1 ; 0 ; 1 } , verifique se é possível definir uma probabilidade P em (Ω; F ; P) tal que
P ( {− 1 ; 1 } ) = 0; 6; P ( { 0 ; 1 } ) = 0; 9; P ( {− 1 ; 0 } ) = 0; 5 :
Justifique sua resposta.
Solução: Note que o evento {− 1 ; 1 } = {− 1 } ∪ { 1 } : Logo, as probabilidades dadas se transformam no seguinte sistema de 3 equações com 3 incógnitas:
P( {− 1 } ) + P( { 1 } ) = 0; 6 P( { 0 } ) + P( { 1 } ) = 0; 9 P( {− 1 } ) + P( { 0 } ) = 0; 5
16 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
Da primeira equação, obtemos P( { 1 } ) = 0; 6 − P( {− 1 } ). Substituindo na segunda, obtemos o seguinte sistema de 2 equações e 2 incógnitas:
P( { 0 } ) + 0; 6 − P( {− 1 } ) = 0; 9 P( {− 1 } ) + P( { 0 } ) = 0; 5
ou
P( { 0 } ) − P( {− 1 } ) = 0; 3 P( {− 1 } ) + P( { 0 } ) = 0; 5
Somando termo a termo, resulta
2 × P( { 0 } ) = 0; 8 ⇒ P( { 0 } ) = 0; 4
Substituindo, obtemos
P( {− 1 } ) = 0; 5 − P( { 0 } ) = 0; 5 − 0 ; 4 ⇒ P( {− 1 } ) = 0; 1
Substituindo novamente, obtemos
P( { 1 } ) = 0; 6 − P( {− 1 } ) = 0; 6 − 0 ; 1 = 0; 5
Como todos os valores obtidos estão no intervalo [0; 1] e P(Ω) = P( {− 1 } ) + P( { 0 } ) + P( { 1 } ) = 1, a atribuição dada é válida.
Exemplo 1. Sejam A e B eventos num mesmo espaço de probabilidade. Se P (A) = 1/ 3 e P (Bc) = 1/ 4 , A e B podem ser mutuamente exclusivos?
Solução: P(B) = 1 − P(Bc) = 34 :
Se A e B fossem mutuamente exclusivos, teríamos que ter
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 13 + 34 = 1312 > 1 :
Logo, A e B têm que ter interseção, ou seja, A e B não podem ser mutuamente exclusivos.
Exemplo 1. Sejam A e B em (Ω; F ; P) eventos mutuamente exclusivos tais que P(A) = 0; 5 e P(B) = 0; 4 :
(a) Calcule P(A ∪ B):