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Exercícios de lógica matemática
Tipologia: Exercícios
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Adelmo Ribeiro de Jesus Eliana Prates Soares Elinalva Vergasta de Vasconcelos
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O pensamento lógico teve forte presença no cerne da Civilização Grega. Aristóteles (384-322 A.C) é tido como o primeiro sistematizador do conhecimento lógico da época. Presume-se que a partir de uma análise das discussões, que eram comuns no seu tempo, o filósofo teria procurado caracterizar um instrumento de que se serviria a razão, na busca da verdade. Aristóteles teve seu trabalho registrado por seus discípulos e a obra de Lógica, intitulada o Organon, serviu de fundamentação para a Lógica Simbólica. Aristóteles classificou as proposições em quatro grupos, dois originários de uma consideração qualitativa e dois de considerações quantitativas. Segundo a quantidade, tem-se proposições afirmativas ou negativas e, segundo a qualidade, em universais e particulares. Assim é que na lógica de Aristóteles aparecem expressões como todo, nenhum, algum, etc; e frases tipo "Todo homem é mortal " (universal afirmativa) e "Alguns homens não são sábios" (particular negativa). Ainda na Grécia Antiga, surgiu a escola estóico-megárica que estudava a lógica das proposições, desenvolvendo aspectos não encontrados na Lógica Aristotélica. Depois do período dos estóicos-megários, inicia-se um período obscuro, quase virgem de pesquisa. Segundo os elementos históricos existentes, não houve nenhuma contribuição original à Lógica por mais de 1000 anos. Houve apenas o trabalho de transmissão de conhecimentos antigos para a Idade Média. Destaca-se Boécio (470-
ser apreciadas e conhecidas no fim do século XIX. Assim é que o uso de diagramas para estudos de lógica, atribuído a Euler, já tinha sido utilizado por Leibniz. No entanto, foi John Venn (1834-1923) quem aperfeiçoou os diagramas no estudo da Lógica. Leibniz foi o precursor da Lógica Moderna. Ele sugeriu uma espécie de Álgebra Universal, uma linguagem de símbolos que pudesse ser entendida por todos, qualquer que fosse a língua utilizada. Estava assim criado o ambiente adequado para o surgimento da Lógica Simbólica (também chamada de Lógica Matemática ou Lógica Formal) e cujo objetivo era dar um tratamento rigoroso, estrutural, ao conhecimento lógico tradicional. O período "contemporâneo" da lógica tem suas raízes nos trabalhos de George Boole (1815-1864) que deu novos rumos ao estudo da matéria. A obra fundamental de Boole, Investigations of the Laws of Thought, publicada em 1854, compara as leis do pensamento às leis da álgebra. Paralelamente, De Morgan (1806-1871) também contribuiu para o desenvolvimento da álgebra da Lógica. Com os trabalhos de Boole e de Morgan a Lógica clássica torna-se autônoma, separando-se da filosofia para tornar- se a Lógica Matemática. Os alemães Frege (1848-1925) e Cantor ( 1845-1918) deram impulsos à Lógica Simbólica. A tentativa de Frege de transformar a Matemática em ramo da Lógica levou a paradoxos depois estudados por Russel e Whithead, autores do "Principia Mathematica", uma das obras fundamentais deste século. Como consequência os lógicos e matemáticos entraram em divergência, a partir da segunda metade do século XIX, dando lugar ao surgimento de pelo menos três correntes de pensamento bem distintas: o logicismo (de Russel), o intuicionismo (de Brouwer ) e o formalismo (de Hilbert). A corrente logicista pretendeu reduzir a Matemática à Lógica, e seu pensamento está bem delineado na obra “Principia Mathematica” e suas origens estão certamente em Leibniz.
I) Princípio da Não Contradição - Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. II) Princípio do Terceiro Excluído - Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa (isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro). Pelos dois princípios anteriores temos que: Toda proposição tem um e somente um dos valores lógicos “verdade” ou “falsidade ”. Por este motivo, chamamos a Lógica Matemática de bivalente. As proposições serão indicadas por letras p, q, r, s, t, ... e o seu valor lógico por V(p) = V (ou 1) para uma proposição verdadeira e, V(p) = F (ou 0) para uma proposição falsa.
Exemplos e contra-exemplos
Como foi convencionado na definição, sentenças exclamativas ou interrogativas (exemplos 5 e 6) não são proposições. O exemplo 4 também não representa uma proposição, uma vez que não podemos atribuir um único valor lógico (depende de x). As proposições podem ser classificadas em simples e compostas. Proposições simples - Aquelas que não contêm nenhuma outra como parte integrante de si mesma. São também chamadas de atômicas. Proposições compostas - Aquelas formadas pela combinação de proposições simples. São também chamadas de moleculares.
Como foi convencionado anteriormente as proposições simples serão indicadas por letras p, q, r, s, etc.. As proposições compostas serão denotadas por P, Q, R , S, etc..
Exemplos Proposição
2 é ímpar simples
(^) 3 é ímpar e 2 ∈ Q. composta
2 > 0 ou 3 + 1 = 5 composta
Se 4 é par então 4 é divisível por 2. composta
3 é ímpar se e somente se 3 é primo composta
As palavras ou símbolos usados para formar novas proposições a partir de proposições dadas são chamados de conectivos.
Os conectivos fundamentais da Lógica Matemática são:
Conectivo Símbolo
não, não é verdade que ~ negação ou modificador
e (^) ∧ conjunção
ou ∨ disjunção
se ... então (^) → condicional
se e somente se (^) ↔ bicondicional
~(p∨q): Não é verdade que:^ Jorge Amado escreveu o romance "Mar Morto"^ ou Rui Barbosa era baiano.
a) 2 não é par ou 6 é múltiplo de 3 (^) ~p ∨ q b) Se 6 não é múltiplo de 3 então 2 é par (^) ~q → p c) 2 não é par, se e somente se, 6 é múltiplo de 3 (^) ~p ↔ q
Quando trabalhamos com os conjuntos numéricos, definimos operações como a adição, multiplicação, etc. e estudamos as propriedades de tais operações, mostrando que tais conjuntos têm uma estrutura algébrica. No caso da Lógica não trabalhamos com números, mas com proposições. Já vimos que a partir de proposições simples podemos "combiná-las" mediante o uso de conectivos para formar novas proposições. O que queremos saber agora é: conhecidos os valores lógicos das proposições simples, qual o valor lógico da proposição resultante obtida com os conectivos? Na verdade os conectivos funcionam como símbolos operatórios, tais como +, −, ÷, x. Precisamos portanto saber o "resultado" das operações envolvendo conectivos e proposições da Lógica. Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições p e q, vamos definir os valores lógicos das proposições: ~p, p ∧ q, p ∨ q, p→q, p ↔q, que decorrem de situações cotidianas, onde utilizamos o nosso bom senso, a nossa lógica. Nada mais natural que isto.
1) Negação
Dada uma proposição p, a negação de p tem valor lógico verdade quando p é falsa e valor lógico falsidade quando p é verdadeira. Isto pode ser resumido na seguinte tabela, denominada tabela verdade.
p ~p V F F V
Exemplo
p: 2 + 1 = 3 V(p) = V ~p : 2 + 1 ≠ 3 V( ~p) = F
2) Conjunção
Dadas as proposições p e q, a proposição p ∧ q é verdadeira quando as duas proposições forem verdadeiras, e é falsa se uma delas for falsa. Pode-se resumir o exposto na tabela a seguir.
4) Condicional
Dadas as proposições p e q , a proposição p → q é falsa quando p é verdadeira e q é falsa e é verdadeira nos demais casos. Resumindo,
Exemplo
p: 4 é ímpar q: 3 é par V ( p → q) = V
Observações
Na condicional p → q temos que: p é chamado de antecedente e q é chamado de consequente.
A condicional também pode ser lida como: "p somente se q", "q, se p", "p é condição suficiente para q", "q é condição necessária para p".
Uma condicional p → q não afirma que o consequente se "deduz" do antecedente p, ou seja, pode não haver uma relação intrínseca entre p e q. O que a condicional afirma é unicamente a relação entre os valores lógicos de p e q, de acordo com a definição dada, isto é, a condicional p → q é uma operação, também chamada de "implicação material". Obviamente, na maioria dos casos, a Matemática vai estar interessada em condicionais verdadeiras, que vão de fato significar que p "implica" q. Veremos melhor isto quando estudarmos “implicação”.
O exemplo a seguir pode nos ajudar a "justificar" o significado das condições “necessária” e “suficiente”. “Se o pássaro canta então está vivo”. i) O pássaro cantar é condição suficiente para ele estar vivo, ou seja, é suficiente o pássaro cantar para garantirmos que ele está vivo. ii) O pássaro estar vivo é condição necessária para ele cantar, ou seja, é necessário que o pássaro esteja vivo para que ele possa cantar. A partir da condicional p → q podemos obter as seguintes proposições: i) q → p é a sua recíproca ii) ~q → ~p é a sua contrapositiva
Exemplos
ii) q é condição necessária e suficiente para p. As definições que não são puramente nominais, são condições necessárias e suficientes. Por exemplo, ABC é um triângulo retângulo se e somente se ABC têm um ângulo reto.
Observação
É muito comum nos livros de Matemática, definições dadas por uma condicional como, por exemplo: um triângulo é retângulo se tem um ângulo reto. Entretanto, deve-se entender que a definição é sempre uma bicondicional.
Cada proposição simples p tem dois valores: V ou F, que se excluem. Daí, para n proposições simples p 1 , p 2 , ... pn, há tantas possibilidades quantos são os arranjos n a n, com repetição de 2 elementos (F e V), isto é, A (^) 2,n = 2 n. Segue-se que o número de linhas da tabela-verdade é 2 n.
Exemplo
Construção da tabela-verdade das seguintes proposições:
( p ∨ q) ↔ ( ~p ∧ ~q)
( p ∧ ~q) ↔ ( r ∧ p)
Uma tautologia é uma proposição composta cujo valor lógico é a verdade quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. Se P é uma tautologia, P também é chamada de proposição tautológica ou logicamente verdadeira. Uma tautologia é em geral indicada por V, T ou 1.
Exemplo P: ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q
Observação Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos! ↔ indica uma operação lógica. ⇔ estabelece que P ↔ Q é tautológica. Não aparecem V(P) = V e V(Q) = F e vice-versa.
Exemplos
Todas as equivalências exemplificadas podem ser demonstradas pela construção das tabelas-verdade, ou utilizando o bom senso, em vários dos casos anteriores. Por serem muito utilizadas em Matemática, destacamos as seguintes equivalências: i) p → q ⇔ ~q → ~p. A condicional e sua contrapositiva são equivalentes; nesta equivalência se baseia o método de demonstração por absurdo. ii) p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
As operações lógicas gozam das seguintes propriedades que podem ser verificadas facilmente.
p p
q ∧ p q ∨ p
p ∧ (q ∧ r) p ∨ (q ∨ r)
p p
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p p
~p ∨ ~q ~p ∧ ~q
Observação Todas as equivalências continuam sendo válidas quando substituimos as proposições simples por proposições compostas.
