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3º trimestre/ 10ª classe/matemática/
Texto de apoio III trimestre 202 5 Importância da trigonometria – introdução
A importância do ensino da trigonometria deverá ficar claro tanto para quem ensina como para quem aprende. Assim, é necessário que sejam mostradas algumas situações reais da aplicação da trigonometria na vida do Homem, e para resolver tais situações necessitamos apenas das relações trigonométricas no triângulo rectângulo.
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
TRIGONOMETRIA Revisão de conceitos sobre geometria: Teorema de Pitágoras Triângulos semelhantes Critérios de semelhança Exercícios
Teorema de Pitágoras
Num triângulo rectângulo, o lado que se opõe ao ângulo recto designa-se por hipotenusa (maior lado); os outros dois lados designam-se por catetos
Teorema de Pitágoras: num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
b^2^ a^2 c^2
Exemplo:
- A televisão do Rui mede 145cm de comprimento e a respectiva diagonal mede 175cm. Determine altura do aparelho.
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x
x
x
x
x
x
c
h y x
- Considere o seguinte triângulo rectângulo, Determine o lado em falta.
2
2
2 2 2
2 2 2
h
h
h
h
h
h x y
Exercícios:
1. Determine, em cada uma das figuras, os valores desconhecidos a e b
Logo,
Exemplos:
- Observa a figura seguinte e determina a medida do comprimento x
1^ x , 6^ 04 , 8 x ^40.^1 , 8 ,^6 x ^8^ m x m
AC AC AC m
32 , 8 12 , 3 20 , 5
12 , 3 14 , 5 121 ,,^35.^432 ,^8
Exercícios
1. Calcule o comprimento do lado representado por x em cada um dos triângulos rectângulos
2. Na figura abaixo a // b. Determine os valores de x e de y
- Considere a figura e determine o valor de x
Razões trigonométricas de um ângulo agudo Razões trigonométricas: Seno, cosseno, tangente e cotangente Relações entre as razões Trigonometria de ângulo agudo; Razões trigonométricas de ângulos especiais: 0º, 30º, 45º, 60º e 90º Identidade fundamental da Trigonometria;
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO: Seno, cosseno, tangente e
cotangente
Definição de razões trigonométricas considere o triângulo ABC , rectângulo em B, designa-se por
a amplitude do ângulo interno agudo BAC. Em relação ao ângulo interno^ ^ , BC designa-se por cateto oposto e AB por cateto adjacente Definem-se as três razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente, pelos seguintes quocientes.
NB A razão trigonométrica de co-tangente de ( Cotg )é o inverso da tangente de
Identidade fundamental da Trigonometria
Fórmula fundamental da trigonometria
A fórmula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras.
x^2 y^2 h^2 h^ x 22 h^ y 22 1.
Pela definição de seno e de cosseno de um ângulo, dadas acima por a) e b), temos que:
sen 2 ( )cos^2 ( ) 1. Fórmula fundamental da trigonometria ou identidade trigonométrica
Exemplo:
1. Sabendo que sen 53 , vamos calcular.
a) cos ;
b) tg
c) cot g Resolução;
cos^4
cos^16
cos^259
cos 1 9
259 cos^1
53 cos^1
sen( ) cos( ) 1
2
2
2
(^22)
2 2
^
^
^
cot^1
cot^1
.^5
:^4
cos( ) ( ) sen(^ )
^
g
g tag
tag
tag
tag
tag
Exercício
- De um certo ângulo B, do IV quadrante, sabe-se que o seu cosseno é 0,6.
Determina:
a) O seu seno b) A sua tangente
c) A sua cotangente Resolução
.^5
cos
^
tg
tg^ sen
4
.^3
cot^1
cot^1
g
g tg
Relações entre as razões trigonométricas de um ângulo agudo
c
a
c sen^ b
c
b
c sen^ a
cos
cos
cos 90
90 cos
cos
sen
sen
sen
Exemplos:
2712 ' cot 90 2712 ' cot 6248 '
cos 3416 ' 90 3416 ' 5544 '
cos 30 90 30 60
20 cos 90 20 cos 70
30 cos 90 30 cos 60
tg g g
sen sen
sen sen
sen
sen
90 3416 ' 1 _____ 60 '
onde
Observa a tabela
Razões trigonométricas de ângulos complementares
Razões trigonométricas de ângulos suplementares
sen 90 cos sen 180 cos
cos 90 sen cos 180 sen
tg^ 90 ^ cot g tg 180 cot g
cot g 90 tg cot g 180 tg
Exercícios de aplicação (tarefas obrigatórias – TO)
- Em cada uma das alíneas seguintes, calcule as razões trigonométricas dos ângulos internos agudo, de amplitude
; cot^4 4
;^3
; cos^4 5 sena 3 a tga ga 8 ; cot^6 6
;^8
; cos^6 10 senB 8 B tgB gB
Resolução de triângulos rectângulos;
Determinação de lados em triângulos rectângulos.
Determine o valor de em cada um dos seguintes triângulos.
x
x
x
sen^ x
x
x
tg x
tg x
cos (^208)
x
x
x
x
Determinação de ângulos internos em triângulos rectângulos.
Determine a amplitude do ângulo agudo (teta) em cada um dos triângulos. Apresente o resultado em graus e minutos.
cos 0 , 8
cos^4
tg
tg
22 36 '
sen
sen
RALAÇÕES ENTRE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS ESPECIAIS: 0º; 30º,
45°, 60 E 90º
Ralações entre razões trigonométricas de ângulos especiais: 0º; 30º, 45°, 60 e 90º
Ângulos
Razões
0^ 6 4 3
sen ( ) 0
cos( x ) (^) 1 2
tg ( x ) (^0 33 1 3)
cot g ( x ) (^3 1 33) 0
Exemplos:
1. Qual é o valor de x na figura.
x
x
x
x
a sen^ x
cos (^3023)
2
y
y
y
y
y
y
Exercícios
- Determine o valor de x e y
cos 45 2
)^452
2
^
^
^
^
^
^
^
^
y x y x x
y
x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
sen x^ y b
- Calcule o valor de x e y na figura abaixo.
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
x
y x
y x
x
y x x x
y x x x
y x x y
y x
y
x
y
x
y tg^ x
y tg^ x
Exercícios de consolidação (tarefas obrigatórias TO)
1. Observe o triângulo rectângulo da figura ao lado onde representa a amplitude de um dos seus ângulos internos agudos.
d g
c tg
b
a sen
) cot
) cos
2. Determine a medida de comprimento do lado x em cada um dos seguintes triângulos. 3. Calcule, em cada um dos casos, a amplitude do Angulo. 4. Considere as seguintes figuras. A. i. Determine: a) A amplitude BAD b) A distancia AD c) A distancia CD
quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições :
Se a^ ^0 , P coincide com A
Se a^ ^0 , o sentido do circulo trigonométrico será anti-horário.
Se a^ ^0 , o sentido será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de a
A um círculo centrado na origem do referencial e de raio igual a uma unidade chama-se círculo trigonométrico.
É importante recordar
Ângulos
Razões
0^ 6 4 3
sen ( ) 0
cos( x ) (^) 1 2
tg ( x ) (^0 33 1 3) 0 0
cot g ( x ) (^3 1 33) (^0) 0
Variação do sinal
Redução ao primeiro quadrante Calcular os valores em qualquer quadrante Noção de radiano Exercícios
Redução ao 1° quadrante
Figura
Conclusão x II quadrante Figura
cot cot ( 180 )
cos cos( 180 )
gx g x
tgx tg x
x x
senx sen x
Conclusão x III quadrante Figura
cot cot ( 180 )
cos cos( 180 )
gx g x
tgx tg x
x x
senx sen x
Conclusão x IV quadrante Figura
cot cot ( 360 )
cos cos( 360 )
gx g x
tgx tg x
x x
senx sen x
Exemplo:
Determine
a) sen 150
sen
sen sen
sen sen
b) sen 225
Noção de radiano
Conceito de radiano (rad)
Chama-se radiano ao comprimento de arco igual ao seu raio (raio da circunferência). É dada por
r^ l rad
Conversões de Medidas de Ângulos
Quando medimos o ângulo de um arco utilizamos como unidade o grau ou o radiano. Temos que 1º (um grau) possui 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) possui 60” (sessenta segundos). Uma circunferência possui 360 arcos de abertura igual a 1º. No caso da medida em radianos, dizemos que o arco mede um radiano (1 rad) se o seu comprimento for igual ao comprimento do raio da circunferência que se encontra o arco medido.
Α tabela a seguir mostra algumas relações entre as unidades em graus e radianos.
Radianos Graus
2 rad 360
rad 180
2 rad 90
3 rad 60
4 rad 45
6 rad 30
Exemplo:
- Se o arco corresponde a metade da volta da circunferência.
r^ l^ rad r^ rrad^ rad
l rrad l r rad
^
- Se o comprimento de arco corresponde a uma volta completa da circunferência.
r^ l^ rad r^ rrad^ rad
l r rad
^
- Se o arco corresponder a 41 de volta da circunferência.
r^ l^ rad r rrad^ rad
l r r rad
2 2
^
- Se o arco corresponder à enésima parte da circunferência.
r^ l^ rad n^ rad
l n^ l r rad
^
Relação entre sistema sexagesimal e circular. Resolução de equações trigonométrica Exercícios Exercícios
Relações entre sistema sexagésimas e circular
Assim como os comprimentos podem se definir em diferentes unidades: polegadas; pés; metro; jarda; etc também as amplitude dos ângulos se podem definir em graus; radianos; grados;…
A unidade de medida graus (°) é aquela que vulgarmente mais se utiliza, especialmente na introdução do ângulo.
Este sistema designado sistema sexagesimal contempla, como submúltiplos do grau, o minuto e o segundo.
A medida para amplitude de ângulos adoptados pelo sistema internacional, ou seja, o radiano
