Logica matematica Lógica Matematica, Exercícios de Matemática

Baixe Logica matematica Lógica Matematica e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!

José de França BuenoAlessandro Ferreira Alves

Lógica Matemática

José de França Bueno

Alessandro Ferreira Alves

Lógica Matemática

Curitiba 2016

José de França Bueno

Alessandro Ferreira Alves

Lógica Matemática

Sumário

• Carta ao aluno |
• Lógica e cálculo proposicional | 1. Introdução à Lógica, breve histórico da
• 2. Operações Lógicas sobre Proposições |
• 3. Tabelas-verdade |
• 4. Tautologias, contradições, implicações lógicas |
• 5. Equivalências lógicas |
• 6. Argumentos: regras de inferência 1 |
• 7. Argumentos: regras de inferência 2 |
• 8. Quantificadores e sentenças abertas |
  • ao absurdo, de inclusão e de igualdade de conjuntos | 9. Métodos de demonstração: direta, contrapositiva, redução
• 10. Indução matemática |
  • Conclusão |
  • Referências |

Lógica Matemática

A disciplina, cujos conteúdos estão oferecidos neste material, apresenta os conceitos básicos da Lógica: proposições, conectivos; tautologias, contradições e implicações; equivalências; argumentos válidos; regras de inferência; senten- ças abertas; quantificadores; técnicas de demonstração e indução matemática. Esperamos que, ao final dos estudos, você tenha ampliado as suas com- petências de: 2 Interpretar textos matemáticos com rigor; 2 Utilizar tabelas-verdade na resolução de problemas; 2 Apresentar argumentos válidos; 2 Identificar falhas em argumentos; 2 Dominar as técnicas básicas de demonstração de teoremas; 2 Desenvolver demonstrações, utilizando os conceitos apresentados nesta disciplina.

Seja bem-vindo(a) à nossa jornada! Bons estudos e boas leituras!

Introdução à Lógica,

breve histórico da

Lógica e cálculo

proposicional

Neste capítulo vamos conhecer um pouco da história da Lógica, desde Aristóteles até o século XX. O objetivo é proporcio- nar-lhe o conhecimento que a Lógica, assim como as outras áreas do pensamento humano, apresentaram em sua própria evolução ao longo dos tempos.Portanto,ela não se encontra estagnada. Na sequ- ência, definiremos as primeiras noções relativas ao cálculo proposi- cional: os princípios da Lógica Clássica, o que são proposições e os conectivos proposicionais.

Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional

Não obstante a enorme importância da Lógica Aristotélica, tal sistema é considerado reduzido em suas possibilidades. É verdade que muitas argumen- tações podem ser formuladas em termos de proposições sujeito-predicado, contudo, este não é sempre o procedimento adequado para representar uma argumentação. E, mais ainda: inúmeras argumentações não podem ser adap- tadas ao modelo silogístico.

Apesar do trabalho dos pensadores medievais Pedro Abelardo (1079-

1142. e W. Ockham (1285-1347), a Lógica permaneceu praticamente mil anos sem maiores inovações.

Conquanto o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) tenha produzido obras relacionadas com a Lógica Matemática, visto que foram publicadas vários anos após a sua morte, acabaram por não ter grande influência na comunidade científica da época. Sua influ- ência se fez sentir apenas ao final do século XIX. Leibniz lançou a proposição de uma “Álgebra Universal”, uma linguagem sim- bólica extensível a qualquer língua. Apesar disso, Leibniz é considerado o primeiro filósofo a pensar de forma profunda nas vantagens da Lógica Simbólica. No segundo período, começou a pre- dominar uma concepção da Lógica mais próxima do cálculo algébrico e simbólico da Matemática. Os principais autores dessa fase são George Boole (1815-

1864. e o também matemático e lógico britânico Augustus De Morgan (1806-1871). Considera-se como marco inicial desse período a publicação da obra de Boole: Análise Matemática da Lógica (1847). Outra obra de Boole, Investigations of the Laws of Thought , publicada em 1854, apresenta a compa- ração daálgebra com as leis do pensamento. Já De Morgan, na obra Formal Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable , de 1847, superou o trabalho de Boole (Eves, 1997).

Fonte:

Schutterstock, 2015.

Figura 2 – Selo publicado pela Alemanha, em homenagem a G.W. Leibniz: suas pesquisas influencia- ram os desenvolvimentos posterio- res da Lógica

Lógica Matemática

O tratamento algébrico booleano ultrapassa de forma bastante abran- gente algumas das críticas ao sistema aristotélico. Enquanto no sistema aris- totélico parte-se de argumentações, utilizando proposições de certo tipo, na lógica booleana são consideradas proposições básicas. É a chamada lógica proposicional, uma lógica abstrata, na qual “os padrões lógicos revelados estão inteiramente desprovidos de qualquer conteúdo” (Devlin, 2002, p. 52). Foi o matemático inglês John Venn (1834-1923) quem efetuou o aperfei- çoamento do uso de diagramas no estudo da Lógica. Com os seus diagramas, Venn formalizou aspectos do trabalho de Leonhard Euler (matemático suíço, 1707-1783) e Gottfried Wilhelm Leibniz (matemático, filósofo e diplomata ale- mão, 1646-1716). Considera-se que G.W. Leibniz foi o primeiro a buscar uma representação geométrica de silogismos (um silogismo é modelo de raciocínio constituído por duas premissas que resultam em uma conclusão). Euler utilizou os denominados diagramas de Euler (curvas fechadas no plano) para representar argumentos de um silogismo, em 1768.Por vezes, os diagramas de Venn tam- bém são denominados diagramas de Venn-Euler. Com esses diagramas ele pre- tendia facilitar o estudo das relações de união e intersecção entre conjuntos. Tais diagramas, atualmente, são conhecidos como diagramas de Venn.

Figura 3 – Diagramas de Venn.

Fonte:

Schutterstock, 2015.

Lógica Matemática

Arthur William Russel (1872-1970), mais conhecido como Bertrand Russel, foi um matemático, filósofo e lógico britânico. A seguir, vamos conhecer um pouco sobre alguns paradoxos famosos. Um exemplo bastante famoso é o paradoxo do Barbeiro: em certa loca- lidade havia um barbeiro que: a) Fazia a barba de todos os que não se barbeavam a si mesmos; b) Ele fazia a barba apenas de quem não se barbeava a si mesmo. O paradoxo aparece se buscamos descobrir se o barbeiro faz a sua própria barba, ou não. Caso ele faça a sua própria barba, não pode barbear a si mesmo (para não quebrar a condição b). Contudo, se ele não fizer a sua própria barba, então terá que barbear-se a si mesmo (pois é o que está expresso na condição a).

Paradoxo: a palavra “paradoxo” é constituída do pre-

fixo de origem grega “para” (que quer dizer “contrá-

rio”) e pelo sufixo, também de origem grega, “doxa”

(que quer dizer “opinião”). Assim, paradoxo signi-

fica “algo que é contrário à opinião comum”.

O terceiro período costuma ter o seu iní- cio identificado pelo lançamento da obra Prin- cipia Mathematica , cujos autores são Alfred North Whitehead e Bertrand Russel. Alfred Whitehead (1861-1947) e Bertrand Russel foram dois filósofos e matemáticos britânicos. Essa obra teve cada um dos seus três volumes publicados, respectivamente, em 1910, 1912 e 1913, e apresentou grande contribuição para o desenvolvimento da Lógica ao longo dos últi- mos 100 anos. A partir de críticas, controvér- sias e debates originados do Principia Mathe- matica , surgiram as lógicas polivalentes. Fonte:

Shutterstock 2015.

Figura 4 – Selo em homenagem a Bertrand Russel, lógico, mate- mático e filósofo inglês, autor, em parceria com A.N. Whitehead, da obra Principia Mathematica.

Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional

A partir do trabalho de Whitehead e Russel, os matemáticos e lógicos iniciaram uma divergência teórica que deu origem a três linhas de pensa- mento sobre a matemática:

2 logicismo (associado principalmente a Russel); 2 intuicionismo (associado a Brower); 2 formalismo (associado principalmente ao matemático alemão David Hilbert). Na atualidade, a Lógica é utilizada em pesquisas em Inteligência Arti- ficial, bancos de dados relacionais, teoria de linguagens, projeto de circuitos lógicos, teoria de autômatos, dentre outras.

Saiba mais

Os microprocessadores são baseados na lógica clássica (Verda- deiro ou Falso). Contudo, inúmeros desenvolvimentos tecnológicos (Robótica, Inteligência Artificial e sistemas digitais de controle com processamento de sinais, por exemplo), fazem uso das chamadas lógicas não-clássicas. Para saber mais a respeito das Lógicas não clássicas, consulte: http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografias_ Noturna/Monografia_AnaPaulaVargas.pdf, http://cursos.unisanta. br/GLPA/downloads/glpa.pdf e http://www2.fc.unesp.br/matema- tica/semana/arquivos/lnc.pdf

1.2 Proposições

Definição: define-se como proposição qualquer conjunto de palavras (ou símbolos), declarativas, que apresentam um pensamento com sentido completo.

As proposições podem ser simples ou compostas. Inicialmente, tratare- mos das proposições simples. As proposições simples também são deno- minadas atômicas.

Exemplos de proposições simples: i. 2+3 = 5 ii. Todos os homens são mortais.

Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional

É usual representar proposições por letras do alfabeto latino: p, q, r, s, t. Para representar o valor lógico das proposições, utilizamos a notação valor lógico da proposição p é verdade:

V(p) = V valor lógico da proposição p é falsidade: V(p) = F Alternativamente, pode-se utilizar também V(p) = 1 (para verdade) e V(p) = 0 (para falsidade).

Assim, escrevemos: p: 2+3 = 5 q: Todos os homens são mortais r: A Lua é um satélite natural da Terra s: 2^2 +32 = 13 t: Lisboa é a capital de Portugal. u: Pernambuco é um Estado do Brasil. v: O Japão é uma monarquia. V(p) = 1 ou V(p) = V V(q) = 1 ou V(q) = V V(r) = 0 ou V(r) = F V(s) = 0 ou V(s) = F V(t) = 0 ou V(t) = F V(u) = 1 ou V(u) = V V(v) = 0 ou V(v) = F Para unir teoria e prática, resolva a questão e verifique quais das expres- sões a seguir são proposições

i. Qual é a sua nacionalidade? ii. Sen(Θ) = 0,

Lógica Matemática

iii. 1 < 0 iv. 20 + 30 = 50 v. Fique quieto!

Respostas : i. É uma sentença interrogativa. Não é uma proposição. ii. O valor lógico depende do valor de Θ. Não é uma proposição. iii. É uma proposição. Seu valor lógico é falso. iv. É uma proposição. Seu valor lógico é falso. v. É uma sentença imperativa. Não é um a proposição.

1.3 Princípios da Lógica Clássica

A Lógica Matemática Clássica apresenta três princípios fundamentais: o princípio da identidade, o princípio da não contradição, e o princípio do terceiro excluído. Vejamos, a seguir, uma breve explicação de cada um destes princípios. i. Princípio da Identidade Toda proposição é idêntica a si mesma. ii. Princípio da não contradição Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa. iii. Princípio do terceiro excluído Toda proposição da Lógica Clássica ou é verdadeira ou é falsa. Exis- tem apenas esses dois valores lógicos, não existindo um terceiro valor lógico. Em função do Princípio do terceiro excluído, dizemos que a Lógica Matemática Clássica é uma lógica bivalente (uma proposição pode assumir apenas dois valores lógicos: verdadeiro ou falso).

Lógica Matemática

Notação : se p, q, r representam proposições simples, e P representa uma proposição composta formada pelas proposições p, q e r, denotamos: P (p, q, r). Exemplos de proposições compostas

i. Na proposição “Sou feliz e torcedor do Amigos da Praia Futebol Clube” temos uma proposição composta formada por duas pro- posições simples: “Sou feliz (a primeira proposição) e torcedor do Amigos da Praia Futebol Clube” (a segunda proposição). Essas duas proposições estão conectadas pelo conectivo “e”. ii. Na proposição “Se não fizermos exercícios físicos, então ficaremos doentes”, temos uma proposição composta constituída das proposi- ções simples: “Se não fizermos exercícios físicos,” (esta é a primeira proposição) e “então ficaremos doentes” (segunda proposição). Nessa proposição, temos o conectivo se...então.

1.5 Conectivos

Denominam-se conectivos as palavras que são utilizadas para, a partir de proposições, constituir novas proposições. Como apresentaremos o cálculo proposicional, faremos uso dos conec- tivos conhecidos como conectivos. Os conectivos que usaremos são: “e” “ou” “se ...então...” “se e somente se” “não” O ato de combinar proposições na Lógica Matemática é denominado de operação. Os conectivos são também denominados operadores.

Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional

Quadro 1 – Operações lógicas, conectivos e respectivos símbolos.

Operação Conectivo Símbolo Negação não ~ Disjunção Ou ˅ Conjunção E ˄ Condicional se ... então → Bicondicional se e somente se ↔

Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.

Exemplos de negação em linguagem natural. A negação de “algum” é “nenhum”. A negação de “nenhum” é “algum”. Veja os exemplos a seguir:

i. p: nenhum trabalhador é poliglota. ii. ~p: algum trabalhador é poliglota. iii. q: algum animal não é verde. iv. ~q: nenhum animal é verde. v. r: alguém ganhou na Mega-sena. vi. ~r: ninguém ganhou na Mega-sena. Sentenças em linguagem natural e sua tradução para símbolos

Considere as proposições: p = Está escuro q = está chovendo Então, podemos escrever a sentença “não está escuro e não está cho- vendo”, em símbolos como:

~p˄ ~q Poderíamos ter apresentado essa mesma sentença em linguagem natural como: “não está escuro nem está chovendo”.