Geometria Analítica: Estudo das Cônicas: Hipérbole, Resumos de Economia

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MATEMÁTICA E SUAS

TECNOLOGIAS

Ensino Médio, 3º Ano

Geometria Analítica: Estudo das

cônicas: Hipérbole

Analítica: Estudo das cônicas: Hipérbole

INTRODUÇÃO

Nesta aula estudaremos um

tema muito importante da

Geometria Analítica:

Hipérbole. Veremos que a

hipérbole é uma curva

cônica, conheceremos seus

elementos, suas equações e

suas aplicações.

Fonte/Imagem: http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_hiperbole/img_hip.jpg

Analítica: Estudo das cônicas: Hipérbole

Definição da HIPÉRBOLE

Considere F 1 , F 2 e P como sendo pontos do plano cartesiano (figura ao lado) e 2c a distância entre F1 e F2. Chama-se hipérbole ao conjunto dos pontos P do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias PF 1 e PF 2 é a constante 2a ( < 2a < 2c). PF PF 2 a ( cons tan te ) 1 2   Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005. Hipérbole (^) Hipérbole Fonte/texto: http://www.mundoeducacao.com/matematica/equacao-hiperbole.htm Fonte/Imagem: http://www.adesc.blog.br/4_230.png?v=28109s1usvuopo

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Elementos da HIPÉRBOLE

Na hipérbole da figura ao lado, destacamos:  (^) Focos da hipérbole : os pontos fixos F1 e F2;  (^) Distância focal : distância F1F2 = 2c;  (^) Centro da hipérbole : ponto O;  (^) Vértices da hipérbole : pontos A1 e A2;  (^) Eixo real ou transverso : segmento A1A2 = 2a;  (^) Eixo imaginário ou conjugado : segmento B1B2 = 2b;  (^) Excentricidade : é a razão e = c/a (e > 1); OBS: Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OB1A2 , obtemos: c² = a² + b² , chamada de relação notável da hipérbole. HIPÉRBOLE NO PLANO CARTESIANO Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005. Fonte/Imagem: http://www.paulomarques.com.br/fig481.gif

Analítica: Estudo das cônicas: Hipérbole Equação reduzida da HIPÉRBOLE Fonte/Texto/Imagem: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/05/equacao-da-hiperbole.html Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005. Equação reduzida da hipérbole

Analítica: Estudo das cônicas: Hipérbole Equação REDUZIDA da HIPÉRBOLE 2º caso: Hipérbole com eixo real sobre o eixo y e centro na origem Considerando um sistema ortogonal, com o centro da hipérbole na origem do sistema e eixo real sobre o eixo y, temos que analogamente ao primeiro caso, chegamos à equação da hipérbole: 1 2 2 2 2   b x a y Equação reduzida da hipérbole Fonte/Texto/Imagem: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/05/equacao-da-hiperbole.html Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005.

Analítica: Estudo das cônicas: Hipérbole 2º caso: Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y e centro qualquer (x 0 , y 0

Equação da HIPÉRBOLE com CENTRO FORA DA ORIGEM Nesse caso o centro da hipérbole não coincide com o centro do plano cartesiano e o eixo real é paralelo ao eixo y. Dessa forma a equação y²/a² - x²/b² = 1, fica representada assim:     1 2 2 0 2 2 0     b x x a y y Fonte/Imagem: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/05/equacao-da-hiperbole.html Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005.

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ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE

No gráfico ao lado, as retas r: y = (b/a)x e s: y = (-b/a)x , são chamadas de retas assíntotas da hipérbole. Fonte/Texto/Imagem: http://mtm.ufsc.br/~gatcosta/GA/hiper-aula.pdf Fonte/Imagem: http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/inverso/hiperbole.htm

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HIPÉRBOLE EQUILÁTERA

Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005. Chama-se HIPÉRBOLE EQUILÁTERA a toda hipérbole cujos semi- eixos de medidas a e b são iguais, ou seja a = b. Nesse caso as equações das retas assíntotas são y = x e y = -x. Fonte/Texto/Imagem: http://www.paulomarques.com.br/arq6-10.htm Hipérbole equilátera: a = b

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EXEMPLOS

1º) Determine a equação da hipérbole com focos F 1

F

2 (10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Fonte/Texto: http://www.mundoeducacao.com/matematica/equacao-hiperbole.htm Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005. Fonte/Imagem: https://pbs.twimg.com/profile_images/482051085008637953/yuOLbXKi.jpeg Quem sabe resolver esse?

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EXEMPLOS

Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto, devemos utilizar a relação notável para encontrar o valor de b, temos: c 2 = a 2

• b 2 .: 10 2 = 8 2
• b 2 .: b 2 = 100 – 64 .: b 2 = 36 .: b = 6. Conhecidos os valores de a = 8 e b = 6 , podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x: x²/a² - y²/b² = 1 x²/8² - y²/6² = 1 x²/64 – y²/36 = 1 CONCLUSÃO: A EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE É: x²/64 – y²/36 = 1

SOLUÇÃO

Fonte/Texto: http://www.mundoeducacao.com/matematica/equacao-hiperbole.htm Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005.

Analítica: Estudo das cônicas: Hipérbole 2º) Determine as coordenadas dos focos F1 e F2 da hipérbole de equação: y²/16 – x²/9 = 1.

EXEMPLOS

Fonte/Texto: http://www.mundoeducacao.com/matematica/equacao-hiperbole.htm Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005. Continue a tentar... Fonte/Imagem: https://themadmovieguy.files.wordpress.com/2010/01/41_finding-nemo.jpg?w=400&h=

Analítica: Estudo das cônicas: Hipérbole 3º) Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos (− √8, 0) e ( √8, 0).

EXEMPLOS

Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005. Fonte/Texto: http://www.professores.uff.br/jorge_delgado/livros/geometria-analitica-ufma.pdf Lembre-se: Hipérbole equilátera: a = b. Fonte/Imagem: http://imagens.kboing.com.br/papeldeparede/4261feliz.jpg

Analítica: Estudo das cônicas: Hipérbole SOLUÇÃO

EXEMPLOS

Fonte/texto: GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Volume 3. FTD, São Paulo, 2005. Como F1 = (− √8, 0) e F2 = ( √8, 0), temos que o centro da hipérbole é C = (F1 + F2)/2 = (0, 0), ou seja, o centro da hipérbole está na origem e os focos estão no eixo x. Considerando o valor de c = √8 , que c² = a² + b² e que na hipérbole equilátera a = b , vamos calcular o valor de a e b da seguinte forma: (√8)² = a² + a² .: 8 = 2a² .: a² = 4, isto é, a = 2. Logo, a = b = 2. Portanto, a equação da hipérbole equilátera fica: x²/4 – y²/4 = 1. Fonte/Texto: http://www.professores.uff.br/jorge_delgado/livros/geometria-analitica-ufma.pdf CONCLUSÃO: A equação da hipérbole é x²/4 – y²/4 = 1.