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que é a chamada equação reduzida da hipérbole.
Observações
Para y = 0, na equação acima, obtemos x2 = a2; logo, x = a, que são abscissas dos pontos de intersecção da hipérbole com o eixo x. Não existe ponto de intersecção com o eixo y.
No caso da hipérbole de centro O(0, 0) e focos no eixo y obtemos a equação
Quando a hipérbole tem o centro fora da origem ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, mas é ainda uma equação do 2o grau que se enquadra na forma geral Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0.
A hipérbole é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eixo.
Figura: Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
Exemplo:
Obter a equação da hipérbole de focos F1(–4, 0) e F2(4, 0) e eixo real 2a = 4.
Notemos que os focos estão no eixo x e o centro, que é o ponto médio de F1F2, é O(0, 0).
Então, a equação é
Temos a = 2 e c = = 4
Da relação c2 = a2 + b2 vem que b2 = c2 – a2 = 42 – 22 = 12
A equação é , portanto, , ou ainda, 3x2 – y2 = 12
CÔNICAS NO PLANO
Parábola
Temos ainda os casos chamados degenerados
Par de retas concorrentes (hipérbole degenerada)
Par de retas paralelas (parábola degenerada)
Uma reta (parábola degenerada)
Um ponto (elipse degenerada)
Vazio (elipse ou parábola degenerada)
As equações das cônicas aquí representadas estão na “ forma reduzida ”, isto é, B = 0, se A
0, D = 0 e se C 0, E = 0. Veremos a seguir, através de uma mudança de referencial conveniente, que toda cônica toma uma das formas colocadas acima. As cônicas aquí, estão definidas algébricamente.
Exemplo 1:
2x2 – 5y2 –7 = 0
2x2 – 5y2 = 7
, que é uma hipérbole
Exemplo 2:
x2 + y2 – 6x – 2y + 8 = 0
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 2
x12 + y12 = 2
onde x1 = x – 3 e
y1 = y – 1
L(v) = [4 12]
Mas, = [ I ]
Logo =
4º. Passo : A equação original se reduz a
[x1 y1] + [4 12] – 8 = 0
0x12 + 4y12 + 4 + 12 – 8 = 0
4y12 – 4x1 + 4y1 + 12x1 + 12y1 – 8 = 0
4y12 + 8x1 + 16y1 – 8 = 0
y12 + 2x1 + 4y1 – 2 = 0
Esta última equação representa a cônica em relação ao novo referencial formado pelas retas suporte de v1 e v2, como mostra a figura.
Vamos ainda introduzir uma nova mudança de coordenadas para identificar a cônica. Ela será dada por uma translação do referencial acima.
5º. Passo : Para “eliminar” os termos lineares onde isto é possível ( 0), agrupamos os
termos de y12 + 2x1 + 4y1 –2 = 0 convenientemente.
(y12 + 4y1 + 4) – 4 + 2x1 – 2 = 0
(y1 + 2)2 + 2(x1 – 3) = 0
Tornando x2 = x1 – 3 e y2 = y1 + 2, obtemos y22 + 2x2 – 6 = 0 ou finalmente
x2 = – y2^2
Assim, a equação acima representa a cônica em realçaão a um novo referencial R3 , obtido
por translação e podemos finalmente identificá-la como sendo uma parábola , conforme indica a Figura abaixo. A origem deste último referencial R3 será x2 = 0 e y2 = 0, isto é, x
Agora iremos formular o procedimento geral de classificação das cônicas, estabelecendo em detalhes o que deve ser feito em cada passo.
Procedimento Geral de Classificação das Cônicas:
Dada a equação (em coordenadas canônicas de R2)
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A ou B ou C 0), para achar que figura ela representa no plano, devemos proceder do seguinte modo:
1º. Passo : Escrevemos a equação na forma matricial:
[x y] + [D E] + F = 0
2º. Passo : Diagonalizamos a forma quadrática para eliminar os termos mistos. Para isto, precisamos encontrar os autovalores 1 e 2 e os autovetores ortonormais v1 e v2 de
3º. Passo : Obtemos as novas coordenadas. Para isto, precisamos para substituir na equação de = [ I ]
Muitas vezes, no entanto, estaremos interessados apenas em classificar a cônica dada por
uma equação Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, sem determinar suas dimensões e localização. Visando solucionar este problema de uma forma mais rápida, vamos discutir as possibilidades que temos em função dos sinais doas autovalores associados à forma quadrática. Consideremos, portanto, os autovalores 1 e 2 de. Como já vimos, obteremos depois da
eliminação do termo misto uma equação da forma
(*) 1x12 + 2y12 + ax1 + by1 + F = 0
(I) Vamos analisar inicialmente a situação em que 1 0 e 2 0. Neste caso, através
de uma translação que é feita no 5º. Passo, obtemos
1x22 + y22 + f = 0
Note que se:
1 e 2 forem ambos positivos, teremos f < 0 uma elipse; para f = 0 teremos um
ponto (x2 = y2 = 0) e para f > 0 teremos o conjunto vazio.
ii) Se 1 e 2 forem ambons negativos, também teremos uma elipse, um ponto ou
vazio, conforme f seja positivo, nulo ou negativo. iii) Se 1 e 2 tiverem sinais opostos, poderemos ter uma hipérbole, quando f 0, ou
um par de retas concorrentes se f = 0.
(II) Consideremos agora a situação em que 1 = 0 (e, portanto 2 0). Como vimos,
partindo da equação (*), chegamos a sua equação. 2y22 + ax2 + f = 0
Note que:
i) se a 0, teremos uma parábola. ii) Se a = 0, poderemos ter um par de retas paralelas, uma reta ou o vazio.
(III) O caso em que 2 = 0 é discutido de maneira análoga ao (II).
Podemos resumir os resultados até aquí obtidos no seguinte teorema:
Teorema: Dada uma cônica definida pela equação (*) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Seja 1 e 2 os autovalores associados à sua forma quadrática; então:
i) Se 1. 2 > 0 esta equação representa uma elipse, ou suas degenerações (um ponto
ou o vazio)
