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Hip´erbole (^) M ODULO 1´ - AULA 20
Aula 20 – Hip´erbole
Conceitos: Sistemas de coordenadas e distˆancias no plano.
Referˆencias: Aulas 13 e 14.
Objetivos
- Descrever a hip´erbole como um lugar geom´etrico.
- Determinar a sua equa¸c˜ao reduzida no sistema de coordenadas com origem no ponto m´edio entre os focos e eixo x como o eixo focal.
- Esbo¸car o gr´afico, fazer transla¸c˜oes e identificar os parˆametros a, b, c e tamb´em a excentricidade e, a partir da sua equa¸c˜ao reduzida.
- Determinar as coordenadas dos focos e dos v´ertices.
Aplica¸c˜oes da hip´erbole s˜ao um pouco mais dif´ıceis de encontrar. No entanto, alguns cometas podem ter ´orbitas hiperb´olicas em vez de el´ıpticas. O que isto significa? Cometas em ´orbitas el´ıpticas em torno da Terra podem ser vistos v´arias vezes, pois retornam a um ponto da ´orbita, como o cometa Halley, enquanto cometas em ´orbitas hiperb´olicas aparecem uma vez e jamais retornam.
As ondas de choque sonoras de um jato supersˆonico, voando a baixa alti- tude e paralelamente ao solo, se propagam ao longo de cones com eixo paralelo `a superf´ıcie. Esses cones intersectam a superf´ıcie da Terra em hip´erboles, conforme a Figura 20.1.
Quando acendemos um abajur num ambiente escuro e pr´oximo a uma parede, vemos duas regi˜oes bem iluminadas, cujos contornos s˜ao hip´erboles. Veja a Figura 20.2.
Figura 20.1: Ondas de choque de um jato supersˆonico intersectando a superf´ıcie do planeta em hip´erboles.
Figura 20.2: Cones de luz intersectando a parede ao longo de hip´erboles.
Hip´erbole
Antes de mencionarmos outras aplica¸c˜oes, precisamos conhecer a de- fini¸c˜ao e as propriedades elementares da hip´erbole.
Consideremos fixados no plano dois pontos F 1 e F 2. A hip´erbole ´e o lugar geom´etrico dos pontos do plano cujo valor absoluto da diferen¸ca das distˆancias aos pontos F 1 e F 2 ´e uma constante positiva menor do que a distˆancia entre os pontos F 1 e F 2. Escrevendo esta constante como 2 a, temos
hip´erbole={P | |d(P, F 1 ) − d(P, F 2 )| = 2a}.
Esta curva plana tem duas partes chamadas ramos da hip´erbole. Veja o seu desenho na Figura 20.3.
Figura 20.3: Hip´erbole como lugar geom´etrico no plano.: |d 1 − d 2 | = 2a Os pontos F 1 e F 2 s˜ao chamados focos da hip´erbole. Para encontrar a equa¸c˜ao da hip´erbole, vamos fixar um sistema de coor- denadas. Procedemos de modo an´alogo `a determina¸c˜ao da equa¸c˜ao da elipse. Consideramos o eixo x como o eixo focal, a reta passando por F 1 e F 2 , com a origem O situada no ponto m´edio do segmento F 1 F 2 , e o eixo y sendo a reta perpendicular a este segmento passando por O. A orienta¸c˜ao do eixo x ´e de O para F 2 e o eixo y tem a sua orienta¸c˜ao, for¸cosamente, fixada. Veja a Figura 20.4.
Figura 20.4: Constru¸c˜ao de um sistema de coordenadas. Seja 2c > 0 a distˆancia entre F 1 e F 2. Ent˜ao, 0 < a < c e, no sistema de coordenadas que acabamos de construir, temos F 1 = (−c, 0) e F 2 = (c, 0).
Portanto, P = (x, y) ´e um ponto da hip´erbole ⇐⇒ | d(P, F 1 ) − d(P, F 2 ) | = 2a ⇐⇒ d(P, F 1 ) − d(P, F 2 ) = ± 2 a ⇐⇒
√ (x − (−c))^2 + (y − 0)^2 −
√ (x − c)^2 + (y − 0)^2 = ± 2 a
Hip´erbole
B 1 = (0, −b) e B 2 = (0, b) n˜ao est˜ao na hip´erbole, mas desempenham um papel importante para tra¸car o seu gr´afico. O segmento de reta B 1 B 2 tem comprimento 2b e ´e chamado eixo imagin´ario da hip´erbole. N˜ao se esque¸ca que os focos da hip´erbole est˜ao situados no eixo x e s˜ao F 1 = (−c, 0) e F 2 = (c, 0).
As retas verticais passando por A 1 e A 2 e as retas horizontais passando por B 1 e B 2 determinam um retˆangulo de v´ertices C, D, E e F cujas diago- nais passam pela origem e tˆem equa¸c˜oes y = ± b a x, chamadas de ass´ıntotas da hip´erbole.
As ass´ıntotas da hip´erbole tˆem a seguinte propriedade: um ponto da hip´erbole muito afastado do centro O est´a a uma distˆancia muito pequena (pr´oxima de zero) da ass´ıntota. Na pr´atica, isto significa que o desenho do gr´afico da hip´erbole se aproxima da ass´ıntota quando o ponto da hip´erbole se afasta do centro, conforme a Figura 20.5.
Figura 20.5: Desenho das ass´ıntotas da hip´erbole.
Mais precisamente: (1) Pontos da hip´erbole do primeiro e terceiro quadrantes com |x| muito
grande est˜ao pr´oximos de y = (^) ab x.
(2) Pontos da hip´erbole do segundo e quarto quadrantes com |x| muito
grande est˜ao pr´oximos de y = − b a x.
O exerc´ıcio 5 desta aula d´a um roteiro para a demonstra¸c˜ao das propri- edades acima. Daremos aqui apenas uma id´eia da validade das propriedades, usando os nossos conhecimentos dos n´umeros reais. Observe que a equa¸c˜ao da hip´erbole pode ser reescrita como y^2 x^2 =^
b^2 a^2 −^
b^2 x^2 , pois x 6 = 0. Sabemos que quando |x| ´e muito grande, x^2 = |x|^2 tamb´em
´e muito grande. Logo, (^) x^12 ≈ 0 e b
2 x^2 ≈^ 0.^ Desta maneira, vemos que
Hip´erbole (^) M ODULO 1´ - AULA 20
y^2 x^2 =^
b^2 a^2 −^
b^2 x^2 ≈^
b^2 a^2.^ Conclu´ımos ent˜ao que^ |^
y x| ≈^
b a.^ Portanto,^
y x ≈ ±^
b a , quando (x, y) ´e um ponto da hip´erbole com |x| muito grande. Como foi visto na Aula 21, o s´ımbolo ≈ significa aproximadamente.
O gr´afico da hip´erbole ´e
Graf =
(x, y) | x
2 a^2 −^
y^2 b^2 = 1
Apresentamos, nas Figuras 20.6 e 20.7, os gr´aficos de x 42 − y 12 = 1 e x 92 − y 42 = 1 com as suas ass´ıntotas, y = ± 1 2 x^ e^ y^ =^ ±^
2 3 x, respectivamente.
Figura 20.6: Hip´erbole x 42 − y 12 = 1. Figura 20.7: Hip´erbole x 92 − y 42 = 1. Note que: (1) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (x, −y) tamb´em est´a na hip´erbole. (2) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (−x, y) tamb´em est´a na hip´erbole. (3) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (−x, −y) tamb´em est´a na hip´erbole.
Figura 20.8: Visualiza¸c˜ao das simetrias dos pontos da hip´erbole. As propriedades anteriores s˜ao conseq¨uˆencia das vari´aveis x e y apare- cerem ao quadrado na equa¸c˜ao da hip´erbole e significam, respectivamente, que:
(1) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito ao eixo x. (2) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito ao eixo y. (3) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito `a origem O.
A excentricidade da hip´erbole ´e o n´umero real
e = c a
, e > 1.
Hip´erbole (^) M ODULO 1´ - AULA 20
Esta igualdade ´e equivalente a 4(x − 1)^2 − 9(y + 2)^2 = 36.
Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36, temos (x − 1)^2 9 −^
(y + 2)^2 4 = 1, que ´e a equa¸c˜ao de uma hip´erbole obtida pela transla¸c˜ao de 1 unidade, ho- rizontalmente, e de −2 unidades, verticalmente, dos pontos da hip´erbole x^2 9 −^
y^2 4 = 1.
Figura 20.11: x 92 − y 42 = 1 e (x− 9 1) 2 − (y+2)^2 4 = 1.
Esta ´ultima hip´erbole tem v´ertices A 1 = (− 3 , 0) e A 2 = (3, 0), c^2 = 9 + 4 = 13, focos F 1 = (−
13 , 0) e F 2 = (
13 , 0) e
excentricidade e =
√ 13
- Somando 1
as abcissas e −2as ordenadas dos v´ertices e dos focos, obtemos que os v´ertices da hip´erbole dada s˜ao A′ 1 = (− 2 , −2) e A′ 2 = (4, −2), e os focos s˜ao F 1 ′ = (1−
e F 2 ′ = (1 +
13 , −2). A sua excentrici-
dade tamb´em ´e e =
√ 13
Figura 20.12: x a 22 − y b^22 = 1 e (x− a 2 h )^2 − (y− b 2 k )^2 = 1.
De modo geral, a hip´erbole de equa¸c˜ao x^2 a^2 −^
y^2 b^2 =^ 1 tem centro (0,^ 0), ei- xos de simetria x = 0 e y = 0, e as retas de equa¸c˜oes y = b a x e y =
− (^) ab x como ass´ıntotas. Quando esta hip´erbole ´e transladada de h unida- des, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, uma hip´erbole congru- ente ´e obtida, com equa¸c˜ao (x−h)
2 (y−k)^2 a^2 − b^2 = 1. O centro (0, 0) ´e transladado para (h, k) e os focos, os v´ertices, os eixos de simetria e as ass´ıntotas s˜ao transla- dados como indicado a seguir:
Hip´erbole
x^2 a^2 −^
y^2 b^2 = 1^
(x − h)^2 a^2 −^
(y − k)^2 b^2 = 1 centro: (0, 0) −→ (h, k) focos: (c, 0) e (−c, 0) −→ (c + h, k) e (−c + h, k) v´ertices: (a, 0) e (−a, 0) −→ (a + h, k) e (−a + h, k) eixos de simetria: x = 0 e y = 0 −→ x = h e y = k ass´ıntotas: y = (^) ab x e y = − b a x −→ y − k = b a (x − h) e y − k = − b a (x − h)
Aten¸c˜ao:
A excentricidade n˜ao se altera com uma transla¸c˜ao!
Resumo
Vocˆe aprendeu a descrever a hip´erbole como um lugar geom´etrico; a determinar os parˆametros a, b e c da hip´erbole, com a equa¸c˜ao reduzida obtida no sistema de coordenadas, onde a origem ´e o seu centro de simetria e o eixo x ´e o eixo focal da hip´erbole; a esbo¸car o gr´afico e as ass´ıntotas da hip´erbole e a fazer transla¸c˜oes; a determinar as coordenadas dos focos, dos v´ertices e das extremidades do eixo imagin´ario; a determinar a excentricidade e o seu significado.
Exerc´ıcios
- Esboce o gr´afico das hip´erboles, tra¸cando as ass´ıntotas:
(a) x
2 16 −^
y^2 9 = 1 (b) x
2 4 −^
y^2 1 = 1 (c) 8x^2 − 9 y^2 = 72
(d) 16(x − 3)^2 − 9(y − 2)^2 = 144
(e) 9(x + 2)^2 − 4(y − 3)^2 = 36
(f) 25x^2 − 9 y^2 = 225
- Considere as hip´erboles do exerc´ıcio anterior. Determine:
(a) as coordenadas dos focos e dos v´ertices, (b) a excentricidade.
Hip´erbole
- Desafio: Reformule o exerc´ıcio anterior para mostrar que a ass´ıntota aos pontos do quarto quadrante de H ´e a reta de equa¸c˜ao y = − (^) ab x.
Auto-avalia¸c˜ao
Se vocˆe souber determinar a equa¸c˜ao reduzida da hip´erbole, no sistema de coordenadas com eixo x como eixo focal e origem no ponto m´edio entre os focos, a partir das propriedades geom´etricas; esbo¸car o seu gr´afico e suas ass´ıntotas, usando a sua equa¸c˜ao reduzida; determinar as coordenadas dos v´ertices, dos focos e das extremidades do eixo imagin´ario, a partir da equa¸c˜ao reduzida; souber fazer transla¸c˜oes e determinar a excentricidade, ent˜ao pode prosseguir e aprender mais sobre a hip´erbole.
