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Prof. Dr. Antonio Carlos Schneider Beck Filho (UFSM) Prof. Dr. Júlio Carlos Balzano de Mattos (UFPel)
NOTAS DE AULA
Mapas de Karnaugh
Quando mais complexa é a expressão booleana a ser implementada em portas lógicas, mais complexo é o circuito obtido. Portanto, a simplificação da expressão booleana é fundamental para reduzir os custos de implementação.
A simplificação através de manipulação algébrica é muito complexa e freqüentemente não conduz a uma simplificação máxima.
Desta maneira, utilizaremos os Mapas de Karnaugh
O princípio da simplificação por mapas de Karnaugh é de que 2 minitermos que possuem apenas uma variável, chamada de literal, que é diferente entre eles (uma negada e outra não), pode ser simplificada pelo axioma 11 ( x x 1 ).
Por exemplo, os seguintes minitermos seriam simplificados da seguinte forma:
A. B. C A. B. C A. B .( C C ) A. B. 1 A. B
X. Y. Z X. Y. Z X. Y .( Z Z ) X. Y. 1 X. Y
O mesmo raciocínio pode ser feito com maxitermos.
O mapa de Karnaugh dispõe graficamente os minitermos (ou maxitermos) de forma que as células adjacentes sejam diferentes em apenas em um literal.
Mapas de Três Variáveis O mapa de Karnaugh de três variáveis é constituído da seguinte forma:
Observe que cada célula adjacente só difere de uma literal. Para preencher o mapa, basta colocar 1 nas células correspondentes aos minitermos da função.
BC A
m 0 m
1 m 3 m 2
m 4 m 5 m 7 m
6
Simplificação usando Mapas de Karnaugh
Os exemplos que usaremos serão para mapas de quatro variáveis (ou literais), mas o mesmo valerá para mapas de três variáveis.
Depois que um certo conjunto de células adjacentes for agrupado, este grupo resultará em um termo contendo todos os literais cujo valor não varia dentro do grupo. Desta maneira, os literais cujos valores variam são eliminados.
Por exemplo, dada a seguinte tabela verdade, o mapa de Karnaugh pode ser preenchido:
A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
Resultado =
Observe que na simplificação com dois minitermos, apenas um literal é eliminado. Para isto, a prioridade deve ser o primeiro a efetuar todas as simplificações possíveis com quatro minitermos, depois tentar com dois. Assim estaremos simplificando ao máximo. Já no caso de simplificação com oito minitermos, são eliminadas três variáveis.
Exercícios : Escreva a expressão mínima correspondente às funções lógicas abaixo, utilizando mapas de karnaugh e desenhe os circuitos correspondentes.
(a) F ( A , B , C ) (^) m ( 0 , 2 , 4 , 6 ) (b) F ( A , B , C , D ) (^) m ( 0 , 2 , 4 , 7 , 8 , 10 , 12 ) (c) F ( A , B , C ) (^) m ( 0 , 3 , 5 , 7 ) (d) F ( A , B , C , D ) (^) m ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 10 , 13 , 15 ) (e) F ( A , B , C ) (^) m ( 1 , 3 , 6 ) (f) (^) F ( A , B , C , D ) (^) m ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 , 11 )
Exercícios : Escreva a expressão mínima correspondente às funções lógicas abaixo, utilizando mapas de karnaugh e desenhe os circuitos correspondentes.
(a) F ( A , B , C ) (^) m ( 0 , 3 , 4 , 6 ) (b) F ( A , B , C ) (^) M ( 1 , 2 , 5 , 7 ) (c) F ( A , B , C , D ) (^) M ( 0 , 1 , 2 , 5 , 7 , 11 , 12 ) (d) F ( A , B , C ) (^) M ( 1 , 2 , 3 , 5 , 7 ) (e) (^) F ( A , B , C , D ) (^) M ( 0 , 1 , 2 , 5 , 7 , 8 , 12 , 15 )
00 01 11 10 CD AB
00
01
11
10
