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Teoria dos conjuntos Funções Grandezas Proporção Sistemas de Medição Sistemas de Equações Limites Derivadas Regressões e Gráficos Matemática Revisão:
- Calcular o valor numérico das expressões: a) 20 – (- 45) : (- 3)2 + (- 2). (- 1) b) 14 + (- 2)4 – (- 2)3 + 07 + 320 + 8. c) – (- 2)3 + (- 1)0 – [pic]– 53 : 25
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) (0,5)2 : 5 – 2 .(0,3. 1,2 – 0,72 : 2,4)
h) [pic]+ 0,19 : [pic]
i) [pic]
j) [pic]
k) [pic]
- Escreva os números como o produto de um número inteiro por uma potência de 10. a) 0,3 =
b) 3000 =
c) 0,005 =
d) 0,0625 =
e) 3,45 =
f) 312,51 =
g) 8 000 000 =
h) 6,001 =
Determine o valor da expressão [pic].
Calcule o valor de:
a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=
e) [pic]=
f) 251/2 =
g) 81/3 =
h) (-27)2/3 =
i) (- 1)7/9 =
- Calcule o valor da expressões.
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic] Conjuntos: Na matemática, tratamos o conceito de conjuntos como conceito primitivo, portanto sem definição. Intuitivamente, aceitamos por conjunto uma coleção ou classe de objetos bem definidos, e os objetos que formam o conjunto são chamados elementos do conjunto. Conjuntos são representados por letras maiúsculas A, B, C, ... Elementos são representados por letras minúsculas a, b, c, ...
Pertinência “[pic]” Se um elemento a é um elemento de um conjunto A, a[pic]A[pic] a pertence ao conjunto A. Se um elemento a não é um elemento de um conjunto A, a[pic]A[pic] a não pertence ao conjunto A.
Subconjuntos Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todo elemento de A é também elemento de B. Representamos: A[pic]B[pic]A está contido em B B[pic]A[pic]B não está contido em A B[pic]A[pic]B contêm A
União de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B e indica A[pic]B (A união B) o conjunto cujos elementos pertencem a A ou a B.
Intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chame-se intersecção de A e B e indica A[pic]B (A inter B) o conjunto cujos elementos são comuns a A e B, isto é, que pertencem A e também a B.
Conjuntos Numéricos Conjunto dos números Naturais “N” N = {0, 1, 2, ...}
Conjunto dos números Inteiros “Z” Z = {...- 2, - 1, 0, 1, 2, ...}
Equações do 1º e 2º grau.
Chama-se equação do 1º grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que pode ser reduzida à forma: ax + b = 0, com a[pic]R, b[pic]R, a? 0.
Exemplos: Encontre as raízes:
2x + 10 = 0
x – 3 = 0
–x + 5 = 0
[pic]
3x – 2 = 2x + 3
[pic]
[pic]
Problemas: · Um pagamento foi acrescido de 50% de seu valor, resultando em um total a ser pago de R$ 300,00. Qual o valor da dívida original?
. Um produto é anunciado em uma loja com pagamento em duas vezes sem juros, ou a vista com desconto de 20%. Se uma pessoa pagou a vista R$ 400,00 pelo produto, qual o valor das prestações para a compra a prazo? . Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento, R$ 300,00. Qual o valor da dívida, se o último pagamento era de 20% da dívida original? . Duas pessoas têm juntas R$ 135,00. Quanto possui cada uma delas, sabendo-se que uma possui o dobro da outra?
Chama-se equação do 2º grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que pode ser reduzida à forma: ax2 + bx + c = 0, com a[pic]R, b[pic]R, c[pic]R e a? 0.
Exemplos: Encontre as raízes:
x2 – 5x +6 = 0
– x2 + 12x – 15 = 0
x2 – 100 = 0
3x2 + 12x = 0
4x2 = 0
Problemas:
- Dois números apresentam soma 20 e produto 91. Quais são esses números?
- Determinar dois números positivos com soma 14 e produto 33.
- Determinar dois números negativos com diferença 4 e produto 21.
- Determinar as dimensões de um retângulo com área de 80m2, sabendo-se que um lado tem 2m a mais que o outro.
- O lucro devido à comercialização de um produto é calculado pela equação L = q2 + 8q – 10, onde q é a quantidade comercializada. Determinar o menor valor de q para o qual o lucro seja de R$ 2,00.
Funções:
1 Conceitos e Exemplos
Vamos considerar dois conjuntos numéricos A e B não vazios e construir um conjunto de pares de números, escolhendo o primeiro número do par do conjunto A e o segundo número do par do conjunto B. Esse conjunto de pares de números é uma função se para cada elemento do conjunto A estiver associado somente um elemento do conjunto B.
Situação1: A B
Os pares (2, 6), (5, 8), (10, 8), (6, -2) constituem uma função.
Situação 2:
A B
Os Pares (2,6), (5,8), (2,8), (10, - 2), (6,15) não constituem uma função pelo fato de o elemento 2 do conjunto A estar associado a dois elementos do conjunto B. O conjunto A, que fornece o primeiro elemento de cada par, é denominado domínio da função. O conjunto dos elementos de B que estão relacionados nos pares é denominado conjunto imagem da função. Chamando genericamente de x os elementos do conjunto A (domínio) e de y os elementos do conjunto B, dizemos que y é função de x, ou imagem de x pela função f. Notificação: y = f (x)
Exemplo: 1 Verificar se o conjunto de pares constitui uma função. Se a resposta for afirmativa, determine o domínio e o conjunto imagem da função.
{(3,5), (2,4), (5,8), (6,12), (7,12) (8,15)}
Solução: Esse conjunto de pares é uma função, pois cada elemento do primeiro conjunto aparece apenas uma vez e tem, portanto, apenas uma imagem.
O domínio é: A = {3, 2, 5, 6, 7, 8}
O conjunto imagem é: B = {5, 4, 8, 12, 15}
- y = [pic], para x[pic][0, 10]
Conhecido o gráfico da função linear (dois pontos), determinar a regra que a define. “f(x) = ax + b”.
Exemplo:
Determine a regra que define a função linear cujo gráfico é a reta que passa pelos pontos:
- A = (2, 5) e B = (4, 9)
- A = (1, 2) e B = (3, 8)
- A = (- 3, - 5) e B = ( -1, 0)
- A = (- 3, 1) e B = (- 3, 2)
Sistema de Equações do 1º grau Um sistema é apresentado, em geral, na forma: [pic]
Exemplo: Solução de um sistema:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Problemas:
A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos. Daqui a dois anos a mais velha terá o dobro da idade da mais nova. Qual a idade de cada uma.
O preço de equilíbrio de mercado para um produto é o preço de venda do produto que equilibra a quantidade que os produtores estão dispostos a oferecer e a quantidade que os consumidores estão dispostos a adquirir. Se a equação que dá oferta do produtor for q = 0,1p – 40 e a equação que mede a demanda do consumidor for q = 500 – 0,2p, qual o ponto de equilíbrio desse mercado?
Função Quadrática
É a função dada pela regra y =ax2 + bx + c, com domínio R, onde a, b e c são números reais e a? 0. O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima, caso a seja positivo, e concavidade voltada para baixo, caso a seja negativo. Para construir uma parábola (gráfico), 1º encontramos as raízes; 2º os seus vértices.
Exemplo:
Construir a representação gráfica da função y = x2 -5x + 6.
Construir a representação gráfica da função y = -2x2.
Exercícios: Construir os gráficos:
y = x2 – 4x + 3
y = x
y = x2 – 6x + 9
y = - x2 + 4x
y = - x2 – 1
Logaritmo: Se a[pic]R, a > 0, a? 1 e x[pic]R, x > 0, então o número real y tal que bx = a é denominado logaritmo de x na base a e denota-se logba = x Onde:
[pic]
Exercícios: Calcule o valor de x:
a) [pic] b) [pic] c)[pic] d)[pic] Condição de existência do logaritmo Existe o logab somente quando a > 0, a? 1 e b > 0.
Exemplos: a) [pic] b) [pic]
Propriedades do logaritmo.
Dados os números reais e positivos a, b, e c, sendo a? 1, pela definição de logaritmo decorrem as seguintes propriedades: [pic]
Exercícios:
Dados log7 2 = 0,3562 e log7 5 = 0,8271, calcule log7 10.
Dados log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 7 = 0,8450, calcule log 42.
Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule log 72.
Resolva as equações: a) log5 3 + log5 (x + 2) = 2
b) log10 x + log10 x = 2
