Baixe Matemática básica - Dante e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Dante
Matem´atica, Contexto e
Aplica¸c˜oes – volume 1
Cap´ıtulo 1. Revis˜ao
O primeiro cap´ıtulo do livro consiste numa seq¨uˆencia de 79 exerc´ıcios sobre n´umeros, equa¸c˜oes do primeiro e do segundo grau, sistemas 2 × 2, geometria (medidas) e gr´aficos estat´ısticos. Os exerc´ıcios s˜ao bem dosados e servem de aquecimento para o in´ıcio do Ensino M´edio. H´a apenas um reparo a fazer: na p´agina 13 menciona-se o quociente entre dois n´umeros. Aterminologia usual ´e “o quociente de um n´umero por outro” (do dividendo pelo divisor).
Cap´ıtulo 2. Conjuntos
Logo neste cap´ıtulo inicial sobre conjuntos, percebe-se que este livro distingue-se dos seus congˆeneres por adotar um ponto de vista objetivo, consciente do signi- ficado da presen¸ca deste assunto no curr´ıculo. E ressaltado em poucas palavras´ o papel unificador da no¸c˜ao de conjunto. Os exemplos apresentados de conjun- tos s˜ao, em sua maioria, tirados do contexto matem´atico (conjuntos de figuras geom´etricas, por exemplo), deixando antever a inser¸c˜ao natural desse conceito nos v´arios dom´ınios da Matem´atica e, ao mesmo tempo, revisando no¸c˜oes b´asicas estudadas nos anos anteriores. Aconex˜ao entre conjuntos e l´ogica ´e feita de modo bastante claro, simples e sem alardes. Cabem aqui algumas observa¸c˜oes que poderiam ser acrescentadas para me- lhorar a apresenta¸c˜ao: a afirma¸c˜ao de que ∅ ⊂ A para todo A n˜ao ´e ´obvia e deveria ser acompanhada de uma explica¸c˜ao. Outra ausˆencia que deve ser reparada ´e a no¸c˜ao de contrapositiva de uma pro- posi¸c˜ao. Trata-se de algo bastante ´util, um instrumento freq¨uentemente emprega- do nos racioc´ınios matem´aticos e f´acil de entender. Tendo estabelecido que a im- plica¸c˜ao l´ogica significa uma inclus˜ao de conjuntos, a equivalˆencia A ⊂ B ⇔ Bc^ ⊂ Ac, mencionada na p´agina 32, deveria ser, em primeiro lugar, justificada (pois n˜ao foi dita uma s´o palavra de esclarecimento sobre sua valida- de) e em seguida relacionada com a contrapositiva.
267
268 EXAME DE TEXTOS
Antecipando-nos a an´alise a que submeteremos os cap´ıtulos posteriores, fare- mos agora um coment´ario sobre o uso da contrapositiva. Na p´agina 81, uma fun¸c˜ao f : A → B ´e chamada injetora quando cumpre a seguinte condi¸c˜ao: x 1 = x 2 em A ⇒ f (x 1 ) = f (x 2 ). Esta defini¸c˜ao ´e correta e esclarece mui- to bem a id´eia. Mas na pr´atica, na maioria das vezes em que se quer mos- trar que uma fun¸c˜ao ´e injetora, usa-se a contrapositiva da implica¸c˜ao acima: f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2. Por isso, a defini¸c˜ao da p´agina 83 deveria ser seguida do seguinte adendo “... ou, equivalentemente, f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 ”. Vejamos um exemplo: dada f : A → B suponhamos que exista g : B → A tal que g(f (x)) = x para todo x ∈ A. Queremos mostrar que, nestas con- di¸c˜oes, f ´e injetiva. Amaneira mais natural de argumentar ´e: f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )) = x 2. Aprop´osito: o termo “injetiva” ´e prefer´ıvel a “injetora”, inclusive porque se prestaa forma¸c˜ao de derivados como “injetividade”, enquanto que “injetoridade” simplesmente n˜ao existe. Na p´agina 31, depois de mostrar que um conjunto com 3 elementos possui 8 subconjuntos, o autor sugere que o leitor examine outros conjuntos para constatar que um conjunto com n elementos tem 2n^ subconjuntos. Aqui caberia uma observa¸c˜ao do tipo “isto ser´a provado mais tarde, no vol. 2”. (Com efeito, ´e uma conseq¨uˆencia imediata do princ´ıpio multiplicativo, o qual deve estar na p´agina 1 de toda apresenta¸c˜ao de An´alise Combinat´oria.) Defeito maior se encontra na p´agina 38. Ali, depois de verificar a rela¸c˜ao n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) num simples exemplo, ´e feita a afirma¸c˜ao: “logo, quando A ⊂ B s˜ao conjuntos finitos, tem-se... (segue-se a mesma f´ormula)”. O autor de um livro tem sempre a op¸c˜ao de demonstrar ou n˜ao suas afirma¸c˜oes. Mas nunca deve dar a entender que um fato geral pode ser enunciado como uma conclus˜ao que se segue de um exemplo, ou mesmo dois, ou trˆes. O exame de situa¸c˜oes particulares antes de enunciar um princ´ıpio geral (ou uma defini¸c˜ao) ´e uma atitude louv´avel, mas ´e preciso deixar claro que a veracidade de alguns exemplos n˜ao autoriza conclus˜oes amplas. Af´ormula para n(A ∪ B) (e mesmo para n(A ∪ B ∪ C), que ´e mencionada de passagem) merecia um coment´ario, ainda que breve, sobre a raz˜ao de sua validade. Mais ainda: na p´agina 84, quando ser´a discutido o conceito de n´umero cardinal de um conjunto, n˜ao ´e dito que o n´umero de elementos de um conjunto finito ´e o n´umero cardinal desse conjunto. Seria interessante tamb´em observar que contar os elementos de um conjunto X ´e definir uma fun¸c˜ao bijetiva f : In → X, onde In = { 1 , 2 ,... , n} e dizer que este n ´e o pr´oprio n(X). J´a que em tantas ocasi˜oes se fala em conjunto finito e conjunto infinito, ali seria um bom lugar para explicar esses conceitos. Com a capacidade de s´ıntese que o autor mostra possuir, a tarefa
270 EXAME DE TEXTOS
Cap´ıtulo 3. Fun¸c˜oes
Este cap´ıtulo cont´em uma das melhores apresenta¸c˜oes do importante e fundamen- tal conceito de fun¸c˜ao para os alunos do Ensino M´edio. Ap´os uma introdu¸c˜ao em que s˜ao mostrados v´arios exemplos, a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao ´e dada do modo correto, em duas linhas, sem o entulho dos formalismos tolos e irrelevantes usados pela maioria dos livros congˆeneres, que definem fun¸c˜ao como um subconjunto do produto cartesiano, ap´os uma longa e est´eril discuss˜ao sobre rela¸c˜oes bin´arias. As fun¸c˜oes s˜ao apresentadas aqui do modo como ocorrem na Matem´atica, nas Ciˆencias em geral e no dia-a-dia da vida real: mediante f´ormulas, tabelas e gr´aficos. H´a alguns reparos a fazer neste cap´ıtulo. Na p´agina 56, falando sobre a fun¸c˜ao f : R → R, definida por f (x) = x^2 , est´a escrito o seguinte: “Como o quadrado de um n´umero real ´e sempre um n´umero real n˜ao-negativo, isto ´e, positivo ou nulo, ent˜ao o conjunto imagem ´e Im(f ) = {y ∈ R; y ≥ 0 }... ”. N˜ao ´e bem assim. Apremissa mencionada permite apenas concluir que a imagem de f est´a contida no intervalo [0, +∞). O que assegura que a imagem de f ´e [0, +∞) ´e o fato de que todo n´umero real ≥ 0 possui raiz quadrada real. Ali´as, em outras ocasi˜oes posteriores, que assinalaremos no decorrer desta an´alise, o autor passa ligeiramente pela sobrejetividade de certas fun¸c˜oes. Seria interessante salientar que se, por um lado, a injetividade de uma fun¸c˜ao ´e quase sempre f´acil de verificar, a sobrejetividade ´e geralmente mais dif´ıcil, porque provar que um elemento b ∈ B pertence `a imagem da fun¸c˜ao f : A → B significa que a equa¸c˜ao f (x) = b possui pelo menos uma solu¸c˜ao x ∈ A. E foi exatamente por isso que os n´umeros reais apareceram. Certas equa¸c˜oes que n˜ao tinham ra´ızes em Q, ou seja, certas fun¸c˜oes f : Q → Q ou f : Q → Q+ , que n˜ao eram sobrejetivas passaram a sˆe-lo em R. E claro que n˜´ ao se espera que se prove num livro para o Ensino M´edio que todo n´umero real ≥ 0 possui raiz quadrada. Mas este fato deve ser mencionado como a raz˜ao pela qual f (x) = x^2 tem por imagem o intervalo [0, +∞). Apesar da variedade de exemplos interessantes apresentados, faltou exibir algumas fun¸c˜oes matem´aticas que n˜ao s˜ao definidas por f´ormulas. Exemplo: f : P → R, onde P ´e o conjunto dos pol´ıgonos do plano e, para cada P ∈ P, f (P ) = ´area de P. Outros exemplos matem´aticos importantes s˜ao as fun¸c˜oes definidas geometricamente, como as rota¸c˜oes do plano, as reflex˜oes relativas a retas do plano ou a planos do espa¸co, etc. S˜ao ocorrˆencias belas e ´uteis da no¸c˜ao geral de fun¸c˜ao, que s˜ao f´aceis de explicar, que podem ser empregadas mais tarde no estudo da Geometria e que mostram que nem toda fun¸c˜ao interessante na Matem´atica (mesmo Elementar) assume valores num´ericos.
Dante – volume 1 271
Na p´agina 75, as defini¸c˜oes de fun¸c˜ao par e fun¸c˜ao ´ımpar s´o fazem sentido se o dom´ınio ´e sim´etrico em rela¸c˜ao `a origem, isto ´e, x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Na p´agina 81 (defini¸c˜ao de fun¸c˜ao injetiva), j´a observamos antes que o crit´erio f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 deveria ser mencionado. Al´em disso, a palavra “com- ponente” (linha −9) n˜ao faz sentido. Provavelmente foi um erro de digita¸c˜ao. O autor talvez quisesse dizer “correspondente”, mas mesmo esta palavra, que ´e utilizada na linha seguinte, n˜ao ´e adequada. Em vez de “N˜ao h´a elemento em B com mais de um correspondente em A ”, deveria ser: “N˜ao h´a elemento em B que seja imagem de mais de um elemento de A ”. A o tratar de n´umero cardinal, como observamos antes, o autor deveria dizer que isto inclui o n´umero de elementos de um conjunto finito. Aqui seria um bom lugar para dizer o que significam “finito” e “infinito”, palavras que se usam tanto em Matem´atica, mesmo neste n´ıvel. Ao ensinar como se faz para determinar a inversa de uma fun¸c˜ao dada, o autor sugere quatro passos, o segundo dos quais ´e permutar os s´ımbolos x e y. Embora neste n´ıvel (inclusive nas provas de vestibular) n˜ao se costume ter x = g(y), ou seja, n˜ao se chame de y a vari´avel independente, este passo nos parece desne- cess´ario e pode levar a erros. O pr´oprio autor incorre no erro a que nos referimos quando, na p´agina 90, diz que duas fun¸c˜oes f : A → B e g : B → A s˜ao inversas uma da outra se, e somente se, f (g(x)) = g(f (x)) = x. Estas igualdades s´o fazem sentido quando A = B, pois f (g(x)) pertence a B e g(f (x)) pertence a A. No caso geral, dever-se-ia dizer: g(f (x)) = x para todo x ∈ A e f (g(y)) = y para todo y ∈ B. O segundo gr´afico da p´agina 88 est´a errado. Nele aparece um segmento, que deveria ser substitu´ıdo por uma curva em forma de p´etala. Na p´agina 83 (3o¯ exemplo) devia ser “fun¸c˜ao sucessor” em vez de “fun¸c˜ao sucessora”.
Cap´ıtulo 4. Fun¸c˜ao Afim
O tratamento das fun¸c˜oes afins, seguindo o padr˜ao dos cap´ıtulos anteriores, ´e objetivo, bem motivado e com uma profus˜ao de gr´aficos de boa qualidade. Sua leitura conduz `as observa¸c˜oes que se seguem. Na defini¸c˜ao da fun¸c˜ao linear f (x) = ax (p´agina 87), n˜ao h´a necessidade nem conveniˆencia de supor a = 0. Afun¸c˜ao identicamente nula ´e linear. Ataxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao afim ´e definida como [f (x + h) − f (x)]/h e o leitor ´e convidado (no quadro “para refletir”) a provar que ela ´e igual a a se f (x) = ax + b. Dada a extraordin´aria importˆancia do conceito, isto devia ser tarefa do autor, que diria ent˜ao ser a caracter´ıstica principal das fun¸c˜oes afins o fato de que essa taxa ´e constante. E extremamente relevante destacar que as´
Dante – volume 1 273
Numa observa¸c˜ao ao final do cap´ıtulo, ´e feita uma t´ımida men¸c˜ao ao ver- dadeiro sentido da proporcionalidade, a qual fica perdida pois n˜ao ´e seguida de coment´arios, explica¸c˜oes nem exemplos. E uma pena, pois ser˜´ ao v´arias as oca- si˜oes, durante todo o Ensino M´edio, em que esta no¸c˜ao necessitar´a ser usada adequadamente, a saber: sempre que ocorrer uma regra de trˆes.
Cap´ıtulo 5. Fun¸c˜ao Quadr´atica
O tratamento dado as fun¸c˜oes quadr´aticas ´e simples, objetivo, bem motivado e com boas ilustra¸c˜oes. Por outro lado, as aplica¸c˜oes, que poderiam ser numerosas e variadas, s˜ao muito poucas. N˜ao nos referimosas pseudo-aplica¸c˜oes, nas quais ´e dada uma f´ormula que n˜ao se sabe de onde veio e pede-se para trabalhar com ela. Queremos dizer verdadeiras aplica¸c˜oes, em que uma situa¸c˜ao real pode ser modelada por uma fun¸c˜ao quadr´atica, cabendo ao aluno achar essa fun¸c˜ao e, em seguida usar os conhecimentos adquiridos no estudo do livro para resolver o problema proposto. Por incr´ıvel que pare¸ca, h´a apenas um exerc´ıcio proposto que ´e deste tipo (o ´ultimo do cap´ıtulo). Ser´a muito f´acil preencher essa lacuna pois ´e poss´ıvel formular dezenas de problemas atuais e atraentes, em cujos enunciados n˜ao aparece a fun¸c˜ao quadr´atica mas ela ocorre na solu¸c˜ao. Outra deficiˆencia do cap´ıtulo situa-se na parte te´orica. As defini¸c˜oes s˜ao dadas corretamente mas h´a omiss˜oes diversas, como rela¸c˜oes entre os coeficientes e as ra´ızes, forma fatorada, completar o quadrado e a forma canˆonica f (x) = a(x − m)^2 + k. Os dois primeiros destes t´opicos presume-se que foram estudados nas s´eries anteriores (sabe-se l´a como) mas n˜ao custa reapresent´a-los neste novo contexto. O completamento do quadrado ´e uma ausˆencia injustific´avel e a forma canˆonica, que se segue dele, ´e extremamente ´util, inclusive para visualizar o gr´afico de f (x). Abem da verdade, a forma canˆonica aparece timidamente nos exerc´ıcios 51 e 52. Mas ali n˜ao ´e dito que toda fun¸c˜ao quadr´atica pode ser escrita desta forma. No todo, o cap´ıtulo ´e apresentado de modo bastante intuitivo, o que em si n˜ao ´e mau, mas deveria, em prol do equil´ıbrio, ganhar um pouco mais de car´ater matem´atico. Seguem-se as observa¸c˜oes pontuais. O cap´ıtulo come¸ca, apropriadamente, com um problema model´avel por uma fun¸c˜ao quadr´atica e promete que, com o conte´udo que se segue, o leitor poder´a resolvˆe-lo. Todo cap´ıtulo de todo livro de Matem´atica deveria come¸car assim. Mas h´a um reparo a fazer: a resposta do problema ´e um terreno quadrado, cercado por 200 metros de tela, contendo uma quadra de basquete. O quadrado n˜ao ´e a forma natural para conter a quadra. Um retˆangulo seria mais apropriado. Para obter um retˆangulo como resposta, o autor deveria informar-se da raz˜ao
274 EXAME DE TEXTOS
comprimento/largura de uma quadra de basquete e propor que o terreno tivesse as mesmas propor¸c˜oes. Dar um car´ater de realismo aos problemas ´e importante para que a Matem´atica seja considerada como necess´aria para a vida moderna. Na p´agina 123, a f´ormula para calcular o n´umero de partidas de um cam- peonato merecia uma r´apida justificativa, al´em da tabela: n^2 − n ´e o n´umero de pares ordenados (olhe o “mando de campo”!) menos os jogos de cada time consigo mesmo, que n˜ao existem. Ainda na p´agina 123, a frase “dada f (x), calcular x ” n˜ao ´e clara. E o exemplo que se segue n˜ao est´a bem redigido. Devia ser: sabendo que f (x) = 1, qual ´e o valor de x? Na p´agina 127: “O ponto V ´e chamado de v´ertice da par´abola”. (Mas que ponto V ?) “Apar´abola apresenta sempre uma simetria... ” (Por quˆe?) “Quan- do a > 0, o v´ertice fica para baixo... ” (Por quˆe?). Estas coisas, e mais o estudo da abertura da par´abola (bem-vindo) ficariam bem f´aceis de justificar usando a forma canˆonica f (x) = a(x − m)^2 + k. Lembrando que, nesta f´ormula, tem-se m = −b/ 2 a, a complicada obten¸c˜ao da abscissa do v´ertice (p´agina 131) e o estudo do valor m´ınimo (ou m´aximo) tamb´em se tornariam imediatos. Como observamos ao comentar o Cap´ıtulo 3, a imagem da fun¸c˜ao quadr´atica ´e identificada sem maiores cuidados, a partir da figura. Seria interessante mostrar (ou propor como exerc´ıcio) que a equa¸c˜ao ax^2 + bx + c = d, com a > 0, tem sempre solu¸c˜ao se d > f (m), m = −b/ 2 a. (Calcule ∆.) O sinal da fun¸c˜ao quadr´atica, t˜ao bem ilustrado por figuras, teria seu estudo facilitado pelo uso da forma fatorada e o resultado final deveria ser enunciado simplesmente com palavras, assim: “f (x) tem sinal oposto ao de a quando x est´a entre as ra´ızes, e tem o sinal de a quando x est´a fora do intervalo das ra´ızes ou quando n˜ao h´a ra´ızes.” Na p´agina 150, onde se lˆe “velocidade =... ” deveria ler-se “velocidade m´edia num intervalo de tempo =... ” Finalmente, a leitura que encerra o cap´ıtulo n˜ao parece ter serventia alguma, nem d´a para entender o que ela pretendia esclarecer.
Cap´ıtulo 6. Fun¸c˜ao modular
As fun¸c˜oes que nossos textos chamam de modulares nada tˆem a ver com as verdadeiras fun¸c˜oes modulares estudadas na An´alise Complexa. Sua presen¸ca no curr´ıculo deve-se principalmente ao fato de que ocorrem em quest˜oes do exame vestibular. O tratamento que lhes ´e dado neste livro ´e moderado e claro. Como sempre, algumas observa¸c˜oes merecem ser feitas. Na p´agina 157 o s´ımbolo ⇒ de implica¸c˜ao l´ogica ´e incorretamente utilizado como se significasse “ent˜ao”.
276 EXAME DE TEXTOS
Neste ponto, a calculadora se imp˜oe. O livro deveria estimular seu uso sempre que for conveniente. Na p´agina 180, ao mencionar a nota¸c˜ao cient´ıfica, deveria ser dito que sua principal utilidade ´e a de fornecer, num relance, a id´eia da ordem de grandeza de um n´umero que, se fosse escrito por extenso, n˜ao daria essa informa¸c˜ao de modo t˜ao imediato. N˜ao conseguimos entender a finalidade dos itens 10 e 11 (p´ags. 182 e 183).
Cap´ıtulo 8. Fun¸c˜ao exponencial
O cap´ıtulo come¸ca com um exemplo concreto, referente ao lan¸camento de uma moeda ou, mais geralmente, de n moedas distintas, tendo-se, ´e claro, 2n^ resulta- dos poss´ıveis quanto a caras e coroas. O autor poderia muito bem ter usado este exemplo para provar que um conjunto com n elementos tem 2n^ subconjuntos. Mas como exemplo de fun¸c˜ao exponencial n˜ao ´e o melhor. No m´aximo, poderia ser usado para ilustrar o conceito de progress˜ao geom´etrica. Uma motiva¸c˜ao bem mais adequada para a fun¸c˜ao exponencial seria uma cultura de bact´erias que do- bra a popula¸c˜ao em cada hora. Em realidade, como ser´a observado mais adiante neste cap´ıtulo, nas aplica¸c˜oes a fun¸c˜ao exponencial pura f (x) = ax^ raramente ocorre. Do mesmo modo como uma progress˜ao geom´etrica nem sempre tem pri- meiro termo igual a 1, tamb´em na maioria das aplica¸c˜oes as fun¸c˜oes s˜ao do tipo exponencial, f (x) = b · ax. No exemplo das bact´erias, o modelo matem´atico ´e f (x) = b· 2 x, onde b ´e a popula¸c˜ao de bact´erias existente no in´ıcio da experiˆencia e x ´e o tempo decorrido. Na pr´atica, as bact´erias podem desenvolver-se sobre uma camada de alimentos e sua popula¸c˜ao ´e medida pela ´area que ocupa. Insistimos neste ponto porque consideramos da maior importˆancia que o ensino da Ma- tem´atica apresente um equil´ıbrio entre a conceitua¸c˜ao te´orica, as manipula¸c˜oes pr´aticas e as aplica¸c˜oes real´ısticas. Acaracter´ıstica fundamental da fun¸c˜ao exponencial (e, mais geralmente, do tipo exponencial) pode e deve ser constatada nos gr´aficos: se calcularmos a po- pula¸c˜ao das nossas bact´erias nos instantes x 0 , x 0 + h, x 0 + 2h,... , isto ´e, em intervalos de igual dura¸c˜ao h, veremos que cada popula¸c˜ao ´e igual `a do ins- tante anterior multiplicada pela mesma constante k: f (x 0 + h) = f (x 0 ) · k, f (x 0 + 2h) = f (x 0 + h) · k, etc. Isto fica muito claro quando se tem um capital empregado a juros fixos, capita- lizados continuamente. Esta propriedade ´e caracter´ıstica das fun¸c˜oes do tipo exponencial. E impor-´ tante destacar isto porque o estudante que se depara com problemas que usam essas fun¸c˜oes vˆe sempre que elas acompanham os dados da quest˜ao, mas nun- ca sabe de onde vˆem nem por que s˜ao usadas. Tal ´e o caso deste cap´ıtulo. O
Dante – volume 1 277
exerc´ıcio 37 ´e o ´unico, dentre os 52 nele contidos, em que a fun¸c˜ao exponencial n˜ao aparece no enunciado. Na p´agina 189 afirma-se que a fun¸c˜ao exponencial ´e injetora e sobrejetora mas nenhuma raz˜ao ´e apresentada para isto. Ainjetividade decorre da monotonici- dade mas a sobrejetividade merecia uma palavra explicativa. Mesmo porque ela ´e essencial para que se possa falar em logaritmo. O autor apropriadamente avisa ao leitor que a injetividade e a monotonicidade da fun¸c˜ao exponencial s˜ao os fundamentos necess´arios para resolver equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes exponenciais. Na p´agina 197 ´e feita a observa¸c˜ao, acompanhada de figura, segundo a qual os gr´aficos de ax^ e a−x^ s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao ao eixo y. Devia ser dito que isto nada tem a ver com fun¸c˜oes exponenciais. Seja qual for a fun¸c˜ao f : R → R, os gr´aficos de f (x) e f (−x) gozam dessa simetria. Al´em disso, a defini¸c˜ao dada deixa a impress˜ao de que f (−x) ´e sempre a fun¸c˜ao rec´ıproca de f (x). O n´umero e merecia um pouco mais de destaque. Em particular, a consi- dera¸c˜ao da seq¨uˆencia (1 + 1/n)n^ precisava ser explicada. Por que ela? O autor poderia informar ao leitor que esta seq¨uˆencia converge muito lentamente para e e, com aux´ılio de uma calculadora, ver qu˜ao grande deve ser n para que se tenham 5 algarismos decimais exatos. Aleitura da p´agina 202, sobre a “defini¸c˜ao recursiva da fun¸c˜ao exponencial” ´e, no m´ınimo, curiosa. Termina dizendo que f (n) = 2n^ (n natural) ´e conhecida como “fun¸c˜ao exponencial de base 2.” Achamos que isto ´e uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao 2. Exibir, por meio de um gr´afico, as ra´ızes da equa¸c˜ao 2x^ = x^2 , foi uma boa id´eia.
Cap´ıtulo 9. Logaritmos
Talvez porque tenha apresentado potencia¸c˜ao e fun¸c˜ao exponencial em cap´ıtulos separados, o livro traz um cap´ıtulo intitulado “Logaritmos” antes de “Fun¸c˜ao logar´ıtmica.” Asepara¸c˜ao n˜ao faz muito sentido. O Cap´ıtulo 7 ´e que devia ter sido chamado Fun¸c˜ao Potˆencia (e ter inclu´ıdo gr´aficos). O problema que serve de introdu¸c˜ao ao cap´ıtulo foi bem escolhido. Nele encontramos a seguinte afirma¸c˜ao: “N˜ao ´e poss´ıvel resolver esta equa¸c˜ao transformando-a em uma igualdade entre potˆencias da mesma base, como vimos no cap´ıtulo anterior. Para resolvˆe- la, precisamos utilizar logaritmos”. Ora, usar logaritmos ´e exatamente transformar a equa¸c˜ao em uma igualdade entre potˆencias da mesma base. O que deveria ter sido dito era: “Afim de transformar uma equa¸c˜ao exponencial numa igualdade entre potˆencias da mesma
Dante – volume 1 279
Cap´ıtulo 10. Fun¸c˜ao logar´ıtmica
Aexposi¸c˜ao sobre fun¸c˜ao logar´ıtmica que este cap´ıtulo traz ´e inteiramente ma- nipulativa. N˜ao h´a aplica¸c˜oes por meio de problemas em cujo enunciado n˜ao apare¸ca a palavra “logaritmo”. Ali´as, pura e simplesmente n˜ao h´a problemas, salvo os de manipula¸c˜ao e adestramento. Tampouco ocorrem esclarecimentos e observa¸c˜oes de natureza conceitual. Nunca ´e dito explicitamente, por exemplo, que dados a e b (positivos, = 1) os gr´aficos de loga x e logb x se obtˆem um do outro multiplicando todas as ordenadas por uma constante. Em todo o livro n˜ao h´a um coment´ario sobre como a fun¸c˜ao exponencial cresce rapidamente (lembram-se dos tempos da infla¸c˜ao galopante?) nem como o logaritmo cresce lentamente. Alguns gr´aficos de log x est˜ao mal feitos, dando a impress˜ao de que a curva tem uma ass´ıntota horizontal (v. p´ags. 227 e 238). Afun¸c˜ao logar´ıtmica ´e corretamente definida como a inversa da fun¸c˜ao expo- nencial. Faltou destacar as igualdades aloga^ x^ = x para todo x > 0 e loga(ax) = x para todo x ∈ R, salientando que elas resultam da defini¸c˜ao de fun¸c˜ao inversa. Asegunda figura da p´agina 228 est´a errada. Foram trocados os gr´aficos de loga x e ax. Na p´agina 241, a se¸c˜ao “Vendo o logaritmo como ´area” ´e interessante mas requer um pouco de explica¸c˜ao (ou referˆencia). Assim como est´a, parece ca´ıda do c´eu.
Cap´ıtulo 11. Progress˜oes
Este longo cap´ıtulo (quase 50 p´aginas) trata conjuntamente das progress˜oes aritm´e- ticas e geom´etricas. Ele come¸ca com a no¸c˜ao geral de seq¨uˆencia, que n˜ao ´e definida explicitamente mas ´e dado a entender de que se trata de um conjunto ordena- do, embora o quadrinho “para refletir” diga que n˜ao ´e bem assim (p´agina 243). Ficou faltando a simples, direta e clara defini¸c˜ao: uma seq¨uˆencia ´e uma fun¸c˜ao que tem por dom´ınio o conjunto dos n´umeros naturais (seq¨uˆencia infinita) ou o conjunto dos n´umeros naturais ≤ n (seq¨uˆencia finita, com n elementos). N˜ao d´a para entender a relutˆancia dos autores em apresentar seq¨uˆencias como fun¸c˜oes pois est˜ao sempre usando f´ormulas para exprimir o n-´esimo termo como fun¸c˜ao de n. N˜ao ´e feita a representa¸c˜ao geom´etrica dos termos de uma progress˜ao aritm´e- tica como pontos igualmente espa¸cados sobre uma reta, nem tamb´em ´e exibido o gr´afico de uma seq¨uˆencia no plano cartesiano. Este ´ultimo deixaria claro que uma progress˜ao aritm´etica ´e simplesmente a restri¸c˜ao de uma fun¸c˜ao afim ao conjunto N ou ao conjunto dos n´umeros naturais ≤ n para um certo n. Esta conex˜ao entre progress˜ao aritm´etica e fun¸c˜ao afim ´e ´util e deveria ser feita. Em
280 EXAME DE TEXTOS
primeiro lugar, por uma quest˜ao geral de princ´ıpio. Assuntos aparentemente di- versos por´em relacionados devem sempre ter sua conex˜ao ressaltada. Em segundo lugar porque, feita a ila¸c˜ao, pode-se usar propriedades de um conceito para obter propriedades do outro. Por exemplo: dois pontos do plano determinam uma reta; uma fun¸c˜ao afim fica determinada por dois de seus valores e dois termos de uma progress˜ao aritm´etica a determinam inteiramente. Afun¸c˜ao afim que tem os dois valores dados est´a definida para todo x ∈ R e fornece portanto todos os termos da interpola¸c˜ao aritm´etica vista na p´agina 255. Na f´ormula da soma dos termos de uma progress˜ao aritm´etica faltou explici- tar Sn como fun¸c˜ao de n, deixando claro que se trata de uma fun¸c˜ao quadr´atica. Precedendo a defini¸c˜ao de progress˜ao geom´etrica, o livro usa novamente a express˜ao “taxa de crescimento” com significado diferente daquele introduzido na p´agina 98. Como j´a mencionamos antes, o termo adequado para este contexto seria “taxa de crescimento relativo” ou “taxa de varia¸c˜ao relativa”. N˜ao-nulo ´e hifenado. O livro acertadamente observa que muitas vezes ´e conveniente come¸car uma progress˜ao geom´etrica (poderia incluir progress˜ao aritm´etica) com a 0 em vez de a 1. Por outro lado, apesar de escrever o termo geral como an = a 0 ·qn, n˜ao apro- veita a ocasi˜ao para fazer a conex˜ao com a fun¸c˜ao exponencial. Uma progress˜ao geom´etrica ´e simplesmente a restri¸c˜ao aos n´umeros naturais de uma fun¸c˜ao do ti- po exponencial f (x) = a 0 ·qx. Isto deixa ´obvio como interpolar meios geom´etricos, por exemplo. E deixa claro por que os problemas de matem´atica financeira (e muitos outros an´alogos) podem ser estudados via progress˜ao geom´etrica ou via exponenciais. O tratamento do que o autor chama “soma dos termos de uma progress˜ao geom´etrica infinita” deixa a desejar. Em primeiro lugar, na p´agina 277, tendo observado que na progress˜ao geom´etrica de termo geral 1/ 2 n^ tem-se Sn+1 mais pr´oximo de 2 do que Sn , ele concluir que Sn converge para 2. Ora, com o mesmo argumento concluir´ıamos que Sn converge para 3 (ou 4, ou qualquer n´umero maior do que 2). Em segundo lugar, afirma que se |q| < 1 ent˜ao qn^ tende a zero quando n → ∞ mas n˜ao d´a uma s´o palavra para justificar essa afirma¸c˜ao. Em seguida, para calcular a “soma” dos termos da progress˜ao geom´etrica acima citada escreve uma igualdade absurda. Finalmente, p˜oe S = a 1 /(1 − q) como defini¸c˜ao. Ageratriz de uma d´ızima peri´odica (simples ou composta) ´e apropriadamente identificada como soma dos termos de uma progress˜ao geom´etrica. Alguns exerc´ıcios, como 165, 168 e 169 s˜ao artificiais e sem muito sentido. O mesmo se pode dizer sobre alguns exemplos, como o da p´agina 260. N˜ao ´e real´ıstico que uma f´abrica aumente sua produ¸c˜ao em 20% durante 5 anos seguidos.
Dante
Matem´atica, Contexto e
Aplica¸c˜oes – volume 2
Cap´ıtulo 1. A Trigonometria no triˆangulo retˆangulo
Os sete primeiros cap´ıtulos do livro, num total de 159 p´aginas, s˜ao dedicados ao estudo da Trigonometria. Essa prolixidade, t˜ao comum aos autores brasileiros, ´e conseq¨uˆencia de ˆenfases mal colocadas e ´e a causa principal da desnecess´aria difi- culdade que muitos alunos (e mesmo professores) sentem em rela¸c˜ao ao assunto. Este cap´ıtulo inicial, que trata das fun¸c˜oes trigonom´etricas dos ˆangulos agu- dos, tem o grande m´erito de apresentar um n´umero substancial de problemas atraentes, o que sem d´uvida contribui para despertar a aten¸c˜ao dos alunos pela mat´eria. Cabem, entretanto, algumas observa¸c˜oes. Em primeiro lugar, n˜ao parece haver ganho algum em estudar seno, cosseno e tangente apenas nos triˆangulos retˆangulos. O cap´ıtulo inicial seria ainda bas- tante simples se tratasse de triˆangulos quaisquer, mas ganharia interesse porque permitiria expor as leis dos senos e dos cossenos, as quais, por sua vez, con- duziriam `a resolu¸c˜ao de triˆangulos. Tudo isso sem sair do contexto de fun¸c˜oes trigonom´etricas de ˆangulos. Expliquemos. Uma coisa que o livro n˜ao deixa claro (e seus congˆeneres nacionais tampouco) ´e que, quando se estuda a trigonometria do triˆangulo, as fun¸c˜oes seno e cosseno tˆem como dom´ınio o conjunto A de todos os ˆangulos do plano, menores do que ou iguais a dois ˆangulos retos. Essas fun¸c˜oes sen : A → R e cos : A → R s˜ao inde- pendentes da forma como se medem os ˆangulos. Logo dispensam a considera¸c˜ao de arcos de c´ırculo, radianos, etc., temas que requerem alguns cuidados, como veremos ao analisar os cap´ıtulos seguintes, onde sen x e cos x s˜ao consideradas como fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real. O livro n˜ao d´a o devido destaque ao papel da semelhan¸ca de triˆangulos como base da Trigonometria. Em particular, n˜ao esclarece o significado das tabelas trigonom´etricas. Dentro do princ´ıpio de que sempre ´e aconselh´avel fazer conex˜oes com temas j´a estudados antes, deveria ser lembrado que a igualdade sen 30◦^ = 1/2 equivale ao
282
Dante – volume 2 283
seguinte teorema: num triˆangulo retˆangulo, quando um ˆangulo agudo ´e o dobro do outro, a hipotenusa ´e o dobro do menor cateto.
Cap´ıtulo 2. O ciclo trigonom´etrico
Este cap´ıtulo tem por finalidade definir o radiano e introduzir a no¸c˜ao de arcos que medem um n´umero real qualquer de graus ou radianos. O autor n˜ao ´e bem sucedido em seu objetivo, deixando v´arios pontos obscuros.
Logo de in´ıcio, um arco ´e definido como “uma parte da circunferˆencia deter- minada por dois de seus pontos”. Al´em de ser uma frase vaga, pois n˜ao diz de que modo tal parte ´e determinada, esta tentativa de defini¸c˜ao impede que haja arcos de mais de 360◦, como ocorrer˜ao logo a seguir.
Um arco de 1 radiano ´e definido como aquele que tem comprimento igual ao raio da circunferˆencia, mas n˜ao ´e dita uma palavra sequer sobre o significado do comprimento de um arco.
Pior do que isso: a importante propriedade de que dois arcos com a mesma medida em radianos (ainda que contidos em circunferˆencias diferentes) subtendem ˆangulos centrais congruentes nunca ´e mencionada, embora seja usada a todo momento, explicita ou implicitamente como por exemplo, ao transformar radianos em graus e vice-versa. Logo a seguir (p´agina 35) lˆe-se: “o ˆangulo central α da figura mede 2 rad”.
Esta propriedade resulta da semelhan¸ca entre as circunferˆencias, mas a seme- lhan¸ca entre figuras planas ´e quase sempre passada ao largo, embora seja um conceito essencial em toda essa ordem de id´eias.
De repente, na p´agina 38, sem nenhum aviso pr´evio, ocorre a frase: “Na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira e mais π/3 ”. A t´e este momento, nada havia sido dito sobre ponto algum se deslocando.
Amaneira correta de se tratar este assunto ´e introduzir a fun¸c˜ao E : R → C (fun¸c˜ao de Euler), com valores na circunferˆencia unit´aria C = {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 = 1}. Intuitivamente, E pode ser visualizada imaginando-se C como um carretel onde se enrola a reta R. Se E(t) = (x, y) ent˜ao x = cos t, u = sen t e t ´e uma das poss´ıveis determina¸c˜oes em radianos do arco que liga o ponto (1,0) ao ponto (x, y). Isto est´a explicado convenientemente em “A Matem´atica do Ensino M´edio”, vol. 1, livro citado na bibliografia.
“Ciclo trigonom´etrico” ´e mais uma terminologia exclusiva dos autores brasi- leiros de livros para o Ensino M´edio.
Dante – volume 2 285
gr´aficos apresentados sem nenhuma explica¸c˜ao. Perdeu-se assim a ´unica ocasi˜ao em que essas fun¸c˜oes teriam alguma serventia. Inclusive para mencionar que as verticais que aparecem pontilhadas no gr´afico chamam-se ass´ıntotas. O segundo gr´afico na p´agina 82 est´a mal feito. Exemplos como o no¯ 6 deveriam ser mais explorados, inclusive sob o ponto de vista de transla¸c˜ao, dilata¸c˜ao e compress˜ao dos gr´aficos, principalmente os de combina¸c˜oes de fun¸c˜oes como sen x e cos x. Os exerc´ıcios 7 e 8 na p´agina 83 est˜ao mal resolvidos. Se f (x) tem per´ıodo p ent˜ao f (x + a) tamb´em tem per´ıodo p e f (bx) tem per´ıodo p/b. Esta observa¸c˜ao resolve tudo. Apesar de tantas ilustra¸c˜oes, elas faltaram na hora necess´aria. Para expli- car arc sen x, arc cos x e arc tg x seria esclarecedor e imprescind´ıvel mostrar os gr´aficos de sen x, cos x e tg x nos intervalos adequados. Aqui, o conceito de restri¸c˜ao de uma fun¸c˜ao (t˜ao simples e nunca usado) viria a calhar: sen x n˜ao ´e bijetiva mas sua restri¸c˜ao ao intervalo [−π/ 2 , π/2] ´e. Afun¸c˜ao arc sen x ´e a inversa dessa restri¸c˜ao. As defini¸c˜oes da p´agina 86 deviam ser completamente reescritas. Est˜ao muito confusas. O ´ultimo desenho daquela p´agina ´e bom mas n˜ao foi convenientemente explicado nem explorado. Aleitura, no final do cap´ıtulo, ´e t˜ao confusa quanto o texto que a precede, com o agravante de que n˜ao cai no vestibular. Pode ser dispensada.
Cap´ıtulo 5. Rela¸c˜oes trigonom´etricas
Este cap´ıtulo, de natureza inteiramente manipulativa, ´e t´ıpico da Matem´atica que se ensinava nas escolas brasileiras h´a 60 anos ou mais. S´o que mais comprido e menos organizado. Neste ponto talvez caiba uma observa¸c˜ao que certamente repetiremos no final da an´alise do livro: d´a impress˜ao de que este segundo volume n˜ao foi escrito pelo mesmo autor do primeiro. Onde est˜ao as contextualiza¸c˜oes, as aplica¸c˜oes, a concis˜ao e a objetividade? E quase certo que a estrutura¸´ c˜ao e o conte´udo deste livro s˜ao em grande parte determinados pelo exame vestibular. A profus˜ao de problemas precedidos de siglas o comprovam. E a qualidade daqueles problemas ´e consonante com a exposi¸c˜ao contida aqui. Deveria por´em ser observado que n˜ao ´e necess´ario descer `aquele n´ıvel para habilitar o aluno a resolver tais tipos de problemas. Pelo contr´ario, uma apresen- ta¸c˜ao concisa, inteligente, escrita com esp´ırito cr´ıtico e contendo recomenda¸c˜oes esclarecedoras traria melhores resultados. Aceitando o cap´ıtulo como est´a, seguem-se algumas observa¸c˜oes pontuais. Adefini¸c˜ao de fun¸c˜oes idˆenticas na p´agina 95, ´e inadequada. Em Matem´atica, “idˆentica” ´e uma maneira enf´atica de dizer “igual”. Duas fun¸c˜oes iguais devem
286 EXAME DE TEXTOS
ter o mesmo dom´ınio, o mesmo contradom´ınio e os mesmos valores. Adefini¸c˜ao dada significa que as restri¸c˜oes de f e g a D 1 ∩ D 2 s˜ao iguais. O cap´ıtulo n˜ao cont´em problemas em cuja solu¸c˜ao seja usada uma equa¸c˜ao trigonom´etrica. Nenhuma das equa¸c˜oes propostas requer uma discuss˜ao como, por exemplo, sen x = 1 + sen^2 x. N˜ao explora gr´aficos. Asimples equa¸c˜ao sen x = cos x seria uma bela opor- tunidade para isso. Em suma: mesmo admitindo um tratamento manipulativo (e principalmente por isso), ´e preciso dar ao leitor oportunidade de usar sua imagina¸c˜ao, provocando alternativas, discuss˜oes, propondo problemas com m´ultiplas respostas, chamando a aten¸c˜ao para erros comuns que podem ser evitados, etc. Nada disso foi feito.
Cap´ıtulo 6. Transforma¸c˜oes trigonom´etricas
Este cap´ıtulo tem como tema principal as f´ormulas de adi¸c˜ao sen(a+b) e cos(a+b), que s˜ao obtidas corretamente. Os exerc´ıcios s˜ao todos de aplica¸c˜ao direta das f´ormulas. Nenhum deles cont´em aplica¸c˜oes das mesmas a problemas fora da Trigonometria. Uma se¸c˜ao, intitulada “F´ormulas de Fatora¸c˜ao”, paga tributo a uma tradi¸c˜ao, h´a muito ultrapassada, de transformar somas como sen x + sen y em produtos, a fim de torn´a-las calcul´aveis por logaritmos. Este objetivo j´a n˜ao faz sentido hoje em dia mas as f´ormulas ainda tˆem interesse, desde que sejam lidas da direita para a esquerda. Noutras palavras, o importante ´e o contr´ario: transformar sen x·sen y numa soma, a fim de integrar. Esta (´e claro) n˜ao ´e a atitude do livro. Outro aspecto interessante das f´ormulas de adi¸c˜ao ´e seu uso para representar sen x e cos x como fun¸c˜oes racionais de tg(x/2). Isto ´e feito, sem maiores co- ment´arios, num exemplo. Seria educativo mostrar como essas simples express˜oes servem para dar uma parametriza¸c˜ao racional da circunferˆencia unit´aria. E incr´´ ıvel como s˜ao ausentes neste livro acenos a coisas belas da Matem´atica, sem falar nos desafios a inteligˆencia ea criatividade. O estudante tem mesmo raz˜ao de achar esse estudo sem gra¸ca e cansativo.
Cap´ıtulo 7. Resolu¸c˜ao de triˆangulos quaisquer
Como j´a observamos antes, o material deste cap´ıtulo usa apenas seno, cosseno e tangente de ˆangulos (n˜ao de n´umeros reais) e n˜ao depende de desenvolvimentos posteriores, logo deveria fazer parte do Cap´ıtulo 1 do livro. Outra observa¸c˜ao de car´ater metodol´ogico ´e a seguinte: ficou faltando uma discuss˜ao do problema
