Baixe Exercícios de Álgebra Linear: Matrizes Inversas, Determinantes e Singularidade e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
2 o^ Teste de Algebra Linear Semipresencial - 1´ oSem/
Quest˜ao 1. Indique dentre as alternativas abaixo qual ´e a matriz inversa da matriz
A =
a) A−^1 =
b) A−^1 =
c) A−^1 =
d) A−^1 =
Solu¸c˜ao:
temos:
1 2 L^1 →^ L^1
L 2 − L 1 → L 2
L 3 − 3 L 1 → L 3
2 L^2 →^ L^2
L 3 − 2 L 2 → L 3
(−1)L 3 → L 3
L 1 − 12 L 3 → L 1
L 2 − 14 L 3 → L 2
(^) logo A−^1 =
Alternativa a.
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Quest˜ao 2. A matriz A =
a a − 1 1 a + 1 − 1 0 1 2 − 1
(^) ´e invers´ıvel se, e somente se:
a) a 6 = 1 e a 6 = 2
b) a 6 = −1 e a 6 = − 2
c) a 6 = −1 e a 6 = 2
d) a = −1 e a = 2
Solu¸c˜ao
A ´e invers´ıvel se, e somente se, det A 6 = 0. Vamos calcular o determinante de A em fun¸c˜ao de a temos:
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 1 / 2 0 1 1 / 4 0 0 1
= a + 2(a + 1) − (− 1 − (a + 1)(a − 1)) = a^2 + 3a + 2
Assim det A 6 = 0 ⇔ a^2 + 3a + 2 6 = 0 ⇔ a 6 =
⇔ a 6 = − 1 e a 6 = −2. Alternativa b.
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Quest˜ao 4. Avalie as asser¸c˜oes a seguir e a rela¸c˜ao proposta entre elas.
I) A matriz A =
x y z x − 5 y − 5 z − 5
(^) ´e singular quaisquer que sejam os n´umeros reais x, y
e z
PORQUE
II) O determinante de A ´e nulo
A respeito dessas asser¸c˜oes, assinale a op¸c˜ao analisada corretamente.
a) a) As asser¸c˜oes I e II s˜ao proposi¸c˜oes verdadeiras, e a II ´e uma justificativa correta da I.
b) b) As asser¸c˜oes I e II s˜ao proposi¸c˜oes verdadeiras, mas a II n˜ao ´e uma justificativa correta da I.
c) c) A asser¸c˜ao I ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira, e a II ´e uma proposi¸c˜ao falsa.
d) d) A asser¸c˜ao I ´e uma proposi¸c˜ao falsa, e a II ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira.
Solu¸c˜ao:
Observe que
det A =
x y z x − 5 y − 5 z − 5
x y x − 5 y − 5
= y(z − 5) + z(x − 5) + x(y − 5) − [y(x − 5) + z(y − 5) + x(z − 5)] = yz − 5 y + zx − 5 z + xy − 5 x − yx + 5y − zy + 5z − xz + 5x = 0
Como det A = 0 para qualquer x, y e z ent˜ao A sempre ´e singular. Alternativa a.
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Quest˜ao 5. Considere a matriz A =
, em que A−^1 ´e sua inversa. O tra¸co da
matriz A−^1 denotado por trA−^1 , ´e indicado por :
a) 1
b) 9/
c) -24/
d) 6/
Solu¸c˜ao:
Primeiro vamos obter a inversa de A. temos:
L 3 − 3 L 1 → L 3
− 1 3 L^2 →^ L^2
L 3 + 7L 2 → L 3
11
L 3 → L 3
L 1 + L 3 → L 1
L 2 + 23 L 3 → L 2
L 1 − 2 L 2 → L 1
logo A−^1 =
Portanto trA−^1 =
. Alternativa d.
