7
o
ano
Componente curricular: MATEMÁTICA
MANUAL DO PROFESSOR
Ênio Silveira
7o
ano
ISBN 978-85-16-09992-3
9 78 8 5 1 6 0 9 9 9 2 3
MATEMÁTICA ENIO 7 (LP) - Miolo 288 páginas (PREVISÃO) - Lombada 15 mm
CAPA_ENIO_7_LP.indd 2-4 5/26/15 3:32 PM
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Matematica - Compreensão e Pratica 7 Ano, Notas de estudo de Pedagogia
Matematica 7 ano
Tipologia: Notas de estudo
2018
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o
ano
MANUAL DO PROFESSOR^ Componente curricular: MATEMÁTICA
Ênio Silveira
3
a edição
São Paulo, 2015
Componente curricular: MateMátiCa
MANUAL DO PROFESSOR
Ênio Silveira
Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará.
Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza.
Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.
Coordenação editorial: Mara Regina Garcia Gay Edição de texto: Luana Fernandes de Souza, Dario Martins de Oliveira, Izabel Batista Bueno, Maria Aiko Nishijima, Mateus Coqueiro Daniel de Souza, Zuleide Maria Vilela da Motta Talarico Assistência editorial: Marcos Gasparetto de Oliveira, Roberto Paulo de Jesus Silva Preparação de texto: Denise Ceron Gerência de design e produção gráfica: Sandra Botelho de Carvalho Homma Coordenação de design e produção gráfica: Everson de Paula Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues (coord.) Coordenação de design e projeto gráfico: Marta Cerqueira Leite Projeto gráfico: Aurélio Camilo, Daniel Messias Capa: Daniel Messias Foto: Paisagem 360°, Battery Park Night, New York City, NY, 2012. © Randy Scott Slavin Coordenação de arte: Patricia Costa, Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Editoração eletrônica: Grapho Editoração Edição de infografia: William Taciro, Mauro César Brosso, Alexandre Santana de Paula Ilustrações de vinhetas: Daniel Messias Coordenação de revisão: Adriana Bairrada Revisão: Cecília Setsuko Oku, Fernanda Marcelino, Leandra Trindade, Rita de Cássia Sam, Thiago Dias, Vânia Cobiaco Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográfica: Carol Böck, Maria Mendonça Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Bureau São Paulo, Fabio N. Precendo, Marina M. Buzzinaro, Resolução Arte e Imagem Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira,Hélio P. de Souza, Marcio H. Kamoto, Rubens M. Rodrigues, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Viviane Pavani Impressão e acabamento:
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303- Vendas e Atendimento: Tel. (0_ 11) 2602- Fax (0 _11) 2790- www.moderna.com.br 2015 Impresso no Brasil
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática / Ênio Silveira. — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 2015.
Obra em 4 v. para alunos do 6 o^ ao 9o^ ano. Bibliografia.
- Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
15-02026 CDD-372. Índices para catálogo sistemático:
- Matemática : Ensino fundamental 372.
ApresentAção
Caro aluno, Ideias, por mais brilhantes e elaboradas que sejam, só adquirem um sentido maior quando encontram aplicação no dia a dia. A Matemática jamais deve ser vista como problema, mas sim como solução. Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuosos ou inacessíveis, abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando obstáculos cotidianos ou científicos. Com as situações apresentadas neste livro, você adquirirá conhecimentos que o ajudarão no desenvolvimento da sua formação escolar, pessoal e profissional. Em cada página estudada, tarefa resolvida ou atividade solucionada, você perceberá que a Matemática é uma ferramenta poderosa que pode te ajudar a resolver muitos problemas.
O autor
Aos meus pais, Isaías, Maria Amélia ( in memoriam ) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Lendo e aprendendo Texto que explica e enriquece o conteúdo principal.
aTIVIdadeS Após cada conteúdo estudado, propomos atividades com nível de dificuldade crescente. Algumas delas abordam o cálculo mental e o trabalho com a calculadora. Outras propõem a discussão e a resolução em duplas.
TrabaLhando oS conhecImenToS adquIrIdoS Atividades que, no final de cada capítulo, abordam todo o conteúdo apresentado. A seção é dividida em duas partes:
- Revisitando — composta de atividades de revisão e autoavaliação;
- Aplicando — explora o conteúdo por meio de atividades com diferentes níveis de dificuldade, incluindo atividades “Desafio” e algumas do enem.
reSoLVendo em equIpe Em alguns capítulos, há uma proposta de atividade para incentivar a participação coletiva dos alunos na resolução de situações-problema.
cálculo mental
trabalho com a calculadora
duplas
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
SUMÁRIO
1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO nilson cardoso G. EvanGElista/opção Brasil imaGEns
- Números inteiros
- Números inteiros
- Reta numérica..........................................................................................
- Módulo de um número inteiro
- Números opostos ou simétricos.........................................................
- Comparação de números inteiros
- Adição de números inteiros..................................................................
- Subtração de números inteiros
- Multiplicação de números inteiros
- Divisão exata de números inteiros
- Potenciação em que a base é um número inteiro
- Raiz quadrada exata de números inteiros
- Expressões numéricas
- Trabalhando os conhecimentos adquiridos
- Números racionais
- Números racionais
- Representação dos números racionais na reta numérica
- Módulo de um número racional
- Oposto de um número racional
- Comparação de números racionais
- Adição e subtração de números racionais
- Multiplicação de números racionais
- Divisão de números racionais
- Potenciação de números racionais.....................................................
- Raiz quadrada de números racionais
- Expressões numéricas
- Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Probabilidade e Estatística 162
1. O que é probabilidade? ........................................................................ 165 2. Cálculo de probabilidades ................................................................... 166 3. Estatística ............................................................................................... 168 4. Média aritmética simples, média aritmética ponderada, mediana e moda .................................................................................... 170 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 176
Razão 146
1. Razão ....................................................................................................... 149 2. Razão entre grandezas de mesma natureza ................................. 152 3. Razão entre grandezas de naturezas diferentes ......................... 156 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 158
Ângulos 118
1. O ângulo e seus elementos ................................................................ 121 2. Medida de ângulo.................................................................................. 123 3. Transformação de unidades .............................................................. 130 4. Operações com medidas de ângulos ............................................... 131 5. Ângulos congruentes .......................................................................... 134 6. Ângulos adjacentes .............................................................................. 136 7. Bissetriz de um ângulo ........................................................................ 138 8. Ângulos complementares .................................................................. 140 9. Ângulos suplementares ....................................................................... 10. Ângulos opostos pelo vértice ............................................................. Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 144
8
CAPÍTULO
7
CAPÍTULO
6
CAPÍTULO
Ben Wood/CorBis/
LatinstoCk
dMitrY kaLinoVskY/shutterstoCk
Bruno Veiga/tYBa
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Proporção 180
1. Proporção................................................................................................ 183 2. Propriedade fundamental das proporções .................................... 185 3. Sequências de números diretamente proporcionais .................. 188 4. Sequências de números inversamente proporcionais................ 191 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 194
Grandezas e regra de três 196
1. Grandezas proporcionais .................................................................... 199 2. Regra de três simples........................................................................... 202 3. Regra de três composta ..................................................................... 204 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 207
Porcentagem e juro simples 210
1. Porcentagem.......................................................................................... 213 2. Cálculo de acréscimos e descontos .................................................. 218 3. Juro simples ............................................................................................ 220 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 224
Respostas................................................................................................. 228
Sugestões de leitura......................................................................... 237
Bibliografia .............................................................................................. 238
Lista de siglas......................................................................................... 240
9
CAPÍTULO
10
CAPÍTULO
11
CAPÍTULO
Rade Kovac/ShutteRStocK
GeRSon GeRloff/PulSaR ImaGenS
Palê ZuPPanI/PulSaR ImaGenS
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
é hora de observar e discutir
O que você entende pela expressão "nível do mar"? O monte Everest, situado entre o Nepal e o Tibete, a 8 848 metros aci ma do nível do mar, é o ponto mais alto do mundo. O ponto mais pro fundo do mundo, como vimos nesta abertura, é o da Fossa das Marianas, a 10 920 metros abaixo do nível do mar. Pense em como você poderia repre sentar essas duas medidas.
nilson cardoso
neste capítulo, vamos trabalhar com os números inteiros. Espera-se que os alunos aprendam as principais operações envolvendo números inteiros e apliquem-nas na resolução de problemas. comente com eles que os números naturais correspondem aos números inteiros positivos com o zero. aproveite o infográfico desta abertura para mostrar o uso dos números inteiros negativos na representação das medidas abaixo do nível do mar.
resposta pessoal. Espera-se que os
Espera-se que os alunos entendam como sendo o marco zero para a determinação de uma altitude.
alunos criem sinais diferentes para ambas as medidas: 1 8 848 m e 2 10 920 m
Faça as atividades no caderno. trocaNdo ideias
Neve encobre acesso a casa em São José dos Ausentes (RS), 2013.
Natal (RN) 30 °C São José dos Ausentes (RS) 2 3 °C
HAns Von MAnTEuffEl/opção BrAsil iMAgEns
Rio de Janeiro (RJ) 23 °C
AlEssAndro ViAnA/TyBA
gErson gErloff/pulsAr iMAgEns
No Brasil, a unidade de temperatura que usamos é o grau Celsius (°C). Observe, a seguir, a temperatura registrada em três municípios brasileiros, em datas diferentes.
Em qual dos três municípios foi registrada a temperatura mais alta? Verificando a temperatura registrada em São José dos Ausentes (RS), o que indica que essa temperatura estava abaixo de zero grau?
Os números naturais não são suficientes para representar algumas situações. No caso de temperaturas, altitudes e saldos bancários, muitas vezes precisamos utilizar números menores que zero, chamados números negativos. Esses números negativos reunidos com os números naturais, que você já conhece, for- mam o conjunto dos números inteiros, que estudaremos neste capítulo.
Forte dos Reis Magos, em Natal (RN), 2006. Pão de Açúcar, no Rio de Janeiro (RJ), 2013.
Em natal: 30 °c, ou seja, trinta graus celsius.
A temperatura de são José dos Ausentes (rs) é representada por um número negativo ( 2 3 °c).
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
709 m
100 m
nível do mar
Em transações bancárias Observe ao lado a reprodução de um extrato ban- cário.
Os valores negativos nos extratos bancários cor- respondem aos débitos e são representados com o sinal de menos à direita. Nesse exemplo, os débitos no extrato são: transferência de dinheiro (TRANSF) para outra conta, pagamento (PAGTO) de uma con- ta, uso do cartão (GASTO C DÉBITO), cheques (CHQ) compensados e saques.
Esses valores são subtraídos do saldo da conta bancária, fazendo-o diminuir. Observe que, no dia
15, o saldo é R$ 1 661,00 e, no dia 25, é R$ 115,00.
É comum escutarmos a expressão “saldo negativo”. Isso ocorre quando debitamos da conta um valor maior do que o saldo existente, ou seja, um valor maior do que dispomos na conta.
Veja três situações em que os números negativos são utilizados.
Para representar altitudes Associa-se o nível do mar à altitude zero. Acima do nível do mar, a altitude é positiva; abaixo do nível do mar, a alti- tude é negativa.
O Cristo Redentor (RJ) é um monumento situado no topo do Morro do Corcovado, a 709 metros acima do nível do mar. Sua altitude pode ser indicada por 1 709 m (lemos: “mais setecentos e nove metros”).
O poço pioneiro de extração de petróleo da Bacia de Campos (RJ) foi o de Garoupa, a 100 me- tros abaixo do nível do mar. Sua altitude pode ser indicada por 2 100 m.
Extrato bancário é um relatório que contém informações sobre a movimentação e o saldo de uma conta bancária.
Saldo de gols Observe, no quadro abaixo, a classificação de quatro times na 31 a^ rodada do Campeonato Brasi leiro de Futebol da série A em 2014:
Os números negativos 2 1 e 2 3 que aparecem nos saldos de gols do Goiás e do Atlético-PR representam a diferença entre o número de gols pró e o número de gols contra de cada um des- ses times. Nestes casos, o saldo de gols é negativo porque o número de gols pró é menor que o número de gols contra.
Classificação Clube Gols pró (^) contraGols Saldo degols
1 o^ Cruzeiro 54 32 22 2 o^ São Paulo 50 35 15 9 o^ Goiás 30 31 21 10 o^ Atlético-PR (^35 38 23) AlExAndrE scHnEidEr/gETTy iMAgEs
gEorgE TuTuMi
gEorgE TuTuMi
Alguns termos utilizados nos extratos bancários:
- Saque: retirada de determinada importância do banco.
- Débito: quando se retira uma importância do banco, lança-se um débito na conta.
- Crédito: quando se deposita uma importância no banco, lança-se um crédito na conta.
- Saldo: diferença entre o total de créditos e o total de débitos lançados em uma conta.
Explique aos alunos que o saldo negativo ocorre quando sacamos dinheiro do limite de crédito que o banco nos proporciona e que pagamos taxas sobre esse valor.
AtividAdes Faça as atividades no caderno.
A origem dos números negativos A noção de número negativo levou muito tempo para se estabelecer na história da Matemática. Passaram mais de 1 000 anos entre a aparição dos números negativos e sua utilização. Na Antiguidade, os hindus já discutiam a existência dos números negativos. Eles cria- ram um tipo de símbolo para representar dívidas, o qual, posteriormente, chamaríamos de negativo. O primeiro registro explícito de números negativos foi feito em 628 d.C. pelo matemático hindu Brahmagupta (598-670). Em 1489, Johann Widman (1460-1498) publicou uma aritméti- ca comercial Rechenuing auff allen Kauffmancchafft , o mais anti- go livro em que os sinais 1 e 2 foram registrados. Em 1544, Michael Stifel (1 487-1 567) publicou Arithmetica integra , a mais importante obra alemã sobre álgebra do século XVI, cujo aspecto mais relevante é o tratamento dos números negati- vos, dos radicais e da potência. Stifel chamava os números nega- tivos de “números absurdos”. Dados obtidos em: BOYER, Karl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 160, 206.
UM POUCO DE HISTÓRIA
1 Escreva, no caderno, por extenso, cada um
dos números.
a) 17 b) 14 c) 212 d) 2100
2 Escreva com algarismos o número que re-
presenta:
a) mais quinze; c) quarenta negativo;
b) menos trinta; d) cinquenta positivo.
3 Observe os seguintes números: 1 7, 2 3,
1 4, 1 18, 1 76, 2 9, 0, 1 25 e 2 36. Agora,
responda:
a) Quais deles são positivos?
b) Quais deles são negativos?
c) O número zero é positivo ou negativo?
4 Represente, com números inteiros, cada
uma das situações a seguir.
a) Débito de R $ 3 000,00.
b) Lucro de R $ 1 200,00.
c) Elevação de 2 300 m.
d) Depressão de 500 m.
5 Letícia pegou o elevador no 3o^ subsolo e
subiu até o 10 o^ andar. Quantos andares
ela percorreu?
argentina: Wavebreakmedia/ShutterStock;
equador: atlaSpix/ShutterStock; colÔmbia: paul Stringer/ShutterStock; uruguai e chile: globe turner/ShutterStock^ Dados obtidos em: <pt.fifa.com>. Acesso em: 8 ago. 2013.
6 Observe o quadro abaixo, com a classifi-
cação de cinco seleções até a 14a^ rodada
das eliminatórias da América do Sul para
a Copa do Mundo da Fifa Brasil 2014, e
expresse o saldo de gols (diferença entre
os gols feitos e os gols sofridos), em nú-
meros inteiros, de cada seleção.
Classificação Gols pró Gols contra 1 o^ Argentina 25 9 2 o^ Colômbia 21 7 3 o^ Equador 17 12 4 o^ Chile 21 21 5 o^ Uruguai 18 21
george tutumi
diogo Saito
mais sete mais quatro menos doze menos cem
230 150
115 240
não é positivo nem negativo.
2 3, 2 9, 236
7, 4, 18, 76, 25
2 500 m
1 2 300 m
1 r$ 1 200,
2 r$ 3 000,
13 andares
16
5
14
23
0
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
AtividAdes Faça as atividades no caderno.
–5 –4 –3 –2 –1 0 r
J I H G F O
Faça as atividades no caderno.
–6 –5 –4 –3 –2–1 0 +1 +2 +3 +4+5 +6^ r
A B C D E
+4 +5 r
sentido negativo sentido positivo
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +
J I H G F O A B C D E
+4 +5 r
sentido negativo sentido positivo
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +
J I H G F O A B C D E
Dessa forma, estabelecemos uma correspon- dência entre os números inteiros e os pontos marcados na reta.
Podemos reunir em uma só reta numérica os números inteiros positivos e os negativos.
Observações
1 A reta numérica não precisa ser representada na posição horizontal. 2 Os números positivos podem ser escritos sem o sinal 1. Por exemplo: 15 5 5
Cada número inteiro está associado a um único ponto da reta, mas nem todo ponto da reta está associado a um número inteiro.
a) Que número corresponde ao ponto B?
b) Qual é o ponto correspondente ao nú-
mero 2 4?
c) Qual é o ponto correspondente ao nú-
mero 1 5?
d) Qual é o ponto que corresponde a 1 2?
e) O ponto E corresponde a que número?
Neve em Cambará do Sul (RS), 2011.
Vinícius costa/Futura Press
1 Observe a reta numérica e responda às
questões.
2 Desenhe uma reta para representar nú-
meros inteiros e, depois, localize nela os
pontos:
a) A , que corresponde a 2 3;
b) C , que corresponde a 2 5;
c) B , que corresponde a 1 5;
d) D , que corresponde a 0.
3 Trace uma reta numérica e represente ne-
la os números inteiros maiores ou iguais
a 2 2 e menores que 5.
4 Um ponto é deslocado, a partir do zero,
seis unidades sobre uma reta numérica
no sentido positivo e, em seguida, 10 uni-
dades no sentido negativo. Determine o
número inteiro correspondente ao ponto
após esse percurso.
5 Em um dia de muito frio em Cambará do
Sul (RS), a temperatura esteve em 2 1 °C.
À noite, ela chegou a 2 6 °C. Do dia pa-
ra a noite, a temperatura diminuiu quan-
tos graus?
george tutumi
Observe:
guilherme casagrandi
guilherme casagrandi
26
C A D B 25 24 23 22 21 0111213141516 r
22 21 0 11 12 13 14 r
5 °c
24
ponto A
ponto D (^) ponto C
16
21
guilherme casagrandi
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
+4 r
4 unidades
–3 –2 –1 0 +1 +2 +
A O
–7 –6 –5 –4 +5 +6 +
+4 r
6 unidades
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +5 +6 +
O B
Leonardo de Pisa (1175–1250) Leonardo de Pisa, matemático italiano mais conhecido como Fibonacci, introduziu e generalizou o uso da notação árabe no continente europeu. É autor do livro Liber abaci ( Livro do ábaco ), de 1202, um clássico da Matemática, em que trata de números, proble- mas algébricos, algarismos árabes e também do que viria a ser o início da contabilidade. Entre os problemas propostos está o que deu origem à famosa sequência de Fibonacci, uma sucessão de termos numéricos que segue um padrão. Os números de Fibonacci formam uma sequência em que cada número, a partir do ter- ceiro, é a soma dos dois anteriores. Assim: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
UM POUCO DE HISTÓRIAUM POUCO DE HISTÓRIAUM POUCO DE HISTÓRIA
Constantinopla é saqueada pelos cruzados
Fibonacci escreve o primeiro tratado de Álgebra do Ocidente
Fibonacci escreve o Livro do ábaco
A Carta Magna é assinada pelo rei João, da Inglaterra
1204
1202
1228
1215
Módulo de um número inteiro
A distância de um ponto na reta numérica até a origem O é chamada de módulo ou valor abso luto do número associado a esse ponto. Representamos o módulo de um número colo- cando-o entre duas barras verticais: | |.
3
Exemplos
- A distância do ponto A à origem O é 4 unidades.
O módulo de 2 4 é 4. Indicamos: | 2 4| 5 4
O módulo de 1 6 é 6. Indicamos: | 1 6| 5 6
- A distância do ponto B à origem O é 6 unidades.
diogo sAiTo
ToMA
guilHErME cAsAgrAndi
ToMA
ToMA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.