8
o
ano
Componente curricular: MATEMÁTICA
MANUAL DO PROFESSOR
Ênio Silveira
8o
ano
ISBN 978-85-16-09994-7
9 78 8 5 1 6 0 9 9 9 4 7
MATEMÁTICA ENIO 8 (LP) - Miolo 352 páginas (PREVISÃO) - Lombada 18.5 mm
CAPA_ENIO_8_LP.indd 2-4 6/9/15 10:51 AM
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Matematica - Compreensao e Pratica 8 Ano, Manuais, Projetos, Pesquisas de Pedagogia
Compreensão e Pratica
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2018
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o
ano
MANUAL DO PROFESSOR^ Componente curricular: MATEMÁTICA
Ênio Silveira
MANUAL DO PROFESSOR
3 a^ edição
São Paulo, 2015
Componente curricular: MateMátiCa
Ênio Silveira
Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará.
Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza.
Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.
Coordenação editorial: Mara Regina Garcia Gay Edição de texto: Luana Fernandes de Souza, Maria Cecília da Silva Veridiano, Dario Martins de Oliveira, Maria Aiko Nishijima, Zuleide Maria Vilela da Motta Talarico Assistência editorial: Roberto Paulo de Jesus Silva Preparação de texto: Denise Ceron, Maria Aiko Nishijima Gerência de design e produção gráfica: Sandra Botelho de Carvalho Homma Coordenação de design e produção gráfica: Everson de Paula Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues (coord.) Coordenação de design e projeto gráfico: Marta Cerqueira Leite Projeto gráfico: Aurélio Camilo, Daniel Messias Capa: Daniel Messias Foto: Foto 360° de uma paisagem. Palmeiras em Wellington, Flórida, 2012. © Randy Scott Slavin Coordenação de arte: Patricia Costa, Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Carolina de Oliveira Editoração eletrônica: Grapho Editoração Edição de infografia: William Taciro, Alexandre Santana de Paula Ilustrações de vinhetas: Daniel Messias Coordenação de revisão: Adriana Bairrada Revisão: Cecília Setsuko Oku, Fernanda Marcelino, Rita de Cássia Sam, Thiago Dias Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográfica: Carol Böck, Maria Mendonça Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Arleth Rodrigues, Bureau São Paulo, Marina M. Buzzinaro, Resolução Arte e Imagem Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Fabio N. Precendo, Hélio P. de Souza, Marcio H. Kamoto, Rubens M. Rodrigues, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Viviane Pavani Impressão e acabamento:
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904^ Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho Vendas e Atendimento: Tel. (0_ 11) 2602-5510Fax (0 _11) 2790- www.moderna.com.br Impresso no Brasil^2015
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática / Ênio Silveira. — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 2015.
Obra em 4 v. para alunos do 6 o^ ao 9o^ ano. Bibliografia.
- Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
15-02026 CDD-372. Índices para catálogo sistemático:
- Matemática : Ensino fundamental 372.
ApresentAção
Caro aluno, Ideias, por mais brilhantes e elaboradas que sejam, só adquirem um sentido maior quando encontram aplicação no dia a dia. A Matemática jamais deve ser vista como problema, mas sim como solução. Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuosos ou inacessíveis, abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando obstáculos cotidianos ou científicos. Com as situações apresentadas neste livro, você adquirirá conhecimentos que o ajudarão no desenvolvimento da sua formação escolar, pessoal e profissional. Em cada página estudada, tarefa resolvida ou atividade solucionada, você perceberá que a Matemática é uma ferramenta poderosa que pode te ajudar a resolver muitos problemas.
O autor
Aos meus pais, Isaías, Maria Amélia ( in memoriam ) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Lendo e aPrendendo Texto que explica e enriquece o conteúdo principal.
atividades Após cada conteúdo estudado, propomos atividades com nível de dificuldade crescente. Algumas delas abordam o cálculo mental e o trabalho com a calculadora. Outras propõem a discussão e a resolução em duplas.
trabaLhando os ConheCimentos adquiridos Atividades que, no final de cada capítulo, abordam todo o conteúdo apresentado. A seção é dividida em duas partes:
- Revisitando — composta de atividades de revisão e autoavaliação;
- Aplicando — explora o conteúdo por meio de atividades com diferentes níveis de dificuldade, incluindo atividades “Desafio” e algumas do enem.
resoLvendo em equiPe Em alguns capítulos, há uma proposta de atividade para incentivar a participação coletiva dos alunos na resolução de situações-problema.
cálculo mental
trabalho com a calculadora
duplas
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
SUMÁRIO
Números reais 10
1. Números naturais, números inteiros e números racionais .......... 13 2. Números irracionais ............................................................................... 19 3. Números reais.......................................................................................... 23 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ......................................... 25
Potenciação e radiciação de números reais 26
1. Potenciação.............................................................................................. 29 2. Radiciação................................................................................................. 36 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ......................................... 40
Monômios e polinômios 42
1. Expressões algébricas ........................................................................... 45 2. Monômio ................................................................................................... 49 3. Adição e subtração de monômios ....................................................... 53 4. Multiplicação de monômios.................................................................. 54 5. Divisão de monômios............................................................................. 56 6. Potenciação de monômios ................................................................... 56 7. Polinômio .................................................................................................. 57 8. Adição de polinômios ............................................................................. 61 9. Subtração de polinômios ...................................................................... 62 10. Multiplicação de polinômios................................................................. 63 11. Divisão de polinômios ............................................................................ 66 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ......................................... 67
1
CAPÍTULO
2
CAPÍTULO
3
CAPÍTULO Monômios e polinômios
1. Expressões algébricas 2. Monômio 3. Adição e subtração de monômios 4. Multiplicação de monômios 5. Divisão de monômios 6. Potenciação de monômios 7. Polinômio 8. Adição de polinômios 9. Subtração de polinômios 10. Multiplicação de polinômios 11. Divisão de polinômios Trabalhando os conhecimentos adquiridos
3
Carl de Souza/aFP
SteFerSon Faria/BanCo de imagenS PetroBraS
adão iturruSgarai
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Estatística e probabilidade 184
1. Estatística ............................................................................................... 187 2. Gráficos de segmentos e de barras .................................................. 190 3. Gráfico de setores ................................................................................. 194 4. Cartograma e pictograma ................................................................... 196 5. Probabilidade ......................................................................................... 198 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 202
9
CAPÍTULO
Frações algébricas e equações fracionárias 142
1. Frações algébricas ................................................................................ 145 2. Simplificação de fração algébrica ...................................................... 3. Redução de frações algébricas ao mesmo denominador........... 148 4. Adição e subtração de frações algébricas....................................... 151 5. Multiplicação de frações algébricas ................................................. 152 6. Divisão de frações algébricas ............................................................ 153 7. Equações fracionárias ......................................................................... 154 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 157
7
CAPÍTULO
Sistemas de equações do 1o^ grau com duas incógnitas 160
1. Par ordenado.......................................................................................... 163 2. Equação do 1o^ grau com duas incógnitas ........................................ 167 3. Sistema de duas equações do 1o^ grau com duas incógnitas ...... 169 4. Resolução de sistemas de duas equações do 1o^ grau com duas incógnitas............................................................................. 169 5. Solução gráfica de um sistema de duas equações do 1o^ grau com duas incógnitas ......................................................... 175 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 179
8
CAPÍTULO
Marwan naaMani/aFP
Catherine ivill/Matthew ashton/ aMa sPorts Photo/Corbis/latinstoCk
reb iMages/blend iMages/getty iMages
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Triângulos 206
1. Triângulo ................................................................................................ 209 2. Classificação de triângulos .................................................................. 3. Cevianas notáveis ................................................................................. 214 4. Casos de congruência de triângulos ................................................. 5. Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo .......... 6. Propriedades dos triângulos isósceles ............................................ 224 7. Propriedades dos triângulos retângulos ........................................ 226 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 229
Quadriláteros 232
1. Quadriláteros .......................................................................................... 2. Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo ........................................................................... 238 3. Paralelogramos ..................................................................................... 239 4. Trapézios ................................................................................................. 246 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 250
Circunferência e círculo 252
1. Circunferência e círculo ........................................................................ 2. Posições de um ponto em relação a uma circunferência ............ 259 3. Posições de uma reta em relação a uma circunferência ............. 260 4. Posições relativas de duas circunferências .................................... 262 5. Segmentos tangentes........................................................................ 266 6. Arco de circunferência e ângulo central .......................................... 270 7. Ângulo inscrito........................................................................................ Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....................................... 277
Respostas................................................................................................. 282
Sugestões de leitura......................................................................... 293
Bibliografia .............................................................................................. 294
Lista de siglas......................................................................................... 296
10
CAPÍTULO
11
CAPÍTULO
12
CAPÍTULO
evariSto Sa/aFP
marC turCan/ShutterStoCk
BradFord Waugh deSign
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
é hora de observar e discutir
BMX ou Bicicross é um esporte praticado com bicicletas especiais de aro 20 ou 24 polegadas, uma competição entre ciclistas em pistas de terra com alguns obstáculos. Observe a tabela abaixo, que apresen- ta algumas medidas dos pneus dessas bicicletas.
Algumas medidas dos pneus de aro 20 e aro 24 Aro 20 Aro 24 Diâmetro externo do pneu 52 cm 64 cm Comprimento aproximado do pneu 163 cm 201 cm
Agora, responda às questões.
Como você faria para medir o comprimento de um pneu de bicicleta? Divida as medidas dos comprimentos dos pneus de aros 20 e 24 indicados na tabela acima, respectivamente, pelas medidas dos diâmetros externos de cada um dos pneus. Quais são os números en- contrados? Eles são aproximadamente iguais?
Atletas durante as quartas de final da Copa do Mundo de Supercross BMX, em Stratford, leste de Londres, em agosto de 2011.
espera-se que os alunos concluam que esses números são aproximadamente iguais.
aro 20: aproximadamente 3,1346;aro 24: 3,
Neste capítulo, faremos uma revisão dos números naturais, inteiros e racionais. em seguida, apresentaremos aos alunos os números irracionais, passando a trabalhar com o conjunto dos números reais.
resposta pessoal.
Faça as atividades no caderno. trocaNdo ideias
Observe os números indicados na ilustração abaixo.
GeorGe TuTumi
Azeitona
450 g R$ 9,
Café
500 g R$ 8,
Leite em pó
400 g R$ 10,
Batata
R$ 5,00 por 1 kg
Identifique:
- os números inteiros;
- os números racionais e não inteiros. Converse com um colega sobre diferentes situações do dia a dia em que vocês utili- zam números racionais na forma de fração e na forma decimal.
Neste capítulo, você vai conhecer os números irracionais. Antes, porém, vamos reto- mar alguns conceitos e algumas propriedades dos conjuntos de números já estudados e analisar as relações entre eles.
1; 5,00; 400, 450 e 500 2 3,5; 8,20, 9,75 e 10,
resposta pessoal. Solicite aos alunos que compartilhem essas situações com os demais colegas da classe.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
AtividAdes Faça as atividades no caderno.
1 Considere os números a seguir e responda:
a) Quais deles são números naturais?
b) Quais deles são números inteiros?
c) Todo número natural é um número
inteiro?
2 Analise as afirmações a seguir e copie, no
caderno, a(s) verdadeira(s).
a) Há sempre um número inteiro entre
dois números inteiros.
b) A diferença de dois números inteiros é
sempre um número inteiro.
c) Existe número natural que não é nú-
mero inteiro.
3 Escreva o que se pede:
a) os cinco menores números naturais
ímpares;
b) os números inteiros negativos maiores
que 2 5;
c) três números inteiros menores que 2 20;
d) os números naturais maiores que 2 3 e
menores que 7.
4 Responda às questões considerando a se-
quência dos números inteiros:
a) Qual é o sucessor de 100?
b) Qual é o sucessor de 2 30?
c) Se n é um número dessa sequência,
qual é a expressão que representa seu
sucessor?
d) Se a é um número dessa sequência,
qual é a expressão que representa seu
antecessor?
5 O saldo bancário da conta de Pedro estava
negativo em R $ 380,00. Ele fez um depósi-
to e o novo saldo passou a ser R $ 970,00.
Qual foi o valor do depósito realizado por
Pedro?
6 Considere a sequência dos números inteiros:
a) Há quantos números inteiros entre 25
e 3?
b) Qual é o menor número natural dessa
se quência?
7 Escreva as sequências numéricas, forma-
das somente por números inteiros, con-
forme as indicações a seguir.
a) O primeiro termo da sequência é 100
e os próximos termos são obtidos sub-
traindo-se 10 do termo anterior.
b) O primeiro termo da sequência é 100
e os próximos termos são obtidos adi-
cionando-se 10 ao termo anterior.
c) O primeiro termo da sequência é 100 e
os próximos termos são obtidos multi-
plicando-se por 10 o termo anterior.
d) O primeiro termo da sequência é 100
e os próximos termos são obtidos divi-
dindo-se por 10 o termo anterior.
Agora, responda às questões.
- Quais dessas sequências são forma-
das somente por números inteiros
positivos?
- Uma dessas sequências é finita. Por
que isso ocorreu?
- Se as sequências não precisassem
ser formadas por números inteiros,
essa sequência seria infinita?
Números racionais
Observe a situação a seguir. Uma peça de tecido com 75 metros vai ser dividida em 10 partes iguais. Quantos metros terá cada uma dessas partes?
Para responder a essa pergunta, podemos efetuar a divisão: 75 9 10 5 7,
0, 5, 14, 57 2 100, 2 18, 2 8, 2 1, 0, 5, 14, 57 Sim.
alternativa b
exemplo de resposta: 2 21, 2 22 e 223
100, 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10, 0, 2 10, 2 20, ...
100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, ...
100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000, ...
100, 10, 1
Sequências dos itens b, c e d.
a sequência do itemporque a divisão de 1 por 10 não d é finita resulta em um número inteiro.
Como os alunos já estudaram os números racionais em anos anteriores, espera-se que eles percebam que, se a condição de a sequência ser formada somente por números inteiros fosse retirada, a sequência seria infinita, uma vez que seria sempre possível fazer a divisão por 10, obtendo um novo número racional.
1, 3, 5, 7 e 9
2 4, 2 3, 2 2 e 21
0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6
101 229
n 1 1
n 2 1
r$ 1.350,
há sete números inteiros: 2 4, 2 3, 2 2, 2 1, 0, 1 e 2
o número zero
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Lendo e aprendendo
- (^3) – — 52 – 2 – 1,3 – 1 – 0,4 (^0) — (^14 1) — 53 2 2,8 3
Números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero, são chamados de números racionais. O conjunto dos núme- ros racionais é indicado por B e pode ser representado em linguagem matemática da seguinte maneira:
b B 5 )^ a^ , com a e b números inteiros e b % 03
Portanto, cada uma dessas partes terá 7,5 metros. Os números obtidos pela divisão de dois números inteiros são números racionais. Esses nú- meros podem ser escritos na forma de fração ou na forma decimal. Veja:
2 Os números racionais podem ser representados por pontos na reta numérica:
3 Entre dois números racionais quaisquer sempre existe outro número racional. Entre 1,4 e 1,6, há infinitos números racionais. Veja alguns: 1,45; 1,48; 1,5; 1,52 e 1,555.
• 3 5 135 265 395 124 • 25 5 2 15 5 2^204 5 2^357 • 0 5 015 025 30540
Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó
1 98 6481 43 32 1627 243128 21
Matemática e música O matemático e filósofo grego Pitágoras (c. 570 a.C.-c. 496 a.C.) traçou uma ligação direta entre Matemática e música ao construir, com uma corda e dois cavaletes, um instrumento que ficou conhecido como “monocórdio de Pitágoras”. Com base em observações, ele percebeu que a altura de uma nota musical dependia do comprimento da corda que a produzia. A divisão da corda em comprimentos diferentes possibilitou, posteriormente, a criação de uma escala com sete notas: dó, ré, mi, fá, sol, lá e si, que formam a escala pitagórica.
GeorGe TuTumi
luiz rubio
observações
1 Todo número inteiro é um número racional, ou seja, pode ser escrito na forma (^) ba^ em que a e b são números inteiros e b % 0. Veja:
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
AtividAdes Faça as atividades no caderno.
Na divisão de 29 por 90, o algarismo 2 do quociente continuará se repetindo infinitamente. O número decimal 0,322... é uma dízima periódica e o algarismo 2 que se repete é chamado de período. A dízima 0,322... é uma dízima periódica composta, uma vez que, entre a vírgula e o período (2), existe uma parte não periódica, o algarismo 3. 0,3222... 5 0 32,
1 Analise as afirmações a seguir e copie, no
caderno, a(s) verdadeira(s).
a) Todo número inteiro é racional.
b) Todo número racional é inteiro.
c) Todo número racional é natural.
d) Entre dois números racionais existe
sempre outro número racional.
- Para as afirmações falsas, dê um exemplo
que justifique tal classificação. Depois,
converse com os colegas e o professor so-
bre os diferentes exemplos apresentados.
2 Indique um número situado entre:
a) 3,457 e 3,459; b) 1,05 e 1,06.
- Converse com o professor e os colegas
para comparar os números indicados
em cada caso.
- Há somente uma resposta para cada
item ou há infinitas respostas? Justifique.
3 Escreva, no caderno, a representação de-
cimal de cada um dos números racionais
a seguir.
a) 56 c) 37 e) 2 83 g) 551
b) 100157 d) 1113 f) 2 9015 h) 243
- Quais desses números racionais têm dí-
zima periódica como representacão de-
cimal?
4 Identifique o período das dízimas abaixo.
a) 2 3,4777... c) 2 0 05,
b) 0,333... d) 2 0,323232...
5 Um dos benefícios do trabalhador bra-
sileiro é o décimo terceiro salário, pago
pelos empregadores no fim do ano. Para
quem trabalhou o ano inteiro, o valor a
ser pago corresponde a um salário de de-
zembro e, para quem trabalhou menos de
um ano, o valor a ser pago é proporcional
à quantidade de meses trabalhados.
a) Se uma pessoa foi admitida em uma
empresa no dia 1o^ de maio, quantos me-
ses ela trabalhou nesse ano? Esse perío-
do corresponde a que fração de um ano?
b) Sabendo que o salário de dezembro des-
sa pessoa foi R $ 2 514,50, qual foi o valor
recebido de décimo terceiro salário?
6 Alguém queria determinar, usando uma
calculadora, quanto gastaria ao pagar
duas contas nos valores de R $ 329,18 e de
R $ 2 231,11. Após apertar a tecla , o
resultado que apareceu no visor foi:
a) O resultado obtido está correto? Caso
não esteja, explique o que pode ter
acontecido.
b) Qual é o valor correto a pagar por es-
sas duas contas?
- 9029 5 29 9 90 Portanto, 2990 5 0,322...
1,
1,
2 0,
2 0,
alternativas a e d (^75) 3 32
8 meses; 128
r$ 1 676,
a) não; exemplo de explicação: a pessoa se esqueceu de apertar a tecla.^ para indicar 329,
r$ 2 560,
2 3 , 0 018,
1 18 , 2 0 16,
37 ;^1113 ;^29015 ;^551
respostas pessoais.
há infinitas respostas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Obtendo a fração geratriz
Podemos determinar a fração que gera uma dízima periódica. Ela é chamada de fração geratriz.
Observe os exemplos:
- Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 0,777... Indicamos a dízima periódica 0,777... por x. x 5 0,777... I
Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período. 10 x 5 7,777... II
Subtraímos, membro a membro, I^ de II^ , eliminando a parte que se repete.
Assim: x 5 97
Portanto, 97 é a fração geratriz de 0,777...
- Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 4,151515... Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x. x 5 4,151515... I
Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter outro número na for- ma decimal com o mesmo período. 100 x 5 415,151515... II
Subtraímos, membro a membro, I de II , eliminando a parte que se repete.
Assim: x (^5 )
Portanto, 41199 é a fração geratriz de 4,151515...
- Agora, vamos encontrar a fração geratriz da dízima 0,04777... Indicamos a dízima periódica 0,04777... por x. x 5 0,04777... I Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter uma dízima periódi- ca simples. 100 x 5 4,777... II
10 x 5 7,777... 2 x 5 0,777... 9 x 5 7
100 x 5 415,151515... 2 x 5 4,151515... 99 x 5 411
I
II
I
II
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.