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MATÉMÁTICA BÁSICA 1
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Definição de Conjunto
O estudo dos conjuntos é tão antigo quanto o dos números. Quando uma criança aprende a ter noção de números ela associa esses com o conjunto de objetos que simbolizam determinada quantidade.
Conjunto de 10 animais.
A todo grupo ou coleção damos o nome de conjunto.
Podemos dizer que há um conjunto quando o mesmo for bem caracterizado. O que é um conjunto bem caracterizado? É um conjunto que apresenta seus elementos. Para um elemento fazer parte de um conjunto ele tem que ter algo em comum com todos os outros. Se for montar um conjunto de alunos do 9º ano, só vai pertencer a esse conjunto apenas alunos do 9º ano.
O estudo de conjunto dentro da Matemática tem uma nomenclatura característica. São representados por letras maiúsculas: A, B, G, .... Os elementos são representados por letras minúsculas: a, b, x, y, ....
Damos um elemento x qualquer e um conjunto A , para indicarmos que:
x é elemento de A, escrevemos x A (lê-se: x pertence a A);
x não é elemento de A, escrevemos x A (lê-se x não pertence a A)
Representação de conjuntos.
Tomamos como exemplo o conjunto B dos números ímpares menores que 10 e maiores que 0. Colocamos os números entre chaves assim: B = { 1, 3, 5, 7, 9} essa é uma representação pela designação de seus elementos.
Existe outro tipo de representação, é pela propriedade de seus elementos. O elemento do conjunto é chamado de x que possui uma propriedade P, o conjunto será indicado por x tal que x possua a propriedade P { x | x possui a propriedade P}, essa barra vertical significa “tal que”.
Pegamos o mesmo conjunto B = { 1, 3, 5, 7, 9}, o conjunto dos números ímpares menores que 10 e maiores que
- Usando esse tipo de representação ficaria assim: B = { x | x é ímpar e 0 < x < 10 }
Os elementos que pertencem ao conjunto B estão dentro do diagrama, os de fora são ímpares, mas não pertencem ao conjunto B. Essa é uma representação em forma de Diagrama.
Notações Importantes sobre conjunto
►Conjunto unitário e conjunto vazio
Por exemplo: A = { x | x é par e 4 < x < 8 } ou A = {6} B = { x | 2x + 1 = 7 e x é inteiro } ou B = {3}
Os dois conjuntos acima são exemplos de conjuntos unitários. Pois possuem apenas um elemento. Dado o conjunto C = { y | y é natural e 2 < y < 3 } é um conjunto que não possui nenhum elemento, esse tipo de conjunto é chamado de conjunto vazio.
Indicamos um conjunto vazio por { } ou , nunca por { }.
►Igualdade de conjuntos
Dizemos que um conjunto é igual a outro se todos os elementos de um conjunto forem iguais a todos os elementos do outro conjunto.
Exemplo: Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,1,0} como todos os elementos são iguais podemos dizer que A = B.
►Relação entre dois conjuntos.
Quando vamos fazer a relação de elemento com conjunto utilizamos os símbolos de pertence e não pertence. Por exemplo:
Dado o conjunto dos números naturais o elemento 5 N e -8 N.
Agora quando relacionamos conjunto com conjunto utilizamos os símbolos de está contido e não está contido.
Por Exemplo: {1,2,3} {1,2,3,4,5,6} O conjunto dos N está contido dentro dos inteiros. N Z e o conjunto dos inteiros não está contido dentro do
conjunto dos naturais Z N.
♦ Todo conjunto está contido em si mesmo B B. ♦ O conjunto vazio está contido em todo conjunto A.
Diagrama de Venn
Ele representa conjuntos da seguinte maneira:
a)
Exemplo de interseção de conjuntos. ►Interseção
Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.
Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos: A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.
Exemplo 2: Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos:
B ∩ C = { } ou B ∩ C = , então B e C são conjuntos distintos.
Exemplo 3: Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim: E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que
E D.
►União Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados.
Exemplo 1: Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é : A U B = {0,1,2,3,4}
Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é:
A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B.
►Diferença entre dois conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B.
Exemplo 1: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2}
Exemplo 2: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2,3,4,5}
Exemplo 3: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é:
A – B =
Exemplo 4: Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar :
A – B = (^) A B = {1,2,3,4}.
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
F 0 C EA , onde o símboloF 0 C Esignifica "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação yF 0 C FA.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado porF 0 6 6. Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: F 0 C 6= { x; xF 0 B 9x} e U = {x; x = x}.F 0 C CB.
Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( AF 0 C CA ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (F 0 C 6F 0 C CA) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2 m^ subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {F 0 6 6, {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.F 0 C CZ.F 0 C EZ , qF 0 C EZ e qF 0 B 90 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!. São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
Notas: a) é evidente que NF 0 C CZF 0 C CQ. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9F 0 7 0= 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) F 0 D 63 = 1,732050807... (raiz não exata).
Conjunto dos números reais R = { x; x é racional ou x é irracional}.
Notas: a) é óbvio que NF 0 C CZF 0 C CQF 0 C CR b) IF 0 C CR c) IF 0 C 8Q = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese! TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO INTERVALO FECHADO [p;q] = {x F 0 C ER; pF 0 A 3xF 0 A 3q}
inclui os limites p e q
INTERVALO ABERTO (p;q) = { x
F 0 C ER; pF 0 3 CxF 0 3 Cq}
exclui os limites p e q
INTERVALO FECHADO A
ESQUERDA
[p;q) = { x F 0 C ER; pF 0 A 3xF 0 3 Cq}
inclui p e exclui q
INTERVALO FECHADO À
DIREITA
(p;q] = {x F 0 C ER; pF 0 3 CxF 0 A 3q}
exclui p e inclui q
INTERVALO SEMI-FECHADO [p;
F 0 A 5) = {xF 0 C ER; xF 0 B 3p}
valores maiores ou iguais a p.
INTERVALO SEMI-FECHADO (-
F 0 A 5; q] = { xF 0 C ER; xF 0 A 3q}
valores menores ou iguais a q.
INTERVALO SEMI-ABERTO (-
F 0 A 5; q) = { xF 0 C ER; xF 0 3 Cq}
valores menores do que q.
INTERVALO SEMI-ABERTO (p;
F 0 A 5) = { xF 0 3 Ep }
valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( - 4 - Operações com conjuntos 4.1 - União (
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A Propriedades imediatas: a) A 4.2 - Interseção (
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Propriedades imediatas: a) A São importantes também as seguintes propriedades : P1. A 4.3 - Diferença : A - B = {x ; x Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.F 0 6 6= A b)F 0 6 6- A =F 0 6 6 c) A - A =F 0 C 6 d) A - BF 0 B 9B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).F 0 C CA , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A. Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; xF 0 C FB}. É óbvio, então, que:F 0 C 7B' =F 0 6 6 b) BF 0 C 8B' = U c)F 0 6 6F 0 A 0'F 0 3 DF 0 A 0U d) U' =F 0 6 6 5 - Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A) ), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø. b) {2} 6 - Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A
F 0 C 7F 0 A 0F 0 3 3{F 0 2 CF 0 2 0F 0 3 5F 0 A 0}F 0 3 DF 0 A 0Ø c) {2} U {F 0 3 3F 0 2 CF 0 2 0F 0 3 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} } ; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...}F 0 C 7{1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N .F 0 C 7B por n(AF 0 C 7B) e o número de elementos da união AF 0 C 8B por n(AF 0 C 8B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(AF 0 C 8B) = n(A) + n(B) - n(AF 0 C 7B)
d)
e)
5 (INFO) - PUC-SP - Se A = Æ e B = {Æ }, então :
a)A Î B
b)A È B = Æ
c)A = B
d)A Ç B = B
e)B Ì A
6 – (FGV-SP) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A Ç B é 30, o número de elementos de A
Ç C é 20 e o número de elementos de A Ç B Ç C é 15. Então o número de elementos de A Ç (B È C) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
7 (INFO) - Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b},
{a,b} } são:
a)2 ou 5
b)3 ou 6
c)1 ou 5
d)2 ou 6
e)4 ou 5
8 (INFO) - Se A = {0,{Æ }, Æ , {0}} e B = Æ , então podemos afirmar que:
a)A Ç B ¹ Æ
b)A - B = B
c)B Î A
d)B - A = {0}
e)A Ì B
9 - (USP-SP)
Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
10 - (INFO) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de
pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
11 - (INFO) Dadas as proposições:
I) $ x Î R / x + 2 = 0
II) " x Î N, x ³ 0 III) x Î [1,4] Þ x Î {1,2,3,4} IV) R+ = (-¥ ,0] V) {x Î N; 1 £ x £ 3} = [1,3]
São verdadeiras:
a)todas
b)nenhuma
c)I, II, III e IV
d)somente I e II
e)III e V
12 - (INFO) UEFS - Sendo P = {{a} , {b} , {a,b} } , pode-se afirmar que:
a) {a} Ï P
b) {a} Ì P
c) a Î P
d) {a} Ç {b} Î P
e) {a} È {b} Î P
13 – (UEFS)
Se F é um conjunto com n+1 elementos, então o número de elementos de P(F) é:
a) 2(n+1)
b) n+
c) 2n
d) 4n
e) 2.2n
14 – (UEFS) Sendo M(0) o conjunto dos múltiplos de zero e D(0) o conjunto dos divisores de zero, M(0) e D(0) são ,
respectivamente conjuntos:
a)unitário e infinito
b) unitário e vazio
c) vazio e unitário
d) vazio e infinito
e) infinito e vazio
15 – (UFRS) Sendo A = {0,1} e B = {2,3} , o número de elementos de P(A) Ç P(B) é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 8
16 - (INFO) Sejam A = (-μ , 2] e B = [0 , μ ) intervalos de números reais. Então A Ç B é:
a) {1}
b) (-μ , 0]
c) f
d) {0,1,2}
e) [0,2]
09 C 19 B
10 A 20 C
TREINAMENTO 2008
- Dado que A = {2,4,6} e B = {2,3,5}. Obter a A⋃B, ou seja, a união de A com B.
(A) {2,4,6} (B) {2,3,5} (C) {2,4,3,5,6} (D) {} (E) {2}
- Todos os candidatos inscritos num vestibular escolheram na ficha de inscrição que preencheram uma única entre as três seguintes situações prévias (em relação ao ano anterior): freqüentou um cursinho, acabou de sair do ensino médio ou estudou sozinho. Por um erro no processamento dos dados, foi gerado um relatório sobre essas respostas apenas com as seguintes informações:
- 800 não fizeram cursinho,
- 1200 não acabaram de sair do ensino médio,
- 1500 não ficaram estudando sozinhos durante o último ano.
Com isso, conclui-se que o número total de inscritos foi igual a
a) 1250. b) 1750. c) 2500. d) 3500. e) 4750.
