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Augusto César Morgado Paulo Cezar Pinto Carvalho MATEMÁTICA DISCRETA Sociedade Brasileira de Matemática Este livro é uma versão estendida dos capítulos relativos a Matemática Discreta de “A Matemática do Ensino Médio, volume 2”, preparada para atender aos alunos da disciplina de mesmo nome do programa PROFMAT. Nesta versão, além de novos capítulos sobre números naturais e indução finita, foram incluídos novos exercícios, muitos provenientes de exames e avaliações do PROFMAT. Matemática Discreta Copyright O 2013 Augusto César Morgado e Paulo Cezar Pinto Carvalho Direitos reservados pela Sociedade Brasileira de Matemática A reprodução não autorizada desta publicação, no todo ou em parte, constitui violação de direitos autorais. (Lei 9.610/98) Sociedade Brasileira de Matemática Presidente: Marcelo Viana Vice-Presidente: Vanderlei Horita Primeiro Secretário: Ali Tahzibi Segundo Secretário: Luiz Manoel de Figueiredo Terceiro Secretário: Marcela Souza Tesoureiro: Carmen Mathias Editor Executivo Hilário Alencar Assessor Editorial Tiago Costa Rocha Coleção PROFMAT Comitê Editorial da Coleção PROFMAT Clóvis Gonzaga Djairo de Figueiredo Israel Vainsencher Manfredo do Carmo (Editor-Chefe) Marcela Souza (Editora-Adjunta) Capa Pablo Diego Regino Distribuição e vendas Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Sala 109 - Jardim Botânico 22460-320 Rio de Janeiro RJ Telefones: (21) 2529-5073 / 2529-5095 http:/Anww.sbm.org.br / email:lojavirtualosbm.org.br ISBN 978-85-8337-015-4 MORGADO, Augusto César. Matemática Discreta / Augusto César Morgado; Paulo Cezar Pinto Carvalho. Capa de Pablo Diego Regino —Rio de Janeiro: SBM, 2013. 204 p. (Coleção PROFMAT; 12) ISBN: 978-85-8337-015-4 1. Números Naturais. 2.Método de Indução. 3.Progressões 4.Matemática Financeira. |. Pinto Carvalho, Paulo Cezar Il. Regino, Pablo. III. Título. Augusto César Morgado Paulo Cezar Pinto Carvalho MATEMÁTICA DISCRETA Coleção PROFMAT 1º edição Rio de Janeiro 2014 Sociedade Brasileira de Matemática Sumário Prefácio IX 1 Números Naturais 1 1.1 Introdução. «mas zames cemzs sara SETA names nacennas 2 1.2 Números Ordinais . . .Lcccccccccs 2 1.3 Adição, multiplicação e ordem . ..lcccccccccci 5 ExerdÍOS; sa sumsu ams ERA SEMSE UN GRMES RES R R u 8 1.4 Números Naturais e Contagem . ..cccccccccc 10 ExerCÍCIOS) meu namua numca asmra GRSLO Sena nEmina cam ia 13 2 O Método da Indução 15 21 Introdução... cccclcl 16 2.2 Definições por indução ou recorrência . ...cccccciicl 16 2.3 Demonstrando igualdades ..lllcccccccll 17 24 Demonstrando desigualdades . . .iccccccclc 19 Aplicações em Aritmética ..lccccciccccii 20 Resolvendo problemas com o método da indução . ...ccccciciiii 21 EixercÊÇÃOS mus numsman meme SEMEE LEBER SEL E AR EN Ea aid 25 2.7 Outras formas do Princípio da Indução ...ccccccccici 27 ExertdOS cosas remo nuigra ERECMasmans Lemca MMA Eua 32 3 Progressões 35 3.1 Progressões Aritméticas ..llcccccccccc 36 3.2 Termo geral de uma Progressão Aritmética . ...cccciccici 36 3.3 Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética . ...ccccciciiciii 39 3.4 Progressões Aritméticas de Ordem Superior .lcccccccccc 4 3.5 Somas Polinomiais .....ccccccccccccco OBRA meme 45 Exercícios . cics 18 Progressões Geométricas .....iiccccccll 54 Termo Geral de um Progressão Geométrica . LL ccccccciic 57 A Fórmula das Taxas Equivalentes ..licccccccccciii 58 3.9 A Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica . ..icccciciciioo 59 V E A vu PREFÁCIO CAPÍTULO 1 NÚMEROS NATURAIS A noção de sucessor de um número natural está intimamente relacionada à idéia de adição: tomar o sucessor é equivalente a somar uma unidade, como discutido em mais detalhe na seção 1.3. Os axiomas de Peano podem ser reescritos como se segue, representando como n + 1 o sucessor de n: 1. Todo número natural n tem um sucessor. representado por n+1. 2. Sem+l=n+l1,entãom=n. 3. Existe um único número natural, designado por 1, tal quen +1 41, para todo n EN. 4. Seja X um conjunto de números naturais (isto é X C N). Sel e X ese, além disso, n+1€ X, para cadan € X, então X =N. OBSERVAÇÃO 1.1. O terceiro axioma estabelece 1 como sendo o único número natural que não é o sucessor de nenhum outro e que, portanto, representa o “ponto de partida” no conjunto N = (1,2,3....) dos números naturais. É comum, também, adotar-se 0 como ponto de partida, levando a N = (0,1,2,3,...). A opção por uma ou outra alternativa é uma questão de gosto ou de conveniência. Embora todos os quatro axiomas sejam fundamentais para a caracterização dos números naturais, o último, chamado de Axioma da Indução, se destaca. Ele fornece um mecanismo para garantir que um dado subconjunto X de N inclui, na verdade, todos os elementos de N. Por esta razão, é um instrumento fundamental para construir definições e demonstrar teoremas relativos a números naturais (as definições e provas por indução ou recorrência). Suponhamos que desejemos provar que uma propriedade P(n) relativa ao número natural n seja válida para todos os valores naturais de N. Ou seja. desejamos provar que o conjunto X = (n|P(n)), que é um subconjunto de N é, na verdade. igual ao próprio N. Pelo axioma da Indução basta mostrar que 1 € X e que o sucessor de cada elemento de X também está em X. Em termos da propriedade P(n), isto equivale a mostrar que: i) P(1) é válida; ii) Para todo neN, a validez de P(n) implica na validez de P(n + 1). Verificados estes dois fatos, conclui-se a validez de P(n) para todos os valores de n. O axioma da Indução pode ser reescrito como abaixo, usando a linguagem de propriedades (nesta forma, ele costuma ser chamado de Princípio da Indução Finita ou da Indução Matemá- tica): 4. Seja P(n) uma propriedade relativa ao número natural n. Suponhamos que i) P(1) é válida. ÍTULO 1 ii) Para todo n E N, a validez de P(n) implica na validez de P(n + 1). Então, P(n) é válida para todo n E N. =D E E o e— ExEMPLO 1 Consideremos o problema de obter uma expressão para a soma 1+3+5+...+(2n— 1). Calculando à soma para os primeiros valores naturais de n, obtemos: l=1 1+3=4 1+3+5 1+3+5+7=16 O exame das igualdades acima sugere que a soma seja sempre igual ao quadrado do número de parcelas, ou seja, que a afirmativa P(n):1+3+5+...+(Qn — 1) = n? é válida para todo n EN. O Princípio da Indução permite demonstrar este fato. O primeiro passo é: i) verificar a validez de P(n) para n = 1. Isto já foi feito acima, quando verificamos que, para n = 1, ambos os lados da igualdade que pretendemos provar são iguais a 1. A seguir, devemos: ii verificar que a validez de P(n), para um valor arbitrário de n. implica na validez de P(n+1). Ou seja, admitindo que 14+3+5+...+(2n— 1) = n? para um certo valor de n, devemos mostrar que 1+3+5+---+(2n- D+(2(n+D)-D)=(n+1)2. Para tal, somamos o novo termo 2(n+1)—1 a ambos os membros de 1+3+5-+---+2n—1 = n2, Obtemos: 1+3+5+...+4(QWn=D+(Qn+D)-D=02+2An+1)-1=n2+2n+1=(n+1)2, Portanto, a validez de P(n) para um valor arbitrário de n implica em sua validez para n+-1. Logo, pelo Princípio da Indução, P(n), ou seja, 1+3+5+...+2n— | =" nen. . é válida para todo OBSERVAÇÃO 1.2. A verifi por indução, enquanto a demonstração de que a validez de P(n) implica na validez de P(n + ão de que P(1) é válida costuma ser chamada de caso base de uma demonstração 1) é chamada de passo de indução. O passo de indução costuma gerar confusão no primeiro as à 4 APÍTULO 1 ÚMEROS NATUI A definição acima corresponde à ideia intuitiva de que o valor de m+n é obtido acrescentando- se n vezes uma unidade a m. Para a multiplicação, podemos definir: DEFINIÇÃO 1.4. )ml=m. ni) m(n+D)=mn+m. A partir dessas definições. podem ser demonstradas as propriedades usuais da adição e multi- plicação. Ilustramos este fato com a demonstração da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. TEOREMA 1.5. Para quaisquer números naturais m, n e p, vale (m +n).p = mn + m.p. O RÃ DEMONSTRAÇÃO. Vamos utilizar indução em p. i) A propriedade é válida para p= 1, jáque(m+n)1I=m+neml+nl=m+n. ii) Suponhamos que a propriedade seja válida para um certo p, ou seja, (m+n).p = mn+m.p. Temos, pela definição indutiva da multiplicação: (m-+n).(p+1) = (m+n).p+(m+n) Mas, pela hipótese de indução. (m+n).p = m.p+n.p. Portanto. (m+n).(p+ 1) = (m.p+n.p) + (m+n)=m.p+mA+np+n (aqui, usamos as propriedades comntativa e associativa da adição. que deveriam ter sido provadas previamente). Mas, pela definição de multiplicação, temos m.p+m = m.(p+1) en.p+n = n(p+1). Logo, (m+n) (p+1) = m.(p+D)+n(p+1). Assim, a afirmativa é válida também para p+1. Portanto. pelo Princípio da Indução, a propriedade é válida para quaisquer m.n e p naturais. A introdução das operações aritméticas permite tornar precisa uma outra noção fundamental para números naturais: a de ordem. DEFINIÇÃO 1.6. Sejam m e n números naturais. Dizemos que m < n quando existe um número natural p tal quem+p=n. DEM 6 ADIÇÃO, MULTIPLIC ITULO Desta definição, podem ser obtidas as propriedades usuais da ordem. TEOREMA 1.7. a) Sem
Y, ou seja, uma regra que associa a cada elemento de X um elemento de Y de modo que cada elemento de Y seja imagem de exatamente um elemento de X (isto equivale a dizer que f é uma função simultaneamente injetiva e sobrejetiva). A partir desta definição podemos demonstrar as propriedades básicas da contagem: TEOREMA 1.11. a) O resultado da contagem (ou seja, o número cardinal de X) é sempre o mesmo, não im- portando a contagem que seja feita. b) Todo subconjunto Y de um conjunto finito X é finito en(Y) N, não importa qual n se fixou, pomos k = f(1) + f(2) +--- + f(n) e vemos que, para todo x € 1,, tem-se f(x) < k. logo não existe x € [, tal que f(x) = k. Assim, f não pode ser uma correspondência biunívoca. A princípio, pode parecer que a classificação de conjuntos como finitos ou infinitos termina a discussão. Mas, no final do século XIX, Georg Cantor (1845-1918) mostrou como comparar a car- dinalidade de conjuntos infinitos: um conjunto pode ser "mais infinito"do que outro. Novamente, a ferramenta fundamental é a de correspondência biunívoca. fa 10 
