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UFSCar Universidade Federal de São Carlos
1021232-A/B Matemática Discreta (1o/2019) LISTA 7
- As guras a seguir representam grafos. Escreva cada um deles como um par de conjuntos G = (V, A).
1 2 3
4 5 6
1 2
3 4
5
6 1 2 3
4 5 6
(a) (b) (c)
- Faça um diagrama dos seguintes grafos:
(a) ({a, b, c, d, e}, {ab, ac, ad, be, cd}) (b) ({a, b, c, d, e}, {ab, ac, bc, bd, cd}) (c) ({a, b, c, d, e}, {ac, bd, be})
- Seja G o grafo da gura. Trace ilustrações dos seguintes subgrafos:
(a) G − 1
(b) G − 3
(c) G − 6
(d) G − { 1 , 2 }
(e) G − { 3 , 5 }
(f) G − { 5 , 6 }
1
2
3
4
5 6
- Seja G o grafo da gura ao lado.
(a) Quantos caminhos diferentes há de a a b?
(b) Quantos passeios diferentes há de a a b?
a
b
- Considere o conjunto X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e forme o grafo G cujos vértices sejam todos os subconjuntos de dois elementos de X. Nesse grafo, temos uma aresta entre vértices distintos {a, b} e {c, d} exatamente quando {a, b} ∩ {c, d} = ∅.
(a) Quantos vértices tem o grafo G? (b) Quantas arestas tem o grafo G? (c) O grafo G é conexo?
- A matriz de adjacências de um grafo G = (V, A) é a matriz M de nida da seguinte maneira: para quaisquer dois vértices u e v,
M [u, v] =
1 , se uv ∈ A, 0 , caso contrário.
É claro que a matriz é indexada por V × V. (A matriz de adjacência é uma espécie de gura do grafo. Ela tem certas vantagens sobre o desenho com pontos e linhas que usamos geralmente.)
(a) Escreva a matriz de adjacências do grafo
G = ({t, u, v, w, x, y, z}, {vw, uv, xw, xu, xy, yz}),
e faça uma ilustração desse grafo. (b) Escreva a matriz de adjacências de um K 4.
- A matriz de incidências de um grafo G = (V, A) é a matriz N de nida da seguinte maneira: para todo vértice u e toda aresta a,
N [u, a] =
1 , se u é uma das pontas de a, 0 , caso contrário.
É claro que a matriz é indexada por V × A.
(a) Escreva a matriz de incidências do grafo
G = ({t, u, v, w, x, y, z}, {vw, uv, xw, xu, xy, yz}).
(b) Escreva a matriz de incidências de um K 4.
- Os hidrocarbonetos conhecidos como alcanos têm fórmula química CpH 2 p+2, onde C e H representam moléculas de carbono e hidrogênio, respectivamente. As moléculas de alcanos podem ser representadas por grafos como os da gura a seguir.
Etano (C H ) 2 6 Butano (C H ) 4 10 Isobutano (C H ) 4 10
Faça uma gura de uma molécula de metano C 1 H 4. Quantas moléculas diferentes de C 3 H 8 existem?
- Seja V o produto cartesiano { 1 , 2 ,... , p}×{ 1 , 2 ,... , q}, isto é, o conjunto de todos os pares ordenados (i, j) com i em { 1 , 2 ,... , p} e j em { 1 , 2 ,... , q}. Digamos que dois elementos (i, j) e (i′, j′) de V são adjacentes se
i = i′^ e |j − j′| = 1, ou j = j′^ e |i − i′| = 1.
Essa relação de adjacência de ne um grafo sobre o conjunto V de vértices. Esse grafo é conhecido como grade (grid, em inglês) p-por-q. Quantas arestas tem a grade p-por-q? Escreva a matriz de adjacência de uma grade 4-por-5.
