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Matemáti a Dis reta (CB661) - 2012. Lista 1
Profa. Ana Shirley Silva 4 de abril de 2012
Cada √^ denota um nível de di uldade: √^ fá il, √√^ médio e √√√^ difí il. ( 1. √ ) Qual o valor das seguintes sentenças lógi as. (a) Verdadeiro ∧ Verdadeiro ∧ Verdadeiro ∧ Falso (b) (¬Verdadeiro) ∨ Verdadeiro ( ) ¬(Verdadeiro ∨ Verdadeiro) (d) Verdadeiro ∨ (A ∧ ¬A) (√√) 2.Prove ou desprove que os seguintes pares de fórmulas lógi as são equivalentes. (a) (x ∨ y) → z e (x → z) ∧ (y → z) (b) (x ∨ y) e (x ∧ ¬y) ∨ (¬x ∧ y) ( ) ((x → y) ∧ (y → z)) → (x → z) e Verdadeiro (d) (x → y) ∧ (¬x → y) ∧ ¬y e Falso
(√√√) 3.Um náufrago hega em uma ilha onde onvivem duas trib os A e B. To dos os nativos da trib o A sempre mentem. To dos os nativos da trib o B sempre falam a verdade. Ao se deparar om um nativo, o náufrago fez a seguinte p ergunta: Existe ouro nesta ilha ? O nativo resp ondeu: Existe ouro na ilha se e somente se eu falo a verdade. Usando lógi a matemáti a para analisar a resp osta do nativo, des ubra se existe ou não ouro na ilha. (√) 4.Complete om ∈ e/ou ⊆. (quando amb os forem válidos, ap enas olo que amb os símb olos) (a) {∅}{∅, {∅}} (b) {∅}{∅, {{∅}}} ( ) {{∅}}{∅, {∅}} (d) {{∅}}{∅, {{∅}}} ( 5. √√ ) Prove ou desprove: (a) A ⊆ B sse A ∩ B = A sse A ∪ B = B sse A − B = ∅ (b) A − (B − C) = (B − C) ( ) A ∩ B = A − (A − B) (d) A ∩ B ⊂ A
(√√√) 6.Usando os axiomas vistos em sala e resumidos adiante, mostre que não existe um onjunto ao qual p erten e to do onjunto unitário (Sugestão: mostre primeiro que não existe um onjunto ujos elementos são to dos os onjuntos.) (√) 7.Prove ou desprove: (a) A × B = ∅ se e somente se A = ∅ ou B = ∅. (b) Se f : A → A e g : A → A são duas funçõ es, então f ◦ g 6 = g ◦ f.
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( ) Se R é antissimétri a, então R é assimétri a. (d) Se f é uma função, então f ◦ f −^1 é tamb ém uma função. (e) Se f : A → A é bijetora, então f ◦ f −^1 = {(a, a) | a ∈ A}. (f ) Se f , g e h são funçõ es, então (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h). (g) Para to do onjunto A, (A × A) × A = A × (A × A) (√) 8.Considere as propriedades de relaçõ es: re exividade, simetria, antissimetria, assimetria e transitivi- dade. Para ada uma das relaçõ es abaixo, indique quais propriedades são violadas. (a) Relação foi asado om sobre o onjunto de to das as p essoas do Ceará; (b) Relação tem mesma mar a sobre o onjunto de to dos os automóveis de Fortaleza; ( ) Relação ⊆ sobre o onjunto das partes de { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }; (d) Relação tem mesmo omprimento de lado sobre o onjunto de to dos os p olígonos equiláteros; (e) Relação tem ordem de res imento maior sobre o onjunto de to dos os p olin mios. (√√) 9.Seja f uma função om domínio A e ontradomínio B. Se R é uma relação binária sobre A tal que aRb ⇔ f (a) = f (b), então R é uma relação de equivalên ia? Prove. (√) 10.Se R é uma relação binária re exiva e transitiva em { 1 , 2 , 3 , 4 } e 1 R 2 , 2 R 3 e 3 R 4 , que outros pares devem o orrer em R? É p ossível a rmar que R é uma ordem total? Argumente. (√√) 11.Prove que se R é assimétri a, então R é antissimétri a. Isso signi a que to da ordem estrita é tamb ém par ial? (√√) 12.Seja R uma ordem de A e seja B ⊆ A. Prove: (a) R−^1 é uma ordem de A. (b) a é mínimo de B em R−^1 se e somente se a é máximo de B em R. ( ) a é minimal de B em R−^1 se e somente se a é maximal de B em R.
(√√√) 13.Se f é um isomor smo de (P, <) em (Q, ≺), então f −^1 é um isomor smo de (Q, ≺) em (P, <).
