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Geometria (10.o^ ano)
Pontos, retas, e planos
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios - Propostas de resolu¸c˜ao
- Como o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy e `a reta de equa¸c˜ao y = 2x + 4, as suas coordenadas s˜ao (0,4)
Como o ponto A pertence ao semieixo negativo Ox, tem ordenada nula, pelo que a sua abcissa ´e: 0 = 2x + 4 ⇔ −4 = 2x ⇔ −
= x ⇔ −2 = x
Assim, as coordenadas do ponto m´edio, M , do segmento de reta [AB], s˜ao: ( xA + xB 2
yA + yB 2
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2019, 2.a^ Fase
- Como os pontos A, B e C tˆem abcissa 1, todos pertencem ao plano de equa¸c˜ao x = 1. Assim a sec¸c˜ao produzida no cilindro pelo plano de equa¸c˜ao x = 1, ´e o retˆangulo que contem estes pontos, ou seja o retˆangulo cujos lados s˜ao o diˆametro da base (2) e a altura (3) do cilindro, pelo que a sua ´area ´e: A = 2 × 3 = 6
x
y
O
z
A B
C
Exame – 2017, Epoca especial´
- O declive da reta AB ´e dado por:
mAB =
yB − yA xB − xA
Como retas paralelas tˆem o mesmo declive, de entre as op¸c˜oes apresentadas a ´unica reta paralela `a reta AB ´e a que tem declive
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2016, ´Epoca especial
- Representando os quatro pontos, podemos verificar que:
- o ponto A(1, 1 ,2) pertence `a face [ST U V ], mas n˜ao a qualquer uma das arestas
- o ponto B(1, 2 ,0) pertence `a aresta [QR]
- o ponto C(1, 1 ,0) pertence `a face [OP QR], mas n˜ao a qualquer uma das arestas
- o ponto D(1, 1 ,1) ´e o centro do cubo, mas n˜ao pertence a qualquer uma das arestas
Resposta: Op¸c˜ao B (^) x
O (^) y
z
U V
P Q
R
T S
A
C B
D
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 16.03.
- Como a reta deve ser paralela
a reta r deve ter o mesmo declive, ou seja, mr = 2. Como deve conter o ponto A (cuja abcissa ´e nula) ent˜ao a ordenada na origem ´e iguala ordenada do ponto A.
Assim a equa¸c˜ao reduzida, da reta paralela `a reta r que passa no ponto A, ´e:
y = mr x + yA ⇔ y = 2x − 2
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 16.03.
- Como a reta deve ser paralela ao eixo Oy pode ser definida pela interse¸c˜ao de dois planos, perpendiculares aos eixos Ox e Oz, respetivamente.
Como a reta deve conter o ponto G(6, 9 ,15), o plano perpendicular ao eixo Ox ´e o plano de equa¸c˜ao x = 6 e o plano perpendicular ao eixo das cotas ´e o plano definido por z = 15
Assim, uma condi¸c˜ao que define a reta que passa no ponto G e que ´e paralela ao eixo Oy, ´e:
x = xG ∧ z = zG ⇔ x = 6 ∧ z = 15
x
O y
z
G
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 06.05.
- Como a reta QN ´e paralela ao eixo Ox, e como se pretende que o plano seja perpendicular `a reta QN tamb´em ser´a perpendicular ao eixo Ox, ou seja, ´e definido por uma equa¸c˜ao do tipo x = k, k ∈ R
Como se pretende que o plano contenha o ponto V , ent˜ao o valor de k ´e a abcissa do ponto V, (k = xV ). A abcissa do ponto V ´e metade da abcissa do ponto Q, ou do ponto U , ent˜ao temos que a equa¸c˜ao do plano perpendicular `a reta QN e que passa no ponto V ´e:
x =
xU 2
⇔ x =
⇔ x = 2
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- As retas DQ e V F s˜ao concorrentes
As retas EH e AB^ s˜ao n˜ao complanares.
A reta P Q e o plano HGB s˜ao paralelos
A reta F Q e o plano ADH s˜ao concorrentes
Os planos BQV e
P QR
s˜ao perpendiculares. Teste Interm´edio 10.o^ ano – 29.01.
- As faces laterais do prisma s˜ao retˆangulos. Temos que BE = zE = 8 e a distˆancia entre os pontos D(4, 0 ,8) e E(0, 3 ,8), ´e dada por:
DE =
(4 − 0)^2 + (0 − 3)^2 + (8 − 8)^2 =
42 + (−3)^2 + 0^2 =
Como os pontos E e F s˜ao sim´etricos relativamente ao plano xOz, temos que EF = 2 × yE = 2 × 3 = 6 Assim, como as bases do prisma s˜ao triˆangulos is´osceles, as ´areas das faces [ABED] e [ACF D] s˜ao iguais e a ´area lateral do prisma, ´e:
ALateral = 2 × A[ABED] + A[ACF D] = 2 × 5 × 8 + 6 × 8 = 80 + 48 = 128
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 06.05.
- Verificando que o ponto sim´etrico do ponto V , em rela¸c˜ao ao plano xOy tem a mesma abcissa, a mesma ordenada e cota sim´etrica, temos que as coordenadas do ponto W s˜ao:
W (xV ,yV , − zV ) = W (1, 2 , − 6) Podemos ainda observar que a reta V W ´e paralela ao eixo Oz, ou seja a interse¸c˜ao de dois planos perpendiculares aos eixos Ox e Oy, ambos contendo o ponto V , ou seja, a reta V W pode ser definida por:
x = 1 ∧ y = 2
Para definir o segmento de reta [W V ], ´e necess´ario garantir que as cotas dos pontos est˜ao compreendidos entre −6 e 6, ou seja, o segmento de reta [W V ] ´e definido por:
x = 1 ∧ y = 2 ∧ − 6 ≤ z ≤ 6
y
x
O
z
C
W
V
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Como o ponto Q tem coordenadas (2, 2 ,0) e o cubo tem dois v´ertices sobre os eixos, temos que a aresta do cubo tem medida 2, e volume ´e: VC = 2^3 = 8 Assim, o volume da pirˆamide pode ser calculado pela diferen¸ca entre o volume do s´olido (VS ) e o volume do cubo (VC ): VP = VS − VC = 10 − 8 = 2 Como os v´ertices da pirˆamide s˜ao os pontos m´edios das arestas do cubo, podemos determinar o compri- mento da aresta da base da pirˆamide:
AB 2 = AP 2
- BP 2 ⇔ AB 2 = 1^2 + 1^2 ⇔ AB 2 = 2 ⇒ AB> 0
AB =
Assim, a ´area da base da pirˆamide ´e A[ABCD] =
= 2, e recorrendo ao valor do volume, podemos calcular a altura da pirˆamide, ou seja, a cota do ponto E:
VP =
× A[ABCD] × zE ⇔ 2 =
2 × zE 3
2 × 3
= zE ⇔ zE = 3
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 28.01.
- Como a reta r interseta o eixo Oy no ponto de ordena 6, podemos concluir que a ordenada na origem ´e 6, ou seja, a equa¸c˜ao da reta ´e da forma y = ax + 6, a ∈ R \ { 0 }
Como a reta r interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e o eixo Oy no ponto de ordena 6, podemos esbo¸car a representa¸c˜ao da reta num referen- cial (como na figura ao lado) e concluir que o declive da reta ´e negativo (a < 0).
Assim, de entre as op¸c˜oes apresentadas, a ´unica que satizfaz cumulati- vamente as duas condi¸c˜oes ´e y = − 3 x + 6
Resposta: Op¸c˜ao A
x
y
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 28.05.
- Como a reta QU ´e a interse¸c˜ao dos planos P QU e RQU ou seja, dos planos x = 2 e y = 2, ent˜ao que uma condi¸c˜ao que define a reta [QU ] ´e a parte desta reta que tem cotas compreendidas entre 0 e 2, ou seja: x = 2 ∧ y = 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 2 Teste Interm´edio 10.o^ ano – 28.05.
- Analisando as alternativas apresentadas, verificamos que:
- A op¸c˜ao (A) ´e falsa porque a reta r ´e paralela ao plano xOy;
- A op¸c˜ao (B) n˜ao ´e necessariamente verdadeira porque a reta r pode ser um conjunto de pontos com cota n˜ao nula;
- A op¸c˜ao (C) ´e falsa porque a reta r ´e paralela ao eixo Ox; Relativamente `a op¸c˜ao (D),como a reta r ´e perpendicular ao plano yOz tamb´em ´e perpendicular a todas as retas contidas no plano yOz, em particular aos eixos Oy e Oz, e assim, ´e paralela ao eixo Ox (como se pretende ilustrar na figura anterior).
Resposta: Op¸c˜ao D x
y
z
O
r
Exame – 2000, Prova 2 para Militares (c´od. 135) Exame – 2000, Prova de reserva (c´od. 135)
- Como o ponto A tem coordenadas (8, 8 ,7), o ponto D pertence ao plano xOz e que a base da pirˆamide ´e paralela ao plano xOy, ent˜ao as coordenadas do ponto D s˜ao (8, 0 ,7) e o lado da base da pirˆamide ´e:
DA =
(8 − 8)^2 + (0 − 8)^2 + (7 − 7)^2 =
0 + 8^2 + 0 = 8
Como a o v´ertice V da pirˆamide pertence ao plano xOy tem cota nula como a pirˆamide ´e regular as restantes coordenadas s˜ao metade das coordenadas respetivas do ponto A, ou seja as coordenadas do v´ertice V s˜ao ((4, 4 ,0)).
Como a pirˆamide ´e regular, as arestas laterais tˆem o mesmo comprimento (DV = AV ), e calculado o valor do comprimento, temos: x
O y
z
D(8, 0 ,7)
C B
A(8, 8 ,7)
V (4, 4 ,0)
DV =
(8 − 4)^2 + (0 − 4)^2 + (7 − 0)^2 =
42 + 4^2 + 7^2 =
Desta forma o per´ımetro de uma face lateral da pirˆamide ´e:
P[DAV ] = DA + DV + AV = DA + 2DV = 8 + 2 × 9 = 8 + 18 = 26
Exame – 2000, ´Epoca Especial (setembro) (c´od. 135) Exame – 1999, Prova de reserva (c´od. 135)
- Sabendo que a ´area lateral do prisma ´e 72, e que a ´area lateral ´e a soma das ´areas de trˆes retˆangulos, temos que a ´area de cada retˆangulo, em particular do retˆangulo [QRST ] ´e:
A[QRST ] =
Como o segmento [QR] tem comprimento 6, podemos determinar o comprimento do segmento [QS]:
A[QRST ] = QR × QS ⇔ 24 = 6QS ⇔
= QS ⇔ QS = 4
Como o prisma ´e regular, as bases s˜ao pool´ıgonos regulares, ou seja, o triˆangulo [P QS] ´e equil´atero (QP = QS = 4), e por isso considerando M o ponto m´edio do lado [P Q], temos que
QM =
QP
P M Q
S
Desta forma, recorrendo ao teorema de Pit´agoras, podemos calcular a cota do ponto S:
QS 2 = QM 2
- M S 2 ⇔ 42 = 2^2 + M S 2 ⇔ 16 − 4 = M S 2 ⇒ M S> 0
M S =
E assim, verificando que o ponto S tem a mesma abcissa que o ponto P , a mesma ordenada que o ponto M e a cota calculada, temos que as coordenadas do ponto S s˜ao
Exame – 2000, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- A condi¸c˜ao x = 0 define um plano perpendicular ao eixo Ox e a condi¸c˜ao z = 3 define um plano perpendicular ao eixo Oz
Os dois planos intersectam-se segunda uma reta que ´e definida pela condi¸c˜ao:
x = 0 ∧ z = 3 ⇔
x = 0
z = 3 Resposta: Op¸c˜ao C x
O y
z
Exame – 1999, Epoca Especial (c´´ od. 135)
- Calculando o comprimento da aresta do cubo, ou seja, a distˆancia entre os v´ertices A e D, temos:
AD =
(3 − (−3))^2 + (5 − 3)^2 + (3 − 6)^2 =
62 + 2^2 + (−3)^2 =
Assim, o volume do cubo ´e: V = AD 3 = 7^3 = 343
Exame – 1999, Epoca Especial (c´´ od. 135)
