Distâncias em Coordenações Cartesianas: Pontos, Retas, Planos, Elipses e Parábolas, Exercícios de Engenharia de Produção

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CADERNO DE EXERCÍCIOS NÚMERO 5.

6. Distâncias

6.1 Distância entre dois pontos

No R^2 : d ( (^) A , B ) | AB | ( xB  xA )^2 ( yB  yA )^2

No R^3 : d (^) ( A , B )| AB | ( xB  xA )^2 ( yB  yA )^2 ( zB  zA )^2

6.2 Distância entre ponto e reta

( , ) u d u v P r 

2 2

0 0 a b

d ax by c Pr 

( , )^ ,^ P =( x^0 ,^ y^0 ) e^ r :^ ax + by + c =0.

6.3 Distância entre ponto e plano

2 2 2

0 0 0 a b c

d ax by cz d P  

( ,  )^ ,^ P =( x^0 ,^ y^0 ,^ z^0 ) e^ α:^ ax + by + cz + d =0.

7. Cônicas

Cônicas: parábola, elipse, circunferência ou hipérbole.

Cônicas degeneradas: retas ou pontos.

7.3 Hipérbole

Equação canônica: (^ ) ( 2 ) 1 0 2 2 0 2 x  ax  y  by  (ramos à esquerda e à direita)

0 2 2 0 2  x  ax  y  by  (ramos acima e abaixo)

7.4 Parábola

Parábola vertical:

Equação geral: y  ax^2  bx  c

Intersecções com o eixo x : x b 2 ba^4 ac

 ^2 

Intersecção com o eixo y : (0, c )

1. Considerando os pontos A e B representados abaixo, determine a distância d ( A , (^) B ).

Resolução:

As coordenadas dos pontos A e B são, respectivamente, (3, 4) e (7, 2). Como a distância entre dois pontos é dada por

d ( (^) A , B )| AB | ( xB  xA )^2 ( yB  yA )^2 ,

vamos substituir xA por 3, xB por 7, yA por 4 e yB por 2:

d ( A , B ) ( 7  3 )^2 ( 2  4 )^2

O próximo passo é calcularmos 7-3=4 e 2-4=-2:

d ( A , B ) ( 4 )^2 ( 2 )^2

Elevando 4 ao quadrado e -2 ao quadrado, temos:

d ( A , B ) 16  4

Vamos agora somar 16 e 4:

d ( A , B ) 20

Finalmente, calculando a raiz quadrada de 20, temos: d ( A , B ) 4 , 47

Portanto, a distância entre os pontos A e B é igual a 4,47.

2. Sejam A =(2, 5, -4) e B =(3, 3, 2). Calcule d ( A , B ) e d ( B , A ).

Resolução: Quando estamos tratando de pontos no R^3 , a distância entre A e B é dada por

d ( (^) A , B )| AB | ( xB  xA )^2 ( yB  yA )^2 ( zB  zA )^2

Para que possamos calcular a distância entre os pontos A e B , vamos substituir xA por 2, xB por 5, yA por 5, yB por 3, zA por -4 e zB por 2:

d ( (^) A , B )| AB | ( 3  2 )^2 ( 3  5 )^2 ( 2 ( 4 ))^2

Calculando 3-2=1, 3-5=-2 e 2-(-4)=2+4=6, temos:

d (^) ( A , B )| AB | 12 ( 2 )^2  62

onde a , b e c são os coeficientes de x , y e o termo independente na expressão r : ax + by + c =0, respectivamente, ou seja, a =2, b =-1 e c =2 e x 0 e y 0 são as coordenadas do ponto P , isto é, x 0 =5 e y 0 =7. Vamos então substituir esses valores.

( ,) ( 2 ) (^2) ( 1 ) 2

dPr

Efetuando as multiplicações indicadas e elevando os termos 2 e -1 ao quadrado, temos:

4 1

dPr

Vamos agora somar e subtrair os termos que aparecem no numerador e no denominador.

5

d ( P , r )|^5 |

Como temos a raiz quadrada de 5 no denominador, podemos fazer a racionalização desse denominador, ou seja, vamos multiplicar numerador e

denominador por 5 para que tenhamos um número racional no denominador.

.^5

d ( P , r )

Multiplicando 5 por 5 , temos 5 5 e multiplicando 5 por 5 , temos

5. 5  5. 5  25  5. Logo,

d ( P , r )^55

Vamos agora simplificar os dois números 5, o que resulta em:

d ( P , r ) 5

Calculando a raiz quadrada de 5, temos: d ( P , r ) 2 , 24

Portanto, a distância entre o ponto P e a reta r é igual a 2,24 unidades de comprimento.

4. Sabendo que A =(1, 0, 3) e r : M =(3 t +1, 2 t , 5 t -2), encontre a distância entre o ponto A e a reta r.

Resolução: Cálculo do vetor diretor: Sabemos que r : M =(3 t +1, 2 t , 5 t -2) que é equivalente a r : M =(1+3 t , 0+2 t , -2+5 t ) Podemos decompor então como a soma de dois vetores r : M =(1, 0, -2)+( 3 t , 2 t , 5 t ) donde r : M =(1, 0, -2)+t( 3, 2, 5) Logo, temos um vetor diretor de r: u^ ( 3 , 2 , 5 ).

Uma outra forma de obtermos o vetor diretor é considerarmos os coeficientes de t na expressão r : M =(3 t +1, 2 t , 5 t -2). Note que os coeficientes são, respectivamente, 3, 2 e 5. Logo, u^ ( 3 , 2 , 5 ).

Vamos agora obter um ponto pertencente à reta r para determinarmos o vetor v^ . Sabemos que r : M =(3 t +1, 2 t , 5 t -2) Fazendo t =0, temos M =(3(0)+1, 2(0), 5(0)-2) Vamos efetuar os produtos indicados M =(0+1, 0, 0-2) E, finalmente, somar os devidos termos M =(1, 0, -2)

Como já temos um ponto M que pertence à reta r , podemos obter o vetor v^  tal que

v^   MA  A  M Como A =(1, 0, 3) e M =(1, 0, -2), temos v^ ( 1 , 0 , 3 )( 1 , 0 , 2 )

Como u^ ( 3 , 2 , 5 ), temos

u^  32  22  52

Vamos elevar cada termo ao quadrado

u^  9  4  25

e, em seguida, efetuar a somas indicadas

u^  38

Calculando a raiz quadrada de 38, temos

u^  4 , 24

Finalmente, a distância entre A e r é

4 , 24

d ( A , r )

O que resulta em d ( A , r ) 4 , 25

5. Encontre a distância entre o ponto D =(4, 1, 6) e o plano α:2 x +3 y + z -2=0.

Resolução: Podemos calcular a distância entre D e α utilizando a fórmula

2 2 2 ( ,) |^000 | a b c

d ax by cz d D       

onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas de D e a , b , c e d são os coeficientes de :2 x +3 y + z -2=0, ou seja, x 0 =4, y 0 =1 e z 0 =6 e a =2, b =3, c =1 e d= -2. ( ,) ( 2 ) (^2) ( 3 ) (^2) ( 1 ) 2

dD      

Primeiro, vamos efetuar as multiplicações e as potências indicadas

4 9 1

d D 

Vamos agora somar os termos que constam no numerador e também no denominador

14

d ( D ,  )|^15 |

Como |15|=15, temos

14

d ( D ,  )

Finalmente, vamos racionalizar o denominador. Para isso, basta multiplicarmos

numerador e denominador por 14

.^14

d ( D ,  )^15

Como 15. 14  15 14 e 14. 14  142  14 , temos

14

d ( D ,  )

Multiplicando 15 por 14 e dividindo o resultado por 14, a distância entre D e α é igual a d ( D , ) 4 , 01

6. Qual é a equação reduzida de uma circunferência com centro em C =(2, 2) e raio r =4?

Resolução:

A equação reduzida de uma circunferência corresponde a ( x  x 0 )^2 ( y  y 0 )^2  R^2

Como C =(2, 2), temos

( x  2 )^2 ( y  2 )^2  42

7. Determine a equação geral de uma circunferência com centro em C =(1, 3) e raio r =3?

Resolução:

Para obtermos a equação geral de uma circunferência, inicialmente vamos considerar a equação reduzida ( x  x 0 )^2 ( y  y 0 )^2  R^2

Vamos agora somar 8 com 10 ( x+ 1)^2 + ( y +3)^2 = Como a equação obtida possui o formato ( x  x 0 )^2 ( y  y 0 )^2  R^2 , trata-se de

uma circunferência de raio R  18 e centro em (-1, -3).

9. A figura abaixo apresenta uma elipse com centro na origem, semi-eixo vertical igual a 3 e semi-eixo horizontal igual a 4.

Com base nessas informações, determine a equação canônica dessa elipse.

Resolução:

A equação canônica da elipse é

( ) ( 2 ) 1 0 2 2 0 2 x  ax  y  by 

onde x 0 e y 0 são as coordenadas do centro da elipse e a e b são os semi-eixos da elipse. Substituindo x 0 e y 0 por 0 e 0, respectivamente e a e b por 4 e 3, respectivamente, temos

( 40 ) ( 320 ) 1 2 2

2 x  (^)  y  

o que resulta em

16 9 1

2 2 x  y 

que é a equação canônica da elipse dada.

10. Determine qual é a cônica de equação 25 x^2 +9 y^2 +100 x +18 y -116=0. Resolução: Para sabermos qual é a cônica cuja equação é 25 x^2 +9 y^2 +100 x +18 y -116= precisamos encontrar a sua forma padrão. Inicialmente vamos agrupar os termos em x e os termos em y. 25 x^2 +100 x +9 y^2 +18 y -116= Podemos agora, em relação aos termos em x , colocar 25 em evidência. Em relação aos termos em y , podemos colocar 9 em evidência. 25( x^2 +4 x )+9( y^2 +2 y )-116= Vamos agora acrescentar 4 e -4 ao termo ( x^2 +4 x ) e vamos também acrescentar 1 e -1 ao termo ( y^2 +2 y ). 25( x^2 +4 x +4-4)+9( y^2 +2 y +1-1)-116= Com isso, podemos utilizar os produtos notáveis para simplificarmos esses termos. A seguir iremos colocar parênteses nos termos a serem simplificados para que possamos visualizar melhor. 25(( x^2 +4 x +4)-4)+9(( y^2 +2 y +1)-1)-116= Podemos escrever x^2 +4 x +4 como ( x +2)^2 e y^2 +2 y +1 como ( y +1)^2. 25(( x +2)^2 -4)+9(( y +1)^2 -1)-116= Multiplicando 25 por ( x +2)^2 e por -4 e multiplicando 9 por ( y +1)^2 e por -1 temos 25( x +2)^2 -100+9( y +1)^2 -9-116= Vamos agora somar os termos -100, -9 e - 25( x +2)^2 +9( y +1)^2 -225= Somando 225 nos dois membros, temos 25( x +2)^2 +9( y +1)^2 = Vamos agora dividir os dois membros por 225

225

25 ( x  2 )^2  y ^2 

Logo, temos

a equação canônica da hipérbole em questão.

12. Determine a equação da parábola apresentada abaixo.

Resolução: Observando o gráfico, a parábola passa pelos pontos (0, 0), (5, 12) e (10, 0). Para que possamos encontrar a equação dessa parábola, vamos substituir cada um desses pontos na equação y = ax^2 + bx + c.

Para o ponto (0, 0), temos y = ax^2 + bx + c 0= a (0)^2 + b (0)+ c 0=0+0+ c 0= c c =

Para o ponto (5, 12), temos y = ax^2 + bx + c

12= a (5)^2 + b (5)+ 12= a (25)+ b (5)+ 12=25 a +5 b Ou, de maneira equivalente, 25 a +5 b =

Note que obtivemos uma equação linear com duas incógnitas. Como há uma infinidade de soluções para essa equação, no momento não é possível encontrar os valores de a e de b , mas iremos utilizá-la depois.

Para o ponto (10, 0), temos y = ax^2 + bx + c 0= a (10)^2 + b (10)+ 0= a (100)+ b (10)+ 0=100 a +10 b Ou, de maneira equivalente, 100 a +10 b =

Para encontrarmos os valores de a e b , vamos resolver o sistema de equações

a b

a b

Há várias possibilidades de resolução desse sistema. Vamos utilizar o método da adição. Observe que 100:25=4. Logo, se multiplicarmos a primeira equação por -4 será possível zerarmos o coeficiente de a ao somarmos as duas equações.

25 5 12 x( 4 ) a b

a b

Multiplicando cada termo da primeira equação por -4 temos

a b

a b