Baixe Introdução aos Juros Simples e Compostos: Conceitos, Aplicações e Exemplos e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity!
TERMOS USADOS
i = do inglês Interest , é usado para representar os juros envolvidos em quaisquer operações financeiras. C = do inglês Capital é usado para representar o Capital utilizado numa aplicação financeira. M = do inglês amount é usado para representar o Montante que é o resultado da soma do Capital com os juros. n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) Referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão: "levou n dias para devolver o dinheiro..." a.d. = abreviação usada para designar ao dia a.m. = abreviação usada para designar ao mês a.a. = abreviação usada para designar ao ano d = do inglês Discount é usado para representar o desconto conseguido numa aplicação financeira. N = do inglês Nominal é usado para representar o valor Nominal ou de face de um documento financeiro. A = do inglês Actual é usado para representar o valor real ou atual de um documento financeiro em uma determinada data. V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou anuidades T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou anuidades an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos.
CONVERSÃO DE DATAS
Suponha que você faça um crediário no dia 10 e , claro, precisa calcular quantos dias restam até o final do mês. "Ora (Pensa você) é só verificar qual dia termina o mês ( se dia 28, 30 ou 31) e subtrair a diferença. Bico!" Você estará , na verdade, 50% certo. Na verdade, existem 2 métodos para calcular um intervalo entre duas datas: Tempo exato : é o referido acima. Você verifica em que dia , exato, termina o prazo que você tem e calcula a diferença. Por exemplo, entre 25 de abril e 27 de setembro você tem 155 dias. Tempo aproximado ou comercial : é aquele no qual assumimos que cada mês possui 30 dias. Assim, seguindo o intervalo de datas acima temos decorridos 5 meses de 25 de abril a 25 de setembro ( ou seja 150 dias ) mais 2 dias até 27 de setembro e temos como total 152 dias. A diferença, é claro, acaba sendo mínima mas quando altas quantias estão envolvidas, um dia faz muita diferença. Lembre-se que , para fins de equivalência/proporcionalidade, um ano tem 12 meses e um mês tem 30 dias.
JUROS SIMPLES
JUROS SIMPLES
É composto da seguinte fórmula: j = C.i.n Exemplo Você pediu a seu chefe um empréstimo de $ 10.000,00 e ele, que não é bobo, vai lhe cobrar uma taxa de juros de 5% ao mês, sobre o capital inicial. 6 meses depois você quita sua dívida. Quanto a mais você terá de pagar, a título de juros? Aplicando a fórmula: j :? C: R$10.000, i :5%a.m. n :6meses Logo : j=10000. 0,05.6 resultando R$ 3.000,00 de juros pagos (Whoa!). Quase um terço do total emprestado Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas. Pelo exemplo acima, fica evidenciado que mesmo taxas pequenas, se forem aplicadas por um período mais ou menos longo, pode causar um verdadeiro prejuízo ao bolso. Um grande exemplo do dia-a- dia? Cre-di-á-rio!
VALOR ATUAL / NOMINAL
O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o cálculo de Juros Simples, ou seja, é o valor final após calcular o desconto. Seguindo o exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de R$ 50.000, e o desconto incidente foi de R$ 5.500,00 ( ou seja , A = N-d ). Logo, o Valor Atual é de R$ 44.500,00. Bico, não? A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é: A = N. (1-i.n) Exemplo Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as suas parcelas restantes do seu consórcio, num valor total de $ 70.000,00. Faltam 5 parcelas mensais e o desconto será de um 1% a.m. Quanto você terá de pagar em cash? Aplicando a fórmula: A = o que você quer descobrir N =70.000, i =1% a.m. n =5 meses Logo: A=70000. (1 - 0,01.5) resultando R$ 66.500,.
TAXAS EQUIVALENTES
Em linguagem simples, são duas taxas ou mais taxas que, quando aplicadas, em determinado lapso de tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo valor. Digamos assim: você tem uma aplicação que rende 1 % a.m. se você aplicar durante 6 meses. E você tem outra que rende 12 % a.a. se você aplicar durante um ano. Qual é mais vantajosa? É tudo a mesma coisa, ou seja, elas são equivalentes, ou não? Ou será que é melhor pagar antecipadamente uma dívida ou aplicar o dinheiro e pagá-la no vencimento previsto? Muitas vezes você vai ouvir sobre Taxas Nominais, Taxas Efetivas, Taxas Reais e Aparentes. Mas, afinal, do que se trata tudo isso? Vamos lá: Taxa Nominal
- é quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referenciada.
- quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 35% ao ano só que a capitalização é mensal ou que a aplicação financeira é de 0,85% ao mês só que a capitalização é diária, como os FIFs ou FAQs, de capitalização diária, dos bancos. Taxa Efetiva
- quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital coincidem com aquele a que a taxa está referenciada.
- quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 1 % ao mensal e capitalização é mensal, como a poupança. Taxa Real
- é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período. Seguindo o exemplo da poupança, quando o Governo diz que a poupança tem um rendimento real de 0,5% ao mês (taxa aparente), significa que seu dinheiro foi corrigido primeiro pela inflação do período e sobre este montante foi aplicado 0,5%. Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples É só pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividí-la) pelo período correspondente ao que deseja descobrir. Exemplo: Você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente ao ano. Um ano tem 12 meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a. O inverso também é verdadeiro: você tem uma taxa de 15% a.m. e quer saber quanto é ao dia. É só dividir 15% por 30 dias e você tem 0,5% a.d. Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto Se você quer passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior", como de mês para ano, você eleva a taxa de juros pelo número de períodos correspondente. Se for o contrário, como por exemplo de ano para mês, você eleva ao inverso do período. De a. m. para a.a.= > ia= (1+im)12- De a.d. para a.m. = > im= (1+id)30- De a.d. para a.a. = > ia= (1+id)360- De a.a. para a.m. => im= (1+ia)1/12- De a.m. para a.d. = > ia= (1+im)1/30- De a.a para ad. = > id= (1+ia)1/360- Exemplo : Você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente ao mês. Usando a fórmula dá aproximadamente 1,81% a.m. Faça uma prova de confirmação: use as duas taxas sobre um valor simples como R$ 1.000,00 e veja se o resultado é igual. Equivalência entre uma aplicação e um desconto no regime de juros simples Há ocasiões em que será necessário verificar se a taxa de juros aplicada a um capital e a taxa de juros aplicada para fins de desconto são equivalentes. Isso é fundamental para decidir se vale a pena pagar antes, aplicar , reinvestir , etc.. A fórmula para determinar uma taxa equivalente é : Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente:
DESCONTO COMPOSTO
O conceito de desconto em juro composto é similar ao de desconto em juro simples. A fórmula é: A= N. 1/ (1+i)n No final deste texto existe uma tabela com o cálculo dos fatores (1+i)n. Exemplo Suponhamos que você quer descontar um título de $ 25.000,00 , 2 meses antes do vencimento, de um banco que utiliza uma taxa de juro composto de 3% a.m.Calcule o valor atual do título. Aplicando a fórmula: A - o que você quer saber N - 25.000, i - 3 % - 0,03 n - 2 Logo : 25000.1/ (1+0,03)2 => 23.564, RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto a nível de financiamentos quanto de investimentos. Se a renda possui um número finito de termos será chamada de temporária caso contrário é chamada de permanente. Agora, se os termos da renda certa forem iguais é chamada de renda certa de termo constante ou renda certa uniforme ; senão é uma renda certa de termo variável Finalmente, quando o período entre as datas correspondentes aos termos tiver o mesmo intervalo de tempo, diz-se que a renda certa é periódica ; caso contrário é não periódica. Exemplo
- Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável (sujeito à variação da TR) e periódica.
- Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo constante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica.
- Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua (pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação), de termo variável e periódica. As rendas periódicas podem ser divididas em : Postecipadas Antecipadas Diferidas As Postecipadas são aquelas na qual o pagamento no fim de cada período e não na origem. Exemplo: pagamento de fatura de cartão de crédito As Antecipadas são aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. Exemplo: financiamentos com pagamento à vista E as Diferidas são aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após um determinado período. Exemplo : promoções do tipo, compre hoje e pague daqui a x dias Os cálculos envolvendo renda certa lembram os cálculos de Juros Compostos e Descontos Compostos comentados em capítulos anteriores. Em linguagem leiga, a diferença entre esses e os casos de Renda Certa, é que nesse último você calcula quanto teve de juros , sobre uma base de cálculo fixa, podendo a mesma ser dividida em n parcelas ; no caso dos Juros Compostos e Descontos Compostos, a base de cálculo varia por período. CALCULANDO VALOR ATUAL EM CASOS DE RENDAS CERTAS Trabalharemos aqui com cálculos de renda certas do tipo periódicos , de termos constantes e temporários , os quais são , usualmente, os mais pedidos em concursos. Para se calcular o Valor Atual num caso de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada depende de ser postecipada , antecipada ou diferida. Assim, se for: Postecipada a fórmula é : V=T.an¬i Antecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬i Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)m m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é diferida de 3 meses, m será 2. Para saber o valor de an¬i, você pode: -usar astabelas -calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + i )n. Exemplo
Antecipada : subtraia 1 de n diferenciada : após determinar Sn¬i, divida o resultado por (1+i)m SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações nas quais as cotas de amortização são sempre constantes. Ou seja, o principal da dívida é dividido pela quantidade de períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos existentes mês a mês. A soma do valor de amortização mais o dos juros é que fornecerá o valor da prestação. Não há necessidade de fórmulas complicadas, mas você precisará montar uma planilha em situações de períodos mais ou menos longos. Esse tipo de empréstimo é usado pelo SFH e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. Exemplo Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal. O valor da amortização é calculado dividindo-se o principal pela quantidade de períodos, ou seja, 300.000 por 5, o que perfaz 60. Os juros são calculados sobre os saldos da prestação desta forma: Os saldos são calculados subtraindo-se apenas o valor da amortização. Por exemplo, no primeiro mês você pagará $ 72.000,00 de prestação, mas do saldo devedor será subtraído apenas o valor da amortização que é $ 60.000,00. Ou seja, você ao final você pagará $ 336.000,00 em 5 prestações, sendo a primeira de $ 72.000,00, a segunda de $ 69.600,00, a terceira de $ 67.200,00, a quarta de $ 64.800 e a quinta de $ 62.400,00. Disso, $ 300.000, 00 corresponde ao principal e $ 36.000,00 aos juros.
SISTEMA PRICE DE AMORTIZAÇÃO
Batizado em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos, no século XVIII, é uma variante do Sistema Francês. O sistema Price caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais mensais, periódicas e sucessivas. A prestação é calculada pela fórmula: T. an¬i Os juros são calculados sobre o saldo devedor e o valor da amortização é a diferença entre o valor dos juros e da prestação. Exemplo Na compra de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal: Aplicando a fórmula: F= T. an¬i 300000=T. a5¬4% T=67.388, Ou seja, ao final você pagará R$ 336.940,65 em 5 prestações, correspondente R$ 300.000,00 ao valor de amortização e R$ 36.940,65 aos juros. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) Esse sistema é baseado no SAC E no Sistema Price. Nesse caso, a prestação é igual à média aritmética entre as prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições. Exemplo Na compra de um big de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal: Esse problema já foi resolvido pelos outros dois sistemas, logo, tudo o que se tem a fazer é somar os valores das prestações dos dois casos e dividir por dois.
Ou seja, você ao final você pagará $ 360.000,00 em 5 prestações, correspondendo $ 300.000,00 ao valor de amortização, paga de uma única vez ao final do período e $ 60.000,00 de juros, pagos em 5 prestações iguais de $ 12.000, Há casos em que o cliente , não desejando pagar de uma só vez o valor do principal, negocia com o banco a criação de um fundo de amortização denominado SINKING FUND de forma que, ao final do período, o total de fundo seja igual ao valor a pagar. Um tipo de caderneta de poupança forçada vamos assim dizer. A prestação é calculada pela fórmula : M=T. Sn¬i Ou se você preferir, divida o principal pelo número de prestações, que você terá o valor do depósito mensal a ser feito. Fator de Acumulação de Capital an= (1+i)n n i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1, 100200300400500600700800900000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1,0 1,0 1,0 1,0 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1, 201404609816025236449664881100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabelas Fator de Valor Atual de uma série de Pagamentos an¬i=(1+i)n-1 / i(1+i)n* n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0, 900803708615523433345259174090 99 92 74 38 81 96 79 26 31 91 2 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,7 1,7 1, 703415134860594333080832591355 95 61 70 95 10 93 18 65 11 37 3 2,9 2,8 2,8 2,7 2,7 2,6 2,6 2,5 2,5 2, 409838286750232730243770312868 85 83
Fator de Acumulação de Capital de uma série de Pagamentos Sn¬i= (1+i)n-1 / i n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1, 000000000000000000000000000000 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
