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MATEM ATICA A - 12´
o
Ano
N
o
s Complexos - Conjuntos e condi¸c˜oes
Exerc´ıcios de exames e testes interm´edios
- Considere em C, conjunto dos n´umeros complexos, a condi¸c˜ao
0 ≤ arg (z) ≤
π 4
∧ 1 ≤ Re (z) ≤ 5
Esta condi¸c˜ao define uma regi˜ao no plano complexo.
Qual dos seguintes n´umeros complexos tem a sua imagem geom´etrica nesta regi˜ao?
(A) 3 + 4i (B) 6 + 2i (C) 2 cis
13 π 6
(D) cis
π 6
Exame – 2016, ´Ep. especial
- Na figura ao lado, est´a representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado ´e paralelo a um eixo.
Os v´ertices deste quadrado s˜ao as imagens geom´etricas dos complexos z 1 , z 2 , z 3 e z 4
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e falsa?
(A) |z 3 − z 1 | = |z 4 − z 2 | (B) z 1 + z 4 = 2 Re (z 1 )
(C)
z 4 i
= z 1 (D) −z 1 = z 2
Re(z)
Im(z)
O
z 2 z 1
z 3 z 4
Exame – 2015, ´Ep. especial
- Na figura seguinte, est´a representado, no plano complexo, um triˆangulo equil´atero [OAB]
Sabe-se que:
- o ponto O ´e a origem do referencial;
- o ponto A pertence ao eixo real e tem abcissa igual a 1
- o ponto B pertence ao quarto quadrante e ´e a imagem geom´etrica de um complexo z Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) z =
3 cis
11 π 3
(B) z = cis
11 π 6
(C) z =
3 cis
5 π 3
(D) z = cis
5 π 6
Re(z)
Im(z)
O A
B
Exame – 2015, 2a^ Fase
- Considere em C, conjunto dos n´umeros complexos, a condi¸c˜ao
|z + 4 − 4 i| = 3 ∧
π 2
≤ arg (z) ≤
3 π 4 No plano complexo, esta condi¸c˜ao define uma linha. Qual ´e o comprimento dessa linha?
(A) π (B) 2 π (C) 3 π (D) 4 π
Exame – 2015, 1a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representadas, no plano complexo, duas semirretas OA˙ e OB˙ e uma circunferˆencia de centro C e raio BC
Sabe-se que:
- O ´e a origem do referencial;
- o ponto A ´e a imagem geom´etrica do complexo
- o ponto B ´e a imagem geom´etrica do complexo
− 2 i
- o ponto C ´e a imagem geom´etrica do complexo 2i (^) A Re(z)
Im(z)
O
B C A
Considere como arg (z) a determina¸c˜ao que pertence ao intervalo [−π,π[
Qual das condi¸c˜oes seguintes define a regi˜ao sombreada, excluindo a fronteira?
(A) |z − 2 i| <
π 4
< arg (z) <
3 π 4
(B) |z − 2 i| <
π 3
< arg (z) <
2 π 3
(C) |z − 2 i| >
π 3
< arg (z) <
2 π 3
(D) |z − 2 i| >
π 4
< arg (z) <
3 π 4 Exame – 2014, 2a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere w = (1 + i)^2013 A qual dos conjuntos seguintes pertence w?
(A) {z ∈ C : |z| < |z + 1|} (B) {z ∈ C : |z| ≤
(C) {z ∈ C : z = z} (D) {z ∈ C : Re(z) = Im(z)}
Exame – 2013, ´Ep. especial
- Na figura ao lado, est´a representada, a sombreado, no plano com- plexo, parte de uma coroa circular. Sabe-se que: - O ´e a origem do referencial; - o ponto Q ´e a imagem geom´etrica do complexo −1 + i - a reta P Q ´e paralela ao eixo real; - as circunferˆencias tˆem centro na origem; - os raios das circunferˆencias s˜ao iguais a 3 e a 6 Considere como arg (z) a determina¸c˜ao que pertence ao intervalo [−π,π[ Qual das condi¸c˜oes seguintes pode definir, em C, conjunto dos n´umeros complexos, a regi˜ao a sombreado, incluindo a fronteira?
Re(z)
Im(z)
P^ Q
R
(A) 3 ≤ |z| ≤ 6 ∧ −π ≤ arg (z − 1 + i) ≤
3 π 4 (B) 9 ≤ |z| ≤ 36 ∧ −π ≤ arg (z + 1 − i) ≤
3 π 4
(C) 3 ≤ |z| ≤ 6 ∧ −π ≤ arg (z + 1 − i) ≤
3 π 4 (D) 9 ≤ |z| ≤ 36 ∧ −π ≤ arg (z − 1 + i) ≤
3 π 4
Exame – 2012, 1a^ Fase
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos.
Considere z 2 = cis
( (^) π 4
No plano complexo, a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao |z − z 2 | ≤ 1 ∧
π 2
≤ arg (z) ≤ 2 π ∧ |z| ≥ |z − z 2 | est´a representada geometricamente numa das op¸c˜oes I, II, III e IV, apresentadas a seguir. (Considere como arg (z) a determina¸c˜ao que pertence ao intervalo ]0, 2 π]) Sabe-se que, em cada uma das op¸c˜oes:
- O ´e a origem do referencial;
- C ´e a imagem geom´etrica de z 2
- OC ´e o raio da circunferˆencia.
Apenas uma das op¸c˜oes est´a correcta.
(I) (II)
Re(z)
Im(z)
C
Re(z)
Im(z)
C
(III) (IV)
Re(z)
Im(z)
C
Re(z)
Im(z)
C
Sem recorrer `a calculadora, elabore uma composi¸c˜ao na qual:
- indique a op¸c˜ao correta;
- apresente as raz˜oes que o levam a rejeitar as restantes op¸c˜oes.
Apresente trˆes raz˜oes, uma por cada op¸c˜ao rejeitada.
Exame – 2011, ´Ep. especial
- Na figura ao lado, est´a representada uma regi˜ao do plano complexo. O ponto A tem coordenadas (2, − 1). Qual das condi¸c˜oes seguintes define em C, conjunto dos n´umeros complexos, a regi˜ao sombreada, incluindo a fronteira?
(A) |z − 1 | ≥ |z − (2 − i)| ∧ Re (z) ≤ 2 ∧ Im (z) ≥ − 1
(B) |z − 1 | ≤ |z − (2 − i)| ∧ Re (z) ≤ 2 ∧ Im (z) ≥ − 1
(C) |z + 1| ≥ |z − (2 + i)| ∧ Re (z) ≤ 2 ∧ Im (z) ≥ − 1
(D) |z + 1| ≥ |z − (2 + i)| ∧ Im (z) ≤ 2 ∧ Re (z) ≥ − 1
Re(z)
Im(z)
Exame – 2009, 2a^ Fase
- Seja b um n´umero real positivo, e z 1 = bi um n´umero complexo. Em qual dos triˆangulos seguintes os v´ertices podem ser as imagens geom´etricas dos n´umeros complexos z1, (z1)^2 e (z1)^3?
(A) (B)
Re(z)
Im(z)
(^0) Re(z)
Im(z)
(C) (D)
Re(z)
Im(z)
(^0) Re(z)
Im(z)
Exame – 2009, 1a^ Fase
- Qual das seguintes condi¸c˜oes, na vari´avel complexa z, define, no plano complexo, uma circunferˆencia?
(A) |z + 4| = 5 (B) |z| = |z + 2i| (C) 0 ≤ arg (z) ≤ π (D) Re (z) + Im (z) = 2
Exame – 2008, ´Ep. especial
- Considere a figura ao lado, representada no plano complexo.
Qual ´e a condi¸c˜ao, em C, que define a regi˜ao sombreada da figura, incluindo a fronteira?
(A) Re (z) ≤ 3 ∧ − π 4
≤ arg (z) ≤ 0
(B) Re (z) ≤ 3 ∧ 0 ≤ arg (z) ≤ π 4 (C) Im (z) ≤ 3 ∧ − π 4
≤ arg (z) ≤ 0
(D) Re (z) ≥ 3 ∧ −
π 4
≤ arg (z) ≤ 0
Re(z)
Im(z)
Exame – 2008, 2a^ Fase
- Considere, em C, a condi¸c˜ao z + z = 2. Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definidos por esta condi¸c˜ao? (A) (B)
Re(z)
Im(z)
Re(z)
Im(z)
(C) (D)
Re(z)
Im(z)
Re(z)
Im(z)
Exame – 2008, 1a^ Fase
- Seja C 0 conjunto dos n´umeros complexos; i designa a unidade imagin´aria.
Seja B a regi˜ao do plano complexo definida pela condi¸c˜ao
|z| ≤ 2 ∧ Re (z) ≥ 0 ∧ |z − 1 | ≤ |z − i|
Represente graficamente B e determine a sua ´area.
Exame – 2006, ´Ep. especial
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere w = 1 + 2i Considere, no plano complexo, a circunferˆencia de centro na imagem geom´etrica de w e que passa na origem do referencial. Defina, por meio de uma condi¸c˜ao em C, a parte desta circunferˆencia ’ que est´a contida no quarto quadrante (eixos n˜ao inclu´ıdos).
Exame – 2003, Prova para militares
- Considere, em C, a condi¸c˜ao:
|z| ≤ 3 ∧ 0 ≤ arg z ≤
π 4
∧ Re z ≥ 1
Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por esta condi¸c˜ao?
(A) (B) (C) (D)
Re(z)
Im(z)
(^0) Re(z)
Im(z)
(^0) Re(z)
Im(z)
(^0) Re(z)
Im(z)
Exame – 2003, 1a^ fase - 2a^ chamada
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z 1 = 2 − 2 i e z 3 = −1 + i Escreva uma condi¸c˜ao em C que defina, no plano complexo, a circunferˆencia que tem centro na imagem geom´etrica de z 1 e que passa na imagem geom´etrica de z 3
Exame – 2003, 1a^ fase - 1a^ chamada
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, seja z 1 = 1 − i (i designa a unidade imagin´aria). Represente, no plano complexo, a regi˜ao do plano definida por
0 ≤ arg (z − z 1 ) ≤
3 π 4 ∧ |z − z 1 | ≤ 1
Exame – 2002, Prova para militares
- Qual das figuras seguintes pode ser a representa¸c˜ao geom´etrica, no plano complexo, do conjunto {z ∈ C : |z + 1| = |z − i| ∧ 2 ≤ Im (z) ≤ 4 }? (A) (B)
Re(z)
Im(z)
(^0) Re(z)
Im(z)
(C) (D)
Re(z)
Im(z)
(^0) Re(z)
Im(z)
Exame – 2002, 1a^ fase - 2a^ chamada
- Qual das seguintes condi¸c˜oes define, no plano complexo, o eixo imagin´ario?
(A) z + z = 0 (B) Im (z) = 1 (C) |z| = 0 (D) z − z = 0
Exame – 2002, 1a^ fase - 1a^ chamada
- Qual das figuras seguintes pode ser a representa¸{ c˜ao geom´etrica, no plano complexo, do conjunto
z ∈ C : |z| ≤ 1 ∧ arg(z) =
π 2
(A) (B) (C) (D)
Re(z)
Im(z)
0 Re(z)
Im(z)
0 Re(z)
Im(z)
0 Re(z)
Im(z)
Exame – 2001, ´Ep. especial
- Considere, no plano complexo, o quadrado [ABCD].
Os pontos A e C pertencem ao eixo imagin´ario, e os pontos B e D pertencem ao eixo real.
Estes quatro pontos encontram-se `a distˆancia de uma unidade da origem do referencial.
Defina, por meio de uma condi¸c˜ao em C, a circunferˆencia inscrita no quadrado [ABCD].
Re(z)
Im(z)
A
B
C
D
Exame – 2000, 1a^ fase - 2a^ chamada
- Seja A o conjuntos dos n´umeros complexos cuja imagem, no plano complexo, ´e o interior do c´ırculo de centro na origem do referencial e raio 1.
Defina, por meio de uma condi¸c˜ao em C, a parte de A contida no segundo quadrante (excluindo os eixos do referencial).
Exame – 2000, 1a^ fase - 1a^ chamada
