Baixe Exercícios de Exames e Testes Intermédios de Matemática A - 12º Ano: Números Complexos e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
MATEM ATICA A - 12´
o
Ano
N
o
s Complexos - Equa¸c˜oes e problemas
Exerc´ıcios de exames e testes interm´edios
- Seja ρ um n´umero real positivo, e seja θ um n´umero real pertencente ao intervalo ]0,π[
Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z =
−1 + i (ρ cis θ)^2
e w = −
2 i
Sabe-se que z = w
Determine o valor de ρ e o valor de θ Exame – 2016, 2a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere
z 1 =
8 cis θ 1 −
3 i
e z 2 = cis (2θ)
Determine o valor de θ pertencente ao intervalo ]o,π[ de modo que z 1 × z 2 seja um n´umero real. Exame – 2016, 1a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z =
−2 + 2i^19 √ 2 cis θ Determine os valores de θ pertencentes ao intervalo ]0, 2 π[, para os quais z ´e um n´umero imagin´ario puro. Na resolu¸c˜ao deste item, n˜ao utilize a calculadora. Exame – 2015, 1a^ Fase
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos. Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora.
4.1. Considere z 1 =
1 − i 2 i
− i−^1 e z 2 = cis
π 4
Averigue se a imagem geom´etrica do complexo (z 1 )^4 ×z 2 pertence `a bissetriz dos quadrantes ´ımpares. 4.2. Considere o n´umero complexo w = sen (2α) + 2i cos^2 α com α ∈
]
π 2
[
Escreva w na forma trigonom´etrica.
Exame – 2014, ´Ep. especial
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos.
5.1. Considere z = 2 cis
( (^) π 6
e w =
(z − i)^4 1 + zi No plano complexo, seja O a origem do referencial. Seja A a imagem geom´etrica do n´umero complexo z e seja B a imagem geom´etrica do n´umero com- plexo w Determine a ´area do triˆangulo [AOB], sem utilizar a calculadora.
5.2. Seja α ∈]0,π[ Resolva, em C, a equa¸c˜ao z^2 − 2 cos αz + 1 = 0 Apresente as solu¸c˜oes, em fun¸c˜ao de α, na forma trigonom´etrica.
Exame – 2014, 2a^ Fase
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos.
6.1. Considere z 1 =
3 i
1 − i
e z 2 = cis α, com α ∈ [0,π[ Determine os valores de α, de modo que z 1 × (z 2 )^2 seja um n´umero imagin´ario puro, sem utilizar a calculadora. 6.2. Seja z um n´umero complexo tal que |1 + z|^2 + | 1 − z|^2 ≤ 10 Mostre que |z| < 2 Exame – 2014, 1a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z 1 =
3 i
1 + 2i cis
5 π 6
Seja z = cis θ, com θ pertencente a [0, 2 π[ Determine θ de modo que
z z 1 seja um n´umero real negativo, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2013, ´Ep. especial
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos. Considere z 1 =
3 i 2
iz 1 Determine, sem utilizar a calculadora, o menor n´umero natural n tal que (z 2 )n^ ´e um n´umero real negativo. Exame – 2013, 2a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z 2 = 1 + i Seja z 3 = cis α Determine o valor de α pertencente ao intervalo ] − 2 π, − π[ sabendo que z 3 + z 2 ´e um n´umero real. Exame – 2013, 1a^ Fase
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos; i designa a unidade imagin´aria.
Mostre, sem recorrer `a calculadora, que o n´umero 2 cis
π 10
´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao z^6 × z = 128i z designa o conjugado de z Teste Interm´edio 12o^ ano – 24.05.
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos. Seja w um n´umero complexo n˜ao nulo. Mostre, sem recorrer `a calculadora, que, se o conjugado de w ´e igual a metade do inverso de w, ent˜ao a
imagem geom´etrica de w pertence `a circunferˆencia de centro na origem e de raio
Exame – 2012, ´Ep. especial
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos.
Seja α ∈
] (^) π 4
π 2
[
Sejam z 1 e z 2 dois n´umeros complexos tais que z 1 = cis α e z 2 = cis
α +
π 2
Mostre, analiticamente, que a imagem geom´etrica de z 1 +z 2 , no plano complexo, pertence ao 2.o^ quadrante. Exame – 2012, 2a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z 1 = (−2 + i)^3 e z 2 =
1 + 28i 2 + i
13.1. Resolva a equa¸c˜ao z^3 + z 1 = z 2 , sem recorrer `a calculadora. Apresente as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao na forma trigonom´etrica. 13.2. Seja w um n´umero complexo n˜ao nulo. Mostre que, se w e
w
s˜ao ra´ızes de ´ındice n de um mesmo n´umero complexo z, ent˜ao z = 1 ou z = − 1
Exame – 2012, 1a^ Fase
- Determine o valor de θ, pertencente ao intervalo
[
π 2
]
, de modo que a imagem geom´etrica do n´umero complexo (2 cis θ)^2 × (1 +
3 i) perten¸ca `a bissetriz do 3.o^ quadrante.
Exame – 2009, ´Ep. especial
- Seja k um n´umero real, e z 1 = (k − i)(3 − 2 i) um n´umero complexo. Qual ´e o valor de k, para que z 1 seja um n´umero imagin´ario puro?
(A) −
(B) −
(C)
(D)
Exame – 2009, 2a^ Fase
- Considere, em C, um n´umero complexo w, cuja imagem geom´etrica no plano complexo ´e um ponto A, situado no 1.o^ quadrante. Sejam os pontos B e C, respectivamente, as imagens geom´etricas de w (conjugado de w) e de (−w). Sabe-se que BC = 8 e que |w| = 5. Determine a ´area do triˆangulo [ABC]. Exame – 2009, 2a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z 2 = cis
π
Determine o menor valor de n ∈ N, tal que (−iz 2 )n^ = −1. Exame – 2009, 1a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, sejam os n´umeros z 2 = 8 cis
π 4
(i designa a unidade ima- gin´aria). Considere o n´umero complexo z = z 2. No plano complexo, sejam A e B as imagens geom´etricas de z e de z 2 , respetivamente. Determine a ´area do triˆangulo [AOB], em que O ´e a origem do referencial.
Exame – 2008, ´Ep. especial
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z 1 = 1 −
3 i (i designa a unidade imagin´aria). No plano complexo, sejam A e B as imagens geom´etricas de z 1 e de z 2 = z 1 .i^46 , respetivamente. Determine o comprimento do segmento [AB]. Exame – 2008, 1a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, sejam:
z 1 = 3 + yi e z 2 = 4iz 1
(i ´e a unidade imagin´aria e y designa um n´umero real). Sabendo que Im (z 1 ) = Im (z 2 ), determine z 2. Apresente o resultado na forma alg´ebrica. Exame – 2007, 2a^ fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z = cis α
α ∈
]
π 2
[)
27.1. Na figura ao lado est´a representado, no plano complexo, o parale- logramo [AOBC] A e B s˜ao as imagens geom´etricas de z e z, respetivamente. C ´e a imagem geom´etrica de um n´umero complexo w. Justifique que w = 2 cos α
Re(z)
Im(z)
O
A
B
C
27.2. Determine o valor de α ∈
]
π 2
[
para o qual
z^3 i ´e um n´umero real.
Exame – 2007, 1a^ fase
- Seja C 0 conjunto dos n´umeros complexos; i designa a unidade imagin´aria.
Considere a equa¸c˜ao iz^3 −
3 − i = 0 Uma das solu¸c˜oes desta equa¸c˜ao tem a sua imagem geom´etrica no terceiro quadrante do plano complexo. Sem recorrer `a calculadora, determine essa solu¸c˜ao, escrevendo-a na forma trigonom´etrica.
Exame – 2006, ´Ep. especial
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos; i designa a unidade imagin´aria. Seja z um n´umero complexo cuja imagem geom´etrica, no plano complexo, ´e um ponto A situado no primeiro quadrante. Seja B a imagem geom´etrica de z, conjugado de z. Seja O a origem do referencial. Sabe-se que o triˆangulo [AOB] ´e equil´atero e tem per´ımetro 6. Represente o triˆangulo [AOB] e determine z na forma alg´ebrica.
Exame – 2006, 2a^ fase
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos; i designa a unidade imagin´aria.
Considere z 1 = cis (α) e z 2 = cis
( (^) π 2
− α
Mostre que a imagem geom´etrica, no plano complexo, de z 1 + z 2 pertence `a bissetriz dos quadrantes ´ımpares.
Exame – 2005, 1a^ fase
- De dois n´umeros complexos, z 1 e z 2 , sabe-se que um argumento de z 1 ´e
π 4
e que o m´odulo de z 2 ´e 3
Na figura ao lado est´a representado, no plano complexo, um retˆangulo. Sabe-se que:
- o ponto O ´e a origem do referencial
- o ponto P ´e a imagem geom´etrica de z 1
- o ponto R ´e a imagem geom´etrica de z 2
- o retˆangulo [OP QR] tem ´area 6 Determine os n´umeros complexos z 1 e z 2. Apresente os resultados na forma alg´ebrica.
Re(z)
Im(z)
O
P
Q
R
Exame – 2004, ´Ep. especial
- Seja z um n´umero complexo, cuja imagem geom´etrica pertence ao primeiro quadrante (eixos n˜ao inclu´ıdos). Justifique que a imagem geom´etrica de z^3 n˜ao pode pertencer ao quarto quadrante.
Exame – 2004, 1a^ fase
- • C ´e conjunto dos n´umeros complexos
- i designa a unidade imagin´aria Seja z um n´umero complexo cuja imagem geom´etrica, no plano complexo, ´e um ponto A situado no segundo quadrante e pertencente `a reta definida pela equa¸c˜ao Re (z) = −2. Seja B a imagem geom´etrica de z, conjugado de z. Seja O a origem do referencial. Represente, no plano complexo, um triˆangulo [AOB], de acordo com as condi¸c˜oes enunciadas. Sabendo que a ´area do triˆangulo [AOB] ´e 8, determine z, na forma alg´ebrica.
Exame – 2003, 2a^ Fase
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, seja z 1 = 1 − i (i designa a unidade imagin´aria). Determine, na forma trigonom´etrica, os valores, n˜ao nulos, de z para os quais z^2 = z × z 1
Exame – 2002, Prova para militares
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere
z 1 = 7 + 24i (i designa a unidade imagin´aria).
40.1. Um certo ponto P ´e a imagem geom´etrica, no plano complexo, de uma das ra´ızes quadradas de z 1. Sabendo que o ponto P tem abcissa 4, determine a sua ordenada.
40.2. Seja z 2 = cis α com α ∈
]
3 π 4
,π
[
Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geom´etrica de z 1 × z 2
Exame – 2001, Prova modelo
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos, e sejam z 1 e z 2 dois elementos de C. Sabe-se que:
π 6
- z 2 = z^41
- A 1 e A 2 s˜ao as imagens geom´etricas de z 1 e z 2 , respetivamente. Re(z)
Im(z)
A 1
A 2
41.1. Justifique que o ˆangulo A 1 OA 2 ´e reto (O designa a origem do referencial). 41.2. Considere no plano complexo a circunferˆencia C, definida pela condi¸c˜ao |z| = |z 1 |. Sabendo que o per´ımetro de C ´e 4π, represente na forma alg´ebrica, o n´umero complexo z 1
Exame – 2000, 2a^ fase
- Seja C o conjunto dos n´umeros complexos; i designa a unidade imagin´aria.
42.1. Considere o polin´omio x^3 − 3 x^2 + 6x − 4 Determine analiticamente as suas ra´ızes em C, sabendo que uma delas ´e 1. Apresente-as na forma alg´ebrica, simplificando-as o mais poss´ıvel. 42.2. Seja z um n´umero complexo de m´odulo 2 e z o seu conjugado. No plano complexo, considere os pontos A e B tais que A ´e a imagem geom´etrica de z, e B ´e a imagem geom´etrica de z. Sabe-se que:
- o ponto A est´a situado no primeiro quadrante
- o ˆangulo AOB ´e reto (O designa a origem do referencial) Determine
z i
, apresentando o resultado na forma alg´ebrica.
Exame – 2000, Prova modelo
