Baixe Exercícios de Matemática A - Números Complexos e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
MATEM ATICA A - 12´
o
Ano
N
o
s Complexos - Conjuntos e condi¸c˜oes
Propostas de resolu¸c˜ao
Exerc´ıcios de exames e testes interm´edios
- Analisando cada um dos n´umeros complexos das hip´oteses apresentadas, podemos verificar que:
- 3+4i n˜ao pertence `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque
arg(3 + 4i) >
π 4
- 6+2i n˜ao pertence `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque
Re(6 + 2i) > 5
cis
π 6
= cos
π 6
, ent˜ao cis
π 6
n˜ao per- tence `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque
Re
cis
π 6
Re(z)
Im(z)
0 π 4 Re (z) = 1 Re (z) = 5
3 + 4i
6 + 2i
cis π 6
2cis 136 π
Assim, podemos concluir que o n´umero complexo 2cis
13 π 6
, pertence `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao, por- que:
2cis 13 π 6
= 2 cos 13 π 6
= 2 cos π 6
= 2 ×
3, logo 1 < Re
2cis 13 π 6
2cis 13 π 6
= arg
2cis
13 π 6
− 2 π
= arg
2cis π 6
π 6
, logo 0 < arg
2cis 13 π 6
π 4
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2016, ´Ep. especial
- Analisando cada uma das afirma¸c˜oes temos
- (A) |z 3 − z 1 | = |z 4 − z 2 | ´e uma afirma¸c˜ao verdadeira porque |z 3 − z 1 | ´e a distˆancia entre os v´ertices correspondentes ao complexos z 3 e z 1 , (ou seja a medida da diagonal do quadrado), tal como |z 4 − z 2 | representa a medida da outra diagonal do quadrado. Como as medidas das diagonais do quadrado s˜ao iguais, a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
- z 1 + z 4 = 2 Re (z 1 ) ´e uma afirma¸c˜ao verdadeira porque como o centro do quadrado est´a centrado na origem e os lados s˜ao paralelos aos eixos, os v´ertices do quadrado est˜ao sobre as bissetrizes dos quadrantes, ou seja, z 1 = a + ai e z 4 = a − ai, com a ∈ R+ Assim, vem que z 1 + z 4 = a + ai + a − ai = 2a = 2 Re (z 1 )
- (C)
z 4 i
= z 1 ´e uma afirma¸c˜ao falsa porque
z 4 i
= z 1 ⇔ z 4 = z 1 × i e z 1 = a + ai e z 4 = a − ai, com a ∈ R+ Como z 1 × i = (a + ai) × i = ai + ai^2 = ai + a(−1) = ai − a = −a + ai = z 2 Ou seja, multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rota¸c˜ao de
π 2
radianos, no sentido positivo. Assim, fazendo a uma rota¸c˜ao deste tipo da imagem geom´etrica de z 1 , obtemos a imagem geom´etrica de z 2 e n˜ao a imagem geom´etrica de z 4
- (D) −z 1 = z 2 ´e uma afirma¸c˜ao verdadeira porque z 1 = a + ai e z 2 = −a + ai, com a ∈ R+ Logo −z 1 = −
a + ai
= −(a − ai) = −a + ai = z 2
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2015, ´Ep. especial
- Como o triˆangulo [OAB] ´e equil´atero, temos que
|z| = OB = OA = 1
Por outro lado, como a amplitude de cada um dos ˆangulos internos do triˆangulo equil´atero ´e π 3
, e o ponto
B est´a no 4o^ quadrante, temos que arg (z) = −
π 3
, ou ent˜ao
arg (z) = 2π −
π 3
6 π 3
π 3
5 π 3 E assim, vem que
z = 1 cis
5 π 3
= cis
5 π 3
Resposta: Op¸c˜ao D
Re(z)
Im(z)
O 1
A
B
53 π − π 3
Exame – 2015, 2a^ Fase
- A linha ´e defina pela conjun¸c˜ao de duas condi¸c˜oes, cujas repre- senta¸c˜oes gr´aficas no plano complexo s˜ao: - a circunferˆencia de centro no afixo do n´umero complexo z = −4 + 4i e raio 3 (|z + 4 − 4 i| = 3 ⇔ |z − (4 + 4i)| = 3) - a regi˜ao do 3o^ quadrante limitada pelo semieixo imagin´ario po- sitivo e a bissetriz dos quadrantes pares
π 2
≤ arg (z) ≤
3 π 2
Assim, a linha definida pela conjun¸c˜ao ´e uma semicircunferˆencia de raio 3, cujo comprimento C ´e o semiper´ımetro da circunferˆencia de raio 3: C =
P◦
2 πr 2
= πr = 3π
Resposta: Op¸c˜ao C
Re(z)
Im(z)
− 4 O
4 i
Exame – 2015, 1a^ Fase
- Podemos reescrever a condi¸c˜ao dada na forma:
3 2
≤ |z − 3 + i| ≤ 3 ∧
π 3
≤ arg(z − 3 + i) ≤
2 π 3
≤ |z-(3-i)| ≤ 3 ∧
π 3
≤ arg(z-(3-i)) ≤
2 π 3 Assim, sendo o ponto P a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo 3 − i, a condi¸c˜ao define o conjunto de pontos do plano complexo que:
- est˜ao a uma distˆancia do ponto P compreendida entre
e 3
- definem com a semirreta paralela ao eixo real com origem no ponto P e que se prolonga no sentido positivo do eixo, um ˆangulo compreendido entre
π 3 rad e
2 π 3 rad Resposta: Op¸c˜ao A
Re(z)
Im(z)
P
π 3
2 π 3
Exame – 2013, 2a^ Fase
- Seja θ = arg(z 1 ). Como Re(z 1 ) =
= cos θ, |z 1 | = 1 e θ ´e um ˆangulo do
1 o^ quadrante, temos que θ =
π 3
Logo sen θ =
= Im(z)
Resposta: Op¸c˜ao B
Re(z)
Im(z)
r
z 1
π 3 1
Exame – 2012, ´Ep. especial
- A coroa circular representada ´e o conjunto dos pontos que distam da origem entre 3 e 6 unidades, ou seja a representa¸c˜ao dos n´umeros complexos z, tais que 3 ≤ |z| ≤ 6
Os pontos assinalados devem ainda satisfazer a condi¸c˜ao de que o ˆangulo (medido a partir da representa¸c˜ao geom´etrica do complexo −1 + i est´a compreendido entre −π rad e
3 π 4
rad.
Ou seja: −π ≤ arg (z − (−1 + i)) ≤
3 π 4
⇔ −π ≤ arg (z + 1 − i) ≤
3 π 4 Resposta: Op¸c˜ao C
Re(z)
Im(z)
P^ Q
R
−π
3 π 4
Exame – 2012, 1a^ Fase
- A op¸c˜ao (I) n˜ao representa a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao π 2
≤ arg (z) ≤ 2 π. Os n´umeros complexos que verificam esta condi¸c˜ao tˆem as respetivas representa¸c˜oes geom´etricas nos 2o, 3 o^ e 4o^ quadrantes, ao contr´ario dos pontos assinalados na op¸c˜ao (I).
A op¸c˜ao (II) n˜ao representa a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao |z| ≥ |z − z 2 |. Os n´umeros complexos que satisfazem esta condi¸c˜ao tˆem as respetivas representa¸c˜oes geom´etricas no se- miplano delimitado pela bissetriz do segmento de reta [OC] e que cont´em o ponto C, ou seja os pontos cuja distˆancia a origem ´e n˜ao inferiora distˆancia ao ponto C. Os pontos assinalados na op¸c˜ao (II) est˜ao mais perto da origem do que do ponto C.
A op¸c˜ao (III) n˜ao representa a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao |z − z 2 | ≤ 1. Os n´umeros complexos que verificam esta condi¸c˜ao tˆem as respetivas representa¸c˜oes geom´etricas no inte- rior da circunferˆencia de raio 1 e centro em C, e alguns pontos assinalados na op¸c˜ao (III) est˜ao no exterior desta circunferˆencia (pertencem ao interior da circunferˆencia com o mesmo raio, mas centrada na origem).
Logo a op¸c˜ao correta ´e a op¸c˜ao (IV).
Exame – 2011, ´Ep. especial
- A regi˜ao apresentada na figura ´e definida pelo interior da cir- cunferˆencia de centro na origem e raio OA e pelo conjuntos de pontos que representam n´umeros complexos com argumentos compreendidos entre arg (−
3 + i) e π. Assim temos que OA = | −
3 + i| =
E, sendo θ = arg (−
3 + i), vem que:
Re(z)
Im(z)
A
B
tg θ =
1 ×
3 ×
, como sen θ > 0 e cos θ < 0, θ ´e um ˆangulo do 2o^ quadrante,
logo θ = π −
π 6
6 π 6
π 6
5 π 6 Desta forma |z| < | −
3 + i| ∧ arg (−
3 + i) ≤ arg (z) ≤ π ⇔ |z| ≤ 2 ∧
5 π 6
≤ arg (z) ≤ π
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2011, 2a^ Fase
- Considerando z = a + bi (com a ∈ R e b ∈ R), temos que:
- z = a − bi
- z + z = a + bi + a − bi = 2a
- i × (z + z) = i(2a) = 2ia
- i × (z + z) = 0 ⇔ 2 ia = 0 ⇔ a = 0
Ou seja o conjunto A ´e o conjunto dos n´umeros complexos z, tais que Re (z) = 0, ou seja a sua repre- senta¸c˜ao geom´etrica coincide com o eixo imagin´ario.
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2010, ´Ep. especial
- Analisando cada uma das op¸c˜oes apresentadas, temos que:
- A condi¸c˜ao |z + 4| = 5 pode ser escrita como |z − (−4)| = 5 e define os pontos do plano complexo, cuja distˆancia `a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo w = −4 ´e igual a 5. Ou seja, a circunferˆencia de centro no ponto de coordenadas (− 4 ,0) e raio 5.
- A condi¸c˜ao |z| = |z + 2i| pode ser escrita como |z − 0 | = |z − (− 2 i)| e define os pontos do plano complexo, que s˜ao equidistantes das representa¸c˜oes geom´etricas do n´umeros complexos w 1 = 0 e w 2 = − 2 i. Ou seja, a mediatriz do reta cujos extremos s˜ao os pontos de coordenadas (0,0) e (0, − 2).
- A condi¸c˜ao 0 ≤ arg (z) ≤ π define todos os n´umeros complexos cuja representa¸c˜ao geom´etrica define com a origem e a parte positiva do eixo real um ˆangulo compreendido entre 0 e π radianos. Ou seja, a totalidade dos 1o^ e 2o^ quadrantes.
- A condi¸c˜ao Re (z) + Im (z) = 2 define todos os n´umeros complexos da forma w = a + (2 − a)i, com a ∈ R. Ou seja a reta paralela `a bissetriz dos quadrantes ´ımpares que cont´em o ponto de coordenadas (0, − 2).
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2008, ´Ep. especial
- Os pontos representado na regi˜ao a sombreado satisfazem cumu- lativamente duas condi¸c˜oes:
- Re (z) ≤ 3, ou seja, pertencem ao semiplano `a direita da reta definida por Re (z) = 3
- − π 4
≤ arg (z) ≤ 0, ou seja, os pontos que s˜ao imagens geom´etricas de n´umeros complexos cujo argumento est´a compreendido entre −
π 4
e 0
Resposta: Op¸c˜ao A
Re(z)
Im(z)
Re (z) = 3
− π 4
Exame – 2008, 2a^ Fase
- Sendo z = a + bi, com a ∈ R e b ∈ R, vem que z = a − bi.
Assim, temos que z + z = 2 ⇔ a + bi + a − bi = 2 ⇔ 2 a = 2 ⇔ a = 1
Ou seja, a condi¸c˜ao z + z = 2 pode ser escrita como Re (z) = 1, e a sua representa¸c˜ao geom´etrica ´e a reta paralela ao eixo imagin´ario que cont´em a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo w = 1.
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2008, 1a^ Fase
- Na figura ao lado est´a representado, a sombreado, a regi˜ao B, que ´e a interse¸c˜ao de trˆes condi¸c˜oes:
- |z| ≤ 2, o interior da circunferˆencia centrada na origem e raio 2
- Re (z) ≥ 0, o semiplano `a direita do eixo imagin´ario, ou o conjunto dos pontos com a parte real n˜ao nula
- |z − 1 | ≤ |z − i|, o semiplano limitado superiormente pela bisetriz dos quadrantes ´ımpares A regi˜ao B pode ser decomposta num quarto do c´ırculo de raio 2 e num setor circular que corresponde a metade de um quarto de c´ırculo, pois ´e delimitada pela bissetriz dos quadrantes ´ımpares.
Assim, a ´area pode ser calculada como:
Re(z)
Im(z)
O
A =
A◦
A◦
A◦
A◦
2 × A◦
A◦
3 × A◦
3 × π × 22 8
3 × 4 × π 8
12 π 8
3 π 2
Exame – 2006, ´Ep. especial
- Designando por P e Q as representa¸c˜oes geom´etricas dos n´umeros com- plexos w 1 = 1 e w 2 = 2, respetivamente, temos que a regi˜ao sombreada ´e o conjunto dos pontos do plano complexo que satisfazem cumulati- vamente duas condi¸c˜oes:
- est˜ao a uma distˆancia superior a 1 do ponto P
- est˜ao a uma distˆancia inferior a 2 do ponto Q Assim temos que a regi˜ao sombreada ´e definida por
|z − 1 | ≥ 1 ∧ |z − 2 | ≤ 2
Resposta: Op¸c˜ao A
Re(z)
Im(z)
0 PP Q
Exame – 2006, 2a^ Fase
- Sendo P a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo w 2 , e observando que Re (w 1 ) = Re (1+i) = 1 a condi¸c˜ao Re (z) ≥ Re (w 1 ) ∧ |z −w 2 | ≤
define uma regi˜ao do plano complexo que ´e a interse¸c˜ao de duas regi˜oes distintas:
- o interior da circunferˆencia de centro em P e raio
3 (|z − z 1 | ≤ 1)
- o semiplano `a direita da reta definida pela condi¸c˜ao Re (z) = 1 Assim, na figura ao lado, a sombreado, est´a a representa¸c˜ao geom´etrica da regi˜ao definida pela condi¸c˜ao.
Para o tra¸cado da figura pode ser ´util considerar que a circunferˆencia deve passar pela origem porque tem raio
3 e |w 2 | =
3; que a reta que define o semiplano ´e perpendicular ao eixo real e passa no ponto de coordenadas (1,0); e que o ponto P tem de coordenadas (0; − 1 .73), arredondando a ordenada `as d´ecimas.
Re(z)
Im(z)
P
Exame – 2005, 2a^ fase
- A regi˜ao assinalada na figura a sombreado, ´e o conjunto dos pontos do plano complexo que verificam cumulativamente trˆes condi¸c˜oes:
- s˜ao representa¸c˜oes geom´etricas de n´umeros complexos que tˆem parte real superior a -1; ou seja pertencem ao semiplano `a direita da reta definida pela condi¸c˜ao Re (z) = 1, (Re (z) ≥ 1)
- s˜ao representa¸c˜oes geom´etricas de n´umeros complexos que tˆem parte ima- gin´aria superior a 0; ou seja pertencem ao semiplano acima da reta definida pela condi¸c˜ao Im (z) = 0, (Im (z) ≥ 0)
- est˜ao mais perto do ponto (− 1 ,0) do que do ponto (0,1); ou seja pertencem ao semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta cujos extremos s˜ao as representa¸c˜oes geom´etricas dos n´umeros complexos −1 e i e que cont´em a representa¸c˜ao geom´etrica de -1, (|z − (i)| ≥ |z − (−1)| ⇔ |z − i| ≥ |z + 1|)
Re(z)
Im(z)
Assim, a conjun¸c˜ao das trˆes condi¸c˜oes ´e Re (z) ≥ − 1 ∧ Im (z) ≥ 0 ∧ |z − i| ≥ |z + 1|
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2004, 1a^ Fase
- A circunferˆencia de centro na imagem geom´etrica de w e que passa na origem do referencial ´e definda pela condi¸c˜ao |z − w| = |w|; como w = 1 + 2i e |w| =
12 + 2^2 =
5, vem que:
|z − w| = |w| ⇔ |z − (1 + 2i)| =
5 ⇔ |z − 1 − 2 i| =
Para que seja considerada apenas a parte da cirunferˆencia que et´a contida no quarto quadrante, temos que definir cumulativamente que os pontos devem obedecer `a condi¸c˜ao Re (z) > 0 ∧ Im (z) < 0, ou seja que s´o consideramos pontos que sejam representa¸c˜oes geom´etricas de n´umeros complexos com parte real positiva e parte imagin´aria negativa.
Assim a condi¸c˜ao ´e |z − 1 − 2 i| =
5 ∧ Re (z) > 0 ∧ Im (z) < 0
Exame – 2003, Prova para militares
- A condi¸c˜ao indicada ´e a conjun¸c˜ao de trˆes condi¸c˜oes distintas, ou seja, os pontos que pertencem `a regi˜ao assinalada satisfazem cumulativamente as condi¸c˜oes:
- |z| ≤ 3, ou seja, os pontos que pertencem ao interior da circunferˆencia de centro na origem e raio 3
- 0 ≤ arg z ≤ π 4 , ou seja, os pontos que s˜ao representa¸c˜oes geom´etricas de n´umeros complexos, cujo argumento est´a entre zero e π 4 , ou seja os pontos do primeiro quadrante situados abaixo da mediatriz dos qua- drantes ´ımpares
- Re z ≥ 1, ou seja, os pontos que est˜ao `a direita da reta vertical definida pela condi¸c˜ao Re z = 1
Resposta: Op¸c˜ao B
Re(z)
Im(z)
π 4
Re (z) = 1
|z| = 3
Exame – 2003, 1a^ fase - 2a^ chamada
- Uma condi¸c˜ao que define no plano complexo a circunferˆencia que tem centro na imagem geom´etrica de z 1 e que passa na imagem geom´etrica de z 3 , ´e da forma |z − z 1 | = |z 1 − z 3 |, uma vez que |z 1 − z 3 | ´e a distˆancia entre as imagens geom´etricas de z 1 e z 3.
Desta forma |z 1 − z 3 | = | 2 − 2 i − (−1 + i)| = | 2 − 2 i + 1 − i| = | 3 − 3 i| =
33 + (−3)^2 =
32 × 2 = 3
Assim temos que |z − z 1 | = |z 1 − z 3 | ⇔ |z − (2 − 2 i)| = 3
2 ⇔ |z − 2 + 2i| = 3
Exame – 2003, 1a^ fase - 1a^ chamada
- A condi¸c˜ao indicada ´e a conjun¸c˜ao de duas condi¸c˜oes distintas, ou seja, os pontos pertencentes `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao satis- fazem cumulativamente as condi¸c˜oes:
- |z − z 1 | ≤ 1, ou seja, s˜ao os pontos que pertencem ao interior da circunferˆencia de centro em z 1 e raio 1
- 0 ≤ arg (z − z 1 ) ≤
3 π 4
, ou seja, s˜ao os pontos que definem com a semirreta paralela ao eixo real com origem na representa¸c˜ao geom´etrica do ponto z 1 um ˆangulo entre zero e 34 π radianos. Assim, na figura ao lado est´a, a sombreado, a representa¸c˜ao geom´etrica da regi˜ao definida pela condi¸c˜ao.
3 π 4
Re(z)
Im(z)
Exame – 2002, Prova para militares
- A condi¸c˜ao indicada ´e a conjun¸c˜ao de duas condi¸c˜oes distintas, ou seja, os pontos que perten¸cem `a regi˜ao assinalada satisfazem cumulativamente as condi¸c˜oes:
- |z + 1| = |z − i| ⇔ |z − 1 | = |z − (−i)|, ou seja, os pontos que pertencem `a mediatriz do segmento de reta cujos extremos s˜ao as representa¸c˜oes geom´etricas dos n´umeros complexos 1 e −i, que ´e a bissetriz dos quadrantes pares
- 2 ≤ Im (z) ≤ 4, ou seja, os pontos que pertencem `a regi˜ao do plano compreendida entre as retas definidas pelas condi¸c˜oes Im (z) ≥ 2 e Im (z) ≤ 4 Resposta: Op¸c˜ao B
Re(z)
Im(z)
Exame – 2002, 1a^ fase - 2a^ chamada
- Como z = 2 cis
π 3
logo arg (z 2 ) =
π 3
, ou seja z 2 ´e n´umero complexo, cuja representa¸c˜ao geom´etrica ´e o v´ertice representado no 1o^ quadrante.
Como o pent´agono ´e regular, sendo z 3 o n´umero complexo cuja representa¸c˜ao geom´etrica ´e o v´ertice representado no 2o^ quadrante, e arg (z 3 ) =
π 3
2 π 5
5 π 15
6 π 15
11 π 5 Assim a regi˜ao indicada a sombreado ´e o conjunto dos pontos que s˜ao representa¸c˜ao geom´etrica de pontos que satisfazem cumulativamente duas condi¸c˜oes:
- os pontos devem pertencer ao interior da circunferˆencia de centro na origem e raio |z 2 |, ou seja |z| < 5
- os pontos devem definir com o semieixo real positivo um ˆangulo compreendido entre
π 3
radianos e 11 π 5
radianos, ou seja
π 3
≤ arg (z) ≤
11 π 5 Assim, temos que a condi¸c˜ao que define a regi˜ao a sombreado ´e:
|z| < 5 ∧
π 3 ≤ arg (z) ≤
11 π 5
Exame – 2001, 1a^ fase - 1a^ chamada
- Resposta: Op¸c˜ao D
- Sendo |z − 1 | = 4 define os n´umeros complexos, cujas representa¸c˜oes geom´etricas s˜ao pontos do plano complexo, cuja distˆancia ao ponto que ´e a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo 1 ´e 4, ou seja a circunferˆencia de centro no ponto (1,0) e raio 4.
- A condi¸c˜ao mathrmarg (z) = π 2
os n´umeros complexos cujas representa¸c˜oes geom´etricas s˜ao pontos que definem com o semieixo real positivo um ˆangulo de π 2 radianos. Ous seja a semirreta que coincide com o semieixo positivo imagin´ario.
- Como a 3z + 2i = 0 ⇔ z = − 2 i 3
, a condi¸c˜ao 3z + 2i = 0 representa apenas o ponto (situado sobre
a parte negativa do eixo imagin´ario) que ´e a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo z =
i
- Como |z − 1 | = |z + i| ⇔ |z − 1 | = |z − (−i)|, a condi¸c˜ao |z − 1 | = |z + i| define os n´umeros complexos, cujas representa¸c˜oes geom´etricas s˜ao pontos do plano complexo situados a igual distˆancia das representa¸c˜oes geom´etricas dos complexos 1 e −i, ou seja define a mediatriz do segmento de reta de extremos nestes dois pontos, que coincide com a bissetriz dos quadrantes pares.
Exame – 2000, 2a^ Fase
- Seja M o ponto m´edio do segmento de reta [AB]. Como A e B s˜ao as imagens geom´etrica dos n´umeros complexos 1 e i, M ´e a imagem geom´etrica do n´umero complexo w =
1 + i 2 A circunferˆencia inscrita no quadrado tem raio
|w| =
e centro na origem, pelo que ´e definida pela condi¸c˜ao:
|z| =
Re(z)
Im(z)
A
B
C
D
M
Exame – 2000, 1a^ fase - 2a^ chamada
- A parte do conjunto A contida no segundo quadrante ´e o conjunto dos pontos que s˜ao representa¸c˜ao geom´etrica de pontos que satisfazem cumulativamente duas condi¸c˜oes:
- como devem ser pontos do 2o^ quadrante (exclu´ındo os eixos), os pontos devem definir com o semieixo real positivo um ˆangulo compreendido entre
π 2
radianos e π radianos, ou seja
π 2
< arg (z) < π
- como devem pertencer ao conjunto A, os pontos devem estar a uma distˆancia da origem, inferior a 1, ou seja |z| < 1
Assim, temos que a condi¸c˜ao que define a regi˜ao a sombreado ´e:
|z| < 1 ∧
π 2
< arg (z) < π
Exame – 2000, 1a^ fase - 1a^ chamada
