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Geometria Anal´ıtica:

Hip´erbole

Prof. Me. Elianderson M. Santos

21 de Novembro de 2018

A defini¸c˜ao de hip´erbole

Defini¸c˜ao Dados dois pontos F 1 e F e um n´umero r < dist(F , F 1 ), o conjunto dos pontos P = (x, y ) do plano tais que

|dist(P, F ) − dist(P, F 1 )| = r

´e denominado hip´erbole de focos F 1 e F e eixo r.

Elementos da hip´erbole

Os pontos F 1 e F s˜ao os focos da hip´erbole.

Os pontos A 1 e A, chamados v´ertices da hip´erbole, e foram obtidos tomando-se

s =

dist(F , F 1 ) 2

r 2

Elementos da hip´erbole

Observe que aqui, tem-se

r = dist(A 1 , A).

Da constru¸c˜ao, ´e f´acil tamb´em ver que a hip´erbole ´e composta de dois ramos (curvas) e ´e sim´etrica em rela¸c˜ao a reta que cont´em os focos, e em rela¸c˜aoa mediatriz do segmento F 1 F (essas retas s˜ao denominadas eixos de simetria da hip´erbole).

Equa¸c˜ao da hip´erbole

Observe que, quando os focos F 1 e F est˜ao sobre o eixo x, o valor r ´e igual `a distˆancia entre os v´ertices, isto ´e,

r = |dist(P, F 1 ) − dist(P, F )| = dist(A 1 , A),

onde P = (x, y ) ´e um ponto da hip´erbole.

Observando a figura, temos que os focos s˜ao F 1 = (−c, 0) e F = (c, 0), enquanto que os v´ertices s˜ao A 1 = (−a, 0) e A = (a, 0). Assim, temos

|dist(P, F 1 ) − dist(P, F )| = dist(A 1 , A)

⇔

(x + c)^2 + y 2 −

(x − c)^2 + y 2

∣ = 2a

Equa¸c˜ao da hip´erbole

(x + c)^2 + y 2 −

(x − c)^2 + y 2 = ± 2 a

Se

(x + c)^2 + y 2 −

(x − c)^2 + y 2 = 2a ent˜ao √ (x + c)^2 + y 2 =

(x − c)^2 + y 2 + 2a

⇒ (x + c)^2 + y 2 = (x − c)^2 + y 2 + 4a^2 + 4a

(x − c)^2 + y 2 ⇒ (^) x^2 +2cx+c^2 +y 2 = (^) x^2 − 2 cx+c^2 +y 2 +4a^2 +4a

(x − c)^2 + y 2 ⇒ (^)
4 cx − (^)
4 a^2 = (^)
4 a

(x − c)^2 + y 2

Equa¸c˜ao da hip´erbole

Fazendo c^2 − a^2 = b^2 obt´em-se

b^2 x^2 − a^2 y 2 = a^2 b^2 ou

x^2 a^2

y^2 b^2

Equa¸c˜ao da hip´erbole

No caso em que √ (x + c)^2 + y 2 −

(x − c)^2 + y 2 = − 2 a,

um processo de c´alculo semelhante resultaria na mesma equa¸c˜ao.

Al´em disso, quando os focos da elipse est˜ao sobre o eixo y, sua equa¸c˜ao, obtida atrav´es de procedimento de c´alculo similar, ´e

y 2 b^2

x^2 a^2

= 1 ou

x^2 a^2

y^2 b^2

onde 2b ´e a distˆancia entre os v´ertices B 1 = (0, −b) e B = (0, b) e a ´e tal que c^2 − b^2 = a^2.

Ass´ıntotas de uma hip´erbole

Conforme a distˆancia dos pontos da hip´erbole aos focos aumenta, os ramos da hip´erbole tendem a se aproximar das ass´ıntotas.

No caso em que a hip´erbole tˆem seus focos sobre o eixo y e possui equa¸c˜ao na forma

x^2 a^2

y 2 b^2

suas ass´ıntotas ser˜ao

y =

a b

x e y = −

a b

x

Exemplos

Exemplo 1: Determine os focos, os v´ertices e esboce a hip´erbole de equa¸c˜ao

x^2 25

y 2 9

Exemplos

Exemplo 2: Deduza uma equa¸c˜ao da hip´erbole de focos F = (3, 0) e F 1 = (− 3 , 0) e v´ertices A = (2, 0) e A 1 = (− 2 , 0).

Exemplos

Exemplo 2: Deduza uma equa¸c˜ao da hip´erbole de focos F = (3, 0) e F 1 = (− 3 , 0) e v´ertices A = (2, 0) e A 1 = (− 2 , 0).

Resposta: 5 x^2 − 4 y 2 = 20 ou x 42 − y^

2 5 = 1.

Exemplos

Exemplo 3: Deduza uma equa¸c˜ao da hip´erbole de focos F = (2, 2) e F 1 = (− 2 , −2) e v´ertices A = (1, 1) e A 1 = (− 1 , −1).

Exemplos

Exemplo 3: Deduza uma equa¸c˜ao da hip´erbole de focos F = (2, 2) e F 1 = (− 2 , −2) e v´ertices A = (1, 1) e A 1 = (− 1 , −1).

Resposta: x^2 + y 2 + 4xy − 6 = 0.