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Prova de Análise Combinatória e Probabilidade – ITA
1 - (ITA-13) Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito Ω. Se A e B são eventos de Ω tais que p(A) = 1/2 , p (B) = 1/3 e p (A ∩ B) = 1/4, as probabilidades dos eventos A − B , A ∪ B e AC∪ BC são, respectivamente, a) 1/4, 5/6 e 1/4 b) 1/6, 5/6 e 1/4 c) 1/6, 7/12 e 3/ d) 1/3, 5/6 e 1/3 e) 1/4, 7/12 e 3/
2 - (ITA-13) Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos. III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos. Pode-se afirmar que a) dos três resultados, I é o mais provável. b) dos três resultados, II é o mais provável. c) dos três resultados, III é o mais provável. d) os resultados I e II são igualmente prováveis. e) os resultados II e III são igualmente prováveis.
3 - (ITA-12) Deseja-se trocar uma moeda de 25
centavos, usando-se apenas moedas de 1 , 5 e 10
centavos. Então, o número de diferentes maneiras em
que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
4 - (ITA-12) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a
a)
2 9
b)
c)
d)
e)
5 - (ITA-12) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos,
ambos finitos e não-vazios, tais que
n P A^ ^ ^ P B^ 1 n P A^ ^ ^ B. Então, a
diferença n A^ n B^ pode assumir
a) um único valor. b) apenas dois valores distintos. c) apenas três valores distintos. d) apenas quatro valores distintos. e) mais do que quatro valores distintos.
6 - (ITA-11) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao
acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é A) 7/8 B) 5/7 C) 5/8 D) 3/5 E) 3/
7 - (ITA-10) Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que,
para cada um dos refletores, seja de
a probabilidade
de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) 5
5 4
4
8 - (ITA-09) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U { a , b , c , d , e , f , g , h }. Sabendo que
B C^ A C { f , g , h } , BC^ A { a , b } e AC^ \ B { d , e },
então, n P A B é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8
9 - (ITA-09) Uma amostra de estrangeiros, em que 18% são proficientes em inglês, realizou um exame para classificar a sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês, 75% foram classificados como proficientes. Entre os não proficientes em inglês, 7% foram classificados como proficientes. Um estrangeiro desta amostra, escolhido ao acaso, foi classificado como proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente proficiente nesta língua é de aproximadamente a) 73%. b) 70%. c) 68%. d) 65%. e) 64%.
10 - (ITA-08) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população.
2 1 a)^1 8 b)^1 2 1 c)^3 2 1 d)^5 4 e)^5
11 - (ITA-08) Considere o conjunto D = {n N; 1 n 365} e H P (D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 183 é igual a
a) 7 3 0 1 b) 3 3 2 1 5 4 6 c) 3 6 5 1 d) 3 3 2 1 5 9 2 e) 7 3 0
9 1
12 - (ITA-07) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. a) 204 b) 206 c) 208 d) 210 e) 212
13 - (ITA-06) Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é:
a) 44.30 b) 43.60 c) 53.60 d)
3
7 43 e)
7
10
14 - (ITA-05) Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P1 + P2 é: a) 0,21 b) 0,25 c) 0,28 d) 0,35 e) 0,
15 - (ITA-04) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos? a) 210 b) 315 c) 410 d) 415 e) 521
16 - (ITA-04) O termo independente de x no
desenvolvimento do binômio
12 3
3 3 x
5x 5x
3 x
é:
a) 729 b) 972 c) 891 d) 376 e) 165
17 - (ITA-03) Considere o conjunto S = {(a, b) ϵ IN x IN: a
- b = 18}. A soma de todos os números da forma a!b!
(a, b) S, é: a) 86 b) 9! c) 96 d) 126 e) 12!
18 - (ITA-03) O número de divisores de 17 640 que, por sua vez, são divisíveis por 3 é: a) 24 b) 36 c) 48 d) 54 e) 72
19 - (ITA-02) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c? a) 1692 d) 1512 b) 1572 e) 1392 c) 1520
20 - (ITA-01) A respeito das combinações an =
n
2 n e
bn =
n 1
2 n temos que, para cada n = 1, 2, 3, ... , a
diferença an – bn é igual a: a) (^) nn+! 1 an b) (^) n^2 +n 1 an c)n+n 1 an
d) (^) n+^21 an e) n+^11 an
21 - (ITA-01) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625
22 - (ITA-00) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? (A) 144 (B) 180 (C) 240 (D) 288 (E)
23 - (ITA-99) Listando-se em ordem crescente todos os números de cinco algarismos distintos formados com os elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62417 ocupa o n-ésimo lugar. Então n é igual a: a) 74 b) 75 c) 79 d) 81 e) 92
24 - (ITA-98) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: a) 12! b) (8!)(5!) c) 12! – (8!)(5!) d) 12! – 8! e) 12! – (7!)(5!)
25 - (ITA-97) Sejam m N e n * com m 10 e x * . Seja D o desenvolvimento do binômio (a + b)m, ordenado segundo as potências crescentes de b. Quando a xn e n^2 b x , o sexto termo de D fica independente de x. Quando a x e n
1 b x , o oitavo termo de D se torna independente de x. Então m é igual a
36 - (ITA-90) Há muito tempo atrás, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a ideia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo marinheiro teve exatamente a mesma ideia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada marinheiro a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo segundo marinheiros foi de 29/17 então o número de moedas que havia originalmente no baú era: a) 99 b) 95 c) 135 d) 87 e) n.d.a.
37 - (ITA-89) Considere o desenvolvimento (x + y)^10 = A 1 x^10 + A 2 x^9 y + … , onde x e y são números reais. A oitava
parcela do lado direito é igual a (logk 2 )^3 2
405 , para
algum k > 1, log 2
x^2 log k k
^2 e 2 log k
log 2 y 2
k. Neste caso:
a) k^2 = 2 b) k^2 = 3 c) k^3 = 2 d) k^3 = 7 e) k^3 = 5
38 - (ITA-89) Escreva e desenvolvimento do binômio (tg^3 x – cosec^6 x)m, onde m é um número inteiro maior que zero, em termos de potências inteiras de sen x e cos x. Para determinados valores do expoente, este desenvolvimento possuirá uma parcela P, que não
conterá a função sen x. Seja m o menor valor para o qual isto ocorre. Então P = – 64/9 quando x for igual a: a) x = /3 + 2k, k inteiro b) x = /3 + k, k inteiro c) c = /4 + k, k inteiro d) x = /6 + 2k, k inteiro e) não existe x satisfazendo a igualdade desejada.
39 - (ITA-88) No desenvolvimento de (1 + 3x)m, a razão entre os coeficientes dos termos de terceiro e primeiros graus em x é 6(m – 1). O valor de m é: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
40 - (ITA-88) Considere (P) um polígono regular de n lados. Suponha que os vértices de (P) determinem 2n triângulos, cujos lados não são lados de (P). O valor de n é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 20 e) Não existe polígono regular com esta propriedade.
41 - (ITA-88) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160º. Então o número de diagonais deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
42 - (ITA-87) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar, empregando caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9? a) 60 b) 120 c) 240 d) 40 e) 80
43 - (ITA-87) O número de arranjos de n + 2 objetos tomados cinco a cinco vale 180n. Nestas condições, concluímos que: a) n é um número par b) n é um número primo c) n está compreendido entre 100 e 200 d) n é um número par e) n é divisível por 5
44 - (ITA-86) No conjunto C dos números complexos seja a tal que |a| < 1. O lugar geométrico dos pontos z C que satisfazem a igualdade 1 1 az
z a
é:
a) Uma circunferência de centro na origem e raio 1. b) Uma hipérbole. c) Uma elipse de semi-eixo maior igual a 1. d) Uma parábola. e) Formado por duas retas concorrentes.
45 - (ITA-84) O valor de m, tal que
^
m
p 0
2 p^729 p
m , é:
a) 14 b) 9 c) 6 d) 7 e) 8
46 - (ITA-83) Um general possui n soldados para tomar uma posição inimiga. Desejando efetuar um ataque com dois grupos, um frontal com r soldados e outro da retaguarda com s soldados (r + s = n), ele poderá dispor seus homens de:
a) (r s)!
n!
maneiras distintas neste ataque.
b) r!s!
n! maneiras distintas neste ataque.
c) (rs)!
n! maneiras distintas neste ataque.
d) (r s)!
2 (n!)
maneiras distintas neste ataque.
e) r!s!
2 (n!) maneiras distintas neste ataque.
Prova de Conjuntos – ITA
1 - (ITA-13) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. A \ (B∩C) = (A \ B) ∪ (A \ C) II. (A∩C) \ B = A ∩ BC ∩ C III. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) todas.
2 - (ITA-12) Sejam A, B e C subconjuntos de um
conjunto universo U. Das afirmações:
I. ^ A \ B^ C \ CC A ^ B C;
II. ^ ^ ^ C C^ C
A \ B \ C A B C ;
III. ^
C C^ C
B C B C ,
é (são) sempre verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e III. e) II e III.
3 - (ITA-11) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n ({C : C B / A}) = 128. Então, das afirmações abaixo: I. n ( B ) – n ( A ) é único; II. n ( B ) + n ( A ) ≤ 128; III. a dupla ordenada ( n (A) – n ( B )) é única; É (são) verdadeira(s): a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) nenhuma.
4 - (ITA-11) A expressão 4e2x^ + 9e2y^ – 16ex^ – 54ey^ + 61 = 0, com x e y reais, representa A) o conjunto vazio B) um conjunto unitário C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos D ) um conjunto com um número infinito de pontos. E ) o conjunto {(x,y) IR^2 / 2(ex^ – 2)^2 + 3(ey^ – 3)^2 = 1}
5 - (ITA-10) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A,B e C quaisquer: I. A negação de x A B é: x A ou x B II. A (^) B C (^) (^) A B (^) (^) A C III. A B (^) (^) B A (^) (^) A B (^) A B
Destas é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) Apenas II (C) Apenas III (D) Apenas I e III (E) Nenhuma
6 - (ITA-10) Considere os conjuntos A , B R e
C ( A B ). Se A B , A C e B C são os
domínios das funções reais definidas por ln( x ),
x^2 6 x 8 e
x
x
, respectivamente, pode-se
afirmar que (A) C ] , 5 [. (B) C [ 2 , ]. (C) C [ 2 , 5 [. (D) C [ , 4 ].
(E) C não é intervalo.
7 - (ITA-09) Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor “flex” (que funciona com álcool e gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor “flex” sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros desta empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a a) 246 b) 252 c) 260 d) 268 e) 284
8 - (ITA-08) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X – Y) Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z Y = , W (X - Z) = {7, 8}, X W Z = {2, 4}. Então o conjunto [X (Z W)] – [W (Y Z)] é igual a: a) {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2, 3, 4, 7} c) {1, 3, 7, 8} d) {1, 3} e) {7, 8}
9 - (ITA-07) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é a) 2^8 – 9 b) 2^8 – 1 c) 2^8 – 26 d) 2^14 – 28 e) 2^8
10 - (ITA-06) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B ϵ S, então A B ou B A. Então, o número máximo de elementos que S pode ter é: a) 2 n–^1. b) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar c) n + 1 d) 2n^ – 1 e) 2n–^1 + 1
11 - (ITA-06) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(A B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A B) + r = 64, então, n(A\B) é igual a: a) 12 b) 17 c) 20 d) 22 e) 24
12 - (ITA-05) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1] e as afirmações: I – {0} S e S U . II – {2} S \ U e S T U = {0, 1}. III – Existe uma função f : S T injetiva. IV – Nenhuma função g : T S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV.
13 - (ITA-04) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I - U e n (U) = 10. II - U e n (U) = 10. III – 5 U e {5} U. IV – {0, 1, 2, 5} {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s). a) apenas I e III b) apenas II e IV c) apenas II e III d) apenas IV e) todas as afirmações
14 - (ITA-04) Seja o conjunto S = { r ℚ : r 0 e r2 2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:
I - S 5 S e^7 4
(^5)
II - x : 0 x 2 S
III - 2 S Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas: a) I e II b) I e III c) II e III d) I e) II
15 - (ITA-02) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P (B\A) P () é igual a: a) 8 b) 16 c) 20 d) 17 e) 9
16 - (ITA-01) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, não-vazios. Com respeito às afirmações: I. x {[Y (X Y) C] [X YC) C^ } II. Se Z X então (Z Y) (X (Z C Y)} = X Y. III. Se (X Y)C^ a) apenas I é verdadeira.
b) apenas I e II são verdadeiras. c) apenas I e III são verdadeiras. d) apenas II e III são verdadeiras e) todas são verdadeiras.
17 - (ITA-00) Duas retas r 1 e r 2 são paralelas à reta
3 x y 37 e tangentes à circunferência
x^2 y^2 2 x y 0. Se d 1 é a distância de r 1 até a
origem e d 2 a distância de r 2 até a origem, então
d 1 d 2 é igual a :
(A) 12 (B) 15 (C) 7 (D) 10 (E) 5
18 - (ITA-00) Seja S [ 2 , 2 ] e considere as
afirmações:
(I) 6 2
1 4
1
x
, para todo x S.
(II)
x
, para todo x S.
(III) 22 x 2 x 0 , para todo x S.
Então, podemos afirmar que: (A) Apenas I é verdadeira. (B) Apenas III é verdadeira. (C) Somente I e II são verdadeiras. (D) Apenas II é falsa. (E) Todas as afirmações são falsas.
4. A – B A BC;
Podemos afirmar que está (estão) correta(s): a) As sentenças 1 e 3. b) As sentenças 1, 2 e 4. c) As sentenças 3 e 4. d) As sentenças 2, 3 e 4. e) Apenas a sentença 2.
GABARITO
1 C
2 C
3 A
4 D
5 E
6 C
7 B
8 C
9 A
10 C
11 B
12 B
13 C
14 D
15 B
16 B
17 D
18 A
19 E
20 C
21 A
22 C
23 A
24 D
25 E
26 C
27 A
13 - (ITA-05) O menor inteiro positivo n para o qual a diferença n n 1 fica menor que 0,01 é a) 2499 b) 2501 c) 2500 d) 3600 e) 4900
14 - (ITA-05) Considere a equação em x: ax+1^ = b1/x, onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2 ln a >
- A soma das soluções da equação é a) 0 b) – 1 c) 1 d) ln 2 e) 2
15 - (ITA-04) Seja um número real, com 0 < < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de
todos os valores de x tais que 1 α
α^1
2x^2 2x (^)
.
a) ] - , 0] [2, + [ b) ] - , 0[ ]2, + [ c) ]0, 2[ d) ] - , 0[ e) ]2, + [
16 - (ITA-03) Das afirmações abaixo sobre a equação z^4
- z^3 + z^2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo: I – A equação possui pelo menos um par de raízes reais. II – A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1. III – Se x N* e r é uma raiz qualquer desta equação,
então 2
1 3
n r
k 1
k ^
é (são) verdadeira(s): a) nenhuma. d) apenas III. b) apenas I. e) apenas I e III. c) apenas II.
17 - (ITA-03) Seja k IR tal que a equação 2x^3 + 7x^2 + 4x
- k = 0 possua uma raiz dupla e inteira x 1 e uma raiz x 2 , distinta de x 1. Então, (k + x 1 ) x 2 é igual a: a) – 6 b) – 3 c) 1 d) 2 e) 8
18 - (ITA-02) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos: I – Se x > 4 e y < 2, então x^2 – 2y > 12. II – Se x > 4 ou y < 2, então x^2 – 2y > 12. III – Se x^2 < 1 e y^2 > 2, então x^2 – 2y < 0. Então, destas é (são) verdadeira(s). a) Apenas I b) Apenas I e II c) Apenas II e III d) Apenas I e III e) Todas
19 - (ITA-02) O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: “Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as
primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado alado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mãos nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posição trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida.” Com base no trecho acima, você conclui que: a) David ganhou a corrida. b) Ralf ganhou a corrida. c) Rubinho chegou em terceiro lugar. d) Ralf chegou em segundo lugar. e) Não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.
20 - (ITA-01) Se a R é tal que 3y^2 – y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação 32x+1^ – 3 x^ + a = 0 a) log 2 6 b) – log 2 6 c) log 3 6 d) – log 36 e) 1 – log 3
21 - (ITA-01) Sendo dado
ln( 2 43 648 ...n2n)^ =aneln(^23344 ...^2 n2n) = bn
então, 2 n ln 2 n 5 +...+
ln 5 4
ln 4 3 +
ln 3 2
ln 2
é igual a: a) an – 2bn d) bn – an b) 2an – bn e) an + bn c) an – bn
22 - (ITA-00) A soma das raízes reais e positivas da
equação 4 5 2 4 0
2 2
x x vale:
(A) 2 (B) 5 (C) 2
(D) 1 (E) 3
23 - (ITA-00) Sendo I um intervalo de números reais
com extremidades em a e b m com a b , o número
real b a é chamado de comprimento de I.
Considere a inequação: 6 x^4 5 x^3 7 x^2 4 x 0 A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
24 - (ITA-99) Seja a R com a > 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação a2x(1^ –^ x)^ > ax^ –^1 , é: a) ] – 1, 1[ b) ]1, + [ c) ] – ½, 1[ d) ] – , 1[ e) vazio
25 - (ITA-99) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação: log¼ (x + 1) = log 4 (x – 1). Então: a) S é um conjunto unitário e S ] 2, + [. b) S é um conjunto unitário e S ] 1, 2[. c) S possui dois elementos distintos e S ] – 2, 2[. d) S possui dois elementos distintos e S ] 1, + [. e) S é o conjunto vazio.
26 - (ITA-98) Considere a, b e a equação: 2e3x^ + a.e2x^ + 7ex^ + b = 0. Sabendo que as três raízes reais x 1 , x 2 , x 3 desta equação formam, nesta ordem, uma progressão aritmética cuja soma é igual a zero, então a – b vale: a) 5 b) – 7 c) – 9 d) – 5 e) 9
27 - (ITA-95) Uma vez, para todo x 1 e n N, vale a desigualdade xn^ > n(x – 1). Temos como conseqüência que, para 0 < x < 1 e n N, tem-se: a) xn^ –^1 < [n(1 + x)]–^1 b) xn^ –^1 < [(n + 1)(1 + x)]–^1 c) xn^ –^1 < [n^2 (1 – x)]–^1 d) xn^ –^1 < [(n + 1)(1 – x)]–^1 e) xn^ –^1 < [n(1 – x)]–^1
28 - (ITA-94) Sejam x e y números reais, com x 0, satisfazendo (x + iy)^2 = (x + y)i, então: a) x e y são números irracionais. b) x > 0 e y < 0. c) x é uma raiz da equação x^3 + 3x^2 + 2x - 6 = 0 d) x < 0 e y = z. e) x^2 + xy + y^2 = 1/
29 - (ITA-94) A identidade: x x 1
bx c x 1
a 1 x 1
x 4 3 2
3
é válida para todo real x -1. Então a + b + c é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
30 - (ITA-94) As raízes da equação de coeficientes reais x^3 + ax^2 + bx + c = 0 são inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então a^2 + b^2 + c^2 é igual a: a) 190 b) 191 c) 192 d) 193 e) 194
31 - (ITA-92) A igualdade
n
k 0
m
j 0
k n 2 m j
m 7 k
n ( 1 ) =
64 é válida para:
a) Quaisquer que sejam n e m naturais positivos. b) Qualquer que seja n natural positivo e m = 3. c) n = 13 e m = 6. d) n ímpar e m par. e) n.d.a.
32 - (ITA-88) Sabendo-se que as soluções da equação x^2 - x - 6 = 0 são raízes da equação x^2 – ax + b = 0, podemos afirmar que: a) a = 1 e b = 6 b) a = 0 e b = - 6 c) a = 1 e b = - 6 d) a = 0 e b = - 9 e) não existem a e b tais que x^2 – ax + b = 0 contenha todas as raízes da equação dada.
Prova de Funções – ITA
1 - (ITA-13) Considere as funções f e g, da variável real x,
definidas, respectivamente, por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 (^2) +𝑎𝑥+𝑏 e
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑎𝑥3𝑏), em que a e b são números reais. Se
𝑓(−1)^ = 1 = 𝑓(−2)^ , então pode-se afirmar sobre a função composta g o f que a) g o f(1) = ln 3 b) não existe g o f (0) c) g o f nunca se anula d) g o f está definida apenas em { x ∈IR : x > 0} e) g o f admite dois zeros reais distintos.
2 - (ITA-13) Considere funções f, g, f + g : IR →IR. Das afirmações: I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora é (são) verdadeira(s) a) nenhuma b) apenas I e II c) apenas I e III d) apenas III e IV e) todas
3 - (ITA-10) Sejam f,g: , tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações I. f.g é ímpar, II fog é par, III gof é impar,
é (são) verdadeiras (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) todas.
4 - (ITA-09) Seja f : IR IR { 0 } uma função
satisfazendo às condições: f x ( y ) f x ( ) f ( ) y , para
todo x , y IR e f ( ) x 1 , para todo x IR { 0 }.
Das afirmações:
I. f pode ser ímpar. II. f (0) 1.
III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois
f ( ) x 0 para todo x IR.
é (são) falsa(s) apenas A ( ) I e III. B ( ) II e III. C ( ) I e IV. D ( ) IV. E ( ) I.
5 - (ITA-09) Considere as funções f ( x ) = x^4 +2x^3 -2x -1 e g ( x ) = x^2 -2x +1. A multiplicidade das raízes não reais da função composta fog é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6 - (ITA-08) Um subconjunto D de R tal que a função f:
D R, definida por f(x) = |In(x^2 - x + 1)| é injetora, é
dado por a) R b) (- , 1] c) [0,1/2] d) (0,1) e) [1/2, )
7 - (ITA-06) Seja f: IR IR definida por f(x) = 77 sen[5(x + /6)] e seja B o conjunto dado por B = {x IR: f(x) = 0}. Se m é o maior elemento de B (–, 0) e n é o menor elemento de B (0, +), então m + n é igual a a) 2/15 b) /15 c) – / d) – /15 e) – 2 /
8 - (ITA-06) Se para todo z ℂ, |f(z)| = |z| e |f(z) – f(1)| = |z – 1|, então, para todo z ℂ, f( 1 )f(z) + f(1) f(z) é igual a a) 1 b) 2z c) 2 Re z d) 2 Im z e) 2|z|^2.
9 - (ITA-05) Seja D = IR \ {1} e f : D D uma função dada por x 1 f (x) x^1 Considere as afirmações: I – f é injetiva e sobrejetiva. II – f é injetiva, mas não sobrejetiva. III – 0 x f (x) f^1
, para todo x D, x 0.
IV – f(x). f(–x) = 1, para todo x D. Então, são verdadeiras: a) apenas I e III. b) apenas I e IV c) apenas II e III d) apenas I, III e IV e) apenas II, III e IV
10 - (ITA-04) Considere a função : ℝ ℂ , (x) = 2 cos x + 2i sen x. Então, x, y ℝ, o valor do produto (x) (y) é igual a: a) (x + y) b) 2(x + y) c) 4i (x + y) d) (xy) e) 2 (x) + 2i (y)
11 - (ITA-04) Sejam as funções e g definidas em ℝ por (x) = x^2 + x e g(x) = - (x^2 + x) , em que e são números reais. Considere que estas funções são tais que: G Valor mínimo
Ponto de mínimo
Valor máximo
Ponto de máximo -1 < 0 4 9
0
Então, a soma de todos os valores de x para os quais (fog) (x) = 0 é igual a: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
12 - (ITA-03) Considere a função:
: Z \ {0} IR, (x) = 3 x^ -^2 9 2x^1 ^1 ^2 x- 3 2x^5 ^1 x 1. A soma de todos os valores de x para os quais a equação y^2 + 2y + (x) = 0 tem raiz dupla é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6
13 - (ITA-03) Considere uma função : IR IR não- constante e tal que (x + y) = (x) (y), x, y IR. Das afirmações: I - (x) > 0, x IR. II - (nx) = [(x)]n, x IR, n IN*. III - é par. é (são) verdadeira(s): a) apenas I e II. d) todas. b) apenas II e III. e) nenhuma. c) apenas I e III.
14 - (ITA-03) Considere os contradomínios das funções
arco-seno e arco-cosseno como sendo
(^) 2
, 2
e [0, ],
respectivamente. Com respeito à função : [-1, 1]
(^) 2
,^3 2
, (x) = arcsen x arccos x, temos que:
a) é não-crescente e ímpar. c) é injetora. b) não é par nem ímpar. d) é constante. c) é sobrejetora.
15 - (ITA-02) Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c >
- Sendo par a função dada por
,-c x c, x b
f x ax b
então f(x), para – c < x < c, é
constante e igual a: a) a + b d) b b) a + c e) a c) c
16 - (ITA-02) Os valores de x R, para os quais a função
real por f x 5 - ||2x- 1 |- 6 |está definida, formam
o conjunto. a) [0, 1] d) [- 5, 6] b) [- 5, 6] e) (- , 0] [1, 6] c) [- 5, 0] [1, )
17 - (ITA-02) Sejam e g duas funções definidas por
,x R.
3 sen^2 - 1
2
1 e gx
3 sen x- 1
x f x A
soma do valor mínimo de com o valor mínimo de g é igual a:
a) 0 b)
c)
d)
e) 1
18 - (ITA-02) Seja : R P(R) dada por f x { y R;sen y x}. Se A é tal que (x) = R, x A, então. a) A= [- 1, 1]. b) A = [a, ), a > 1. c) A = [a, ), a 1. d) A = (- , a], a < - 1. e) A = (- , a], a - 1.
19 - (ITA-02) Dada a função quadrática 2
3 In 4
1 In6- 3
2 f xx^2 In temos que: a) A equação (x) = 0 não possui raízes reais. b) A equação (x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráficos de possui concavidade para cima. c) A equação (x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de possui concavidade para baixo. d) O valor máximo de é ln3-ln
ln2.ln.
E. ( ) o valor máximo de f é 2 ln3-ln
ln2.ln .
20 - (ITA-01) Se f : ]0, 1[ R é tal que, x ]0,1[,...
f(x) 21 e
^
2
f x^1 2
f x 4
f(x)^1
então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ...e 0 x 1 é: a) f(x) + 2 1 2 <
1 (^) n d) f(x) 2 n 1
b) 2 n 1 f(x) 2 1 e) f(x) 21 n
c) 2 n+ 1 1 f(x) 21
21 - (ITA-01) Considere as funções f(x) =^5 + 47 ,g(x)=^547
x x e h(x) = arc tg a: Se é tal que h (f(a)) + h(g(a) = /4, então f(a) – g(a) vale: a) 0 b) 1 c) 74 d) 27 e) 7
b) Todas as afirmações são verdadeiras. c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
31 - (ITA-98) Sejam as funções f: e g:A , tais que f(x) = x^2 – 9 e (fog)(x) = x - 6, em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é: a) [– 3, +[ b) c) [ – 5 , +[ d) ]– , – 1[[3 , + [ e) ] – , 6 [
32 - (ITA-97) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções . definidas por
(x) =
1,sex I 0,sex Q g (x) =
0,sex I
1,sex Q
Seja J a imagem da função composta og : . Podemos afirmar que: a) J = b) J = Q c) J = {0} d) J = {1} e) J = {0,1}
33 - (ITA-97) O domínio D da função
(x) = ln
x -(1+ )x+ 2
2 2 é o conjunto
a) D = { x : 0 < x < 3 / 2} b) D = { x : x < 1/ ou x > } c) D = { x : 0 < x 1/ ou x } d) D = { x : x > 0} e) D = { x : 0 < x < 1/ ou < x < 3/2 }
34 - (ITA-97) Sejam f ,g : funções tais que: g(x) = 1 – x e (x) + 2 (2 – x ) = (x – 1)^3 para todo x . Então [g(x)] é igual a: a) (x – 1)^3 b) (1 – x)^3 c) x^3 d) x e) 2 – x
35 - (ITA-96) Seja f : * uma função injetora tal que f(1) = 0 e f(x.y) = f(x) + f(y) pra todo x > 0 e y > 0. Se x 1 , x 2 , x 3 , x 4 e x 5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo
que
5
i 1
f(xi ) 13 f( 2 ) 2 f(x 1 )e
^
(^4)
i 1
1 i 1
i (^2) f( 2 x) x f x , então
o valor de x 1 é: a) -2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1
36 - (ITA-96) Considere as funções reais f e g definidas por:
1 x^2
f( x)^12 x
, x R - { -1, 1} e 1 2 x g( x) x , x R - { -1/2}. O maior subconjunto de R onde pode ser definida a composta fog, tal que (fog)(x) < 0, é: a) ]-1, -1/2[ ]-1/3, -1/4[ b) ]- , -1[ ]-1/3, -1/4[ c) ]- , -1[ ]-1/2, 1[ d) ]1, [ e) ]-1/2, -1/3[
37 - (ITA-96) Seja f :RRdefinida por:
x 4 x 3 ,x 0 f( x)^3 x^3 ,x^0 2
a) fé bijetora e (fof )( 2 / 3 ) f^1 ( 21 ). b) fé bijetora e ( fof)( 2 / 3 ) f^1 ( 99 ). c) fé sobrejetora mas não é injetora. d) f é injetora mas não é sobrejetora. e) fé bijetora e (fof )( 2 / 3 ) f^1 ( 3 ).
38 - (ITA-95) Seja a função f: definida por:
( /2) (a/x)senx
a(x /2) f (x) π
π se,x / 2
se,x / 2
onde a > 0 é uma constante. Considere K = { y R;f(y) =0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f( / 2 ) K? a) /4 b) /2 c) d) ^2 /2 e) ^2
39 - (ITA-95) Os dados experimentais da tabela abaixo correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após 2,5 segundo é: Tempo(s) Concentração(moles) 1 3, 2 5, 3 1, a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,
40 - (ITA-94) Dadas as funções reais de variável real f(x) = mx + 1 e g(x) = x + m, onde m é uma constante real com 0 < m < 1, considere as afirmações: I- (fog)(x) = (gof)(x), para algum x R. II- f(m) = g(m) III- Existe a R tal que (fog)(a) = f(a). IV- Existe b R tal que (fog)(b) = mb. V- 0 < (gog)(m) < 3 Podemos concluir a) Todas são verdadeiras. b) Apenas quatro são verdadeiras. c) Apenas três são verdadeiras. d) Apenas duas são verdadeiras. e) Apenas uma é verdadeira.
41 - (ITA-93) Seja uma função não nula, ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes afirmações: I. f(p) 0 III. f(– x) = f(x – p), x R II. f(– x) = – f(x + p), x R IV. f(x) = – f(– x) , x R Podemos concluir que: a) I e II são falsas. b) I e III são falsas. c) II e III são falsas. d) I e IV são falsas. e) II e IV são falsas.
42 - (ITA-93) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é
dado por: f(t) =
B
1 Ce kt
, onde B é a população da
cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente 3 horas após, então o tempo que se passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: a) 4 horas d) 5 horas e 24 min b) 5 horas e) 5 horas e 30 min c) 6 horas
43 - (ITA-92) Considere as funções f:*, g:, e
h:* definidas por: x
x^1 f( x) 3
, g(x) = x^2 , h(x) = 81/x. O conjunto dos valores de x em *^ tais que (fog)(x) = (hof)(x), é subconjunto de: a) [0, 3] b) [3, 7] c) [-6, 1] d) [-2, 2] e) n.d.a.
44 - (ITA-92) O domínio da função: f( x) log 2 x (^2) 3 x 1 ( 3 x^2 5 x 2 ) é:
a) (- , 0) (0, 1/2) (1, 3/2) (3/2, + ) b) (- , 1/2) (1, 5/2) (5/2, + ) c) (- , 1/2) (1/2, 2/3) (1, 3/2) (3/2, + ) d) (- , 0) (1, + ) e) n.d.a.
45 - (ITA-92) Dadas as funções f: e g :, ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h = fog. Então podemos afirmar que: a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. c) h é estritamente crescente, mas não necessariamente inversível. d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente.
e) nda
46 - (ITA-91) Considere as afirmações: I- Se f: é uma função par e g: uma função qualquer, então a composição gof é uma função par. II- Se f: é uma função par e g: uma função ímpar, então a composição fog é uma função par. III- Se f: é uma função ímpar e inversível então f –^1 : é uma função ímpar. Então: a) Apenas a afirmação I é falsa; b) Apenas as afirmações I e II são falsas; c) Apenas a afirmação III é verdadeira; d) Todas as afirmações são falsas; e) n.d.a.
47 - (ITA-91) Sejam a , a > 1 e f: definida por f(x) = 2
ax ax
. A função inversa de f é dada por:
a) loga(x – x^2 1 ), para x > 1 b) loga( – x + x^2 1 ), para x c) loga(x + x^2 1 ), para x d) loga( – x + x^2 1 ), para x < - e) nda
48 - (ITA-91) Seja definida por:
f(x) =
lnx,sex 1
x 1 ,se 0 x 1
e,sex 0 2
x
Se D é um subconjunto não vazio de tal que f: D é injetora, então: a) D = e f(D) = [ – 1 , +[ b) D = ] – , 1] ]e , +[ e f(D) = ] – 1 , +[ c) D = [0 , + [ e f(D) = ] – 1 , +[ d) D = [0 , e] e f(D) = [ – 1 , 1] e) n.d.a. Notação: f(D) = {y : y = f(x), x D} e ln x denota o logaritmo neperiano de x. Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente.
49 - (ITA-90) Dadas as funções f(x) = x
x 1 e
1 e
, X - {0}
g(x) = x sen x, x IR, podemos afirmar que: a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar. c) f é ímpar e g é par. d) f não é par e nem ímpar e g é par. e) ambas são ímpares.
