Dissertação de Mestrado
Dezembro de 2003
Alguns Problemas Clássicos de
Geometria Projectiva
Pedro Correia Gonçalves Macias Marques
Licenciado em Matemática
Orientadora: Professora Doutora Margarida Mendes Lopes
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Tipologia: Exercícios
2022
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Dissertação de Mestrado
Dezembro de 2003
Alguns Problemas Clássicos de
Geometria Projectiva
Pedro Correia Gonçalves Macias Marques
Licenciado em Matemática
Orientadora: Professora Doutora Margarida Mendes Lopes
Resumo
Neste trabalho são apresentados alguns problemas clássicos de geometria pro- jectiva e as suas resoluções, recorrendo ao cálculo de Schubert e a argumentos geométricos mais clássicos. Entre os problemas abordados estão o de encon- trar o número de rectas de P^3 que intersectam quatro rectas dadas, o de encontrar o número de rectas de P^4 que intersectam seis planos dados e o de encontrar e descrever a configuração das rectas contidas numa superfície cúbica de P^3. É feita também a descrição de uma superfície de Kummer, que é construída a partir da intersecção da variedade de Grassmann G 1 , 3 das rectas de P^3 com uma hipersuperfície quádrica de P^5.
Palavras-chave: geometria projectiva, grassmanniano, rectas em P^3 , cál- culo de Schubert, superfície cúbica.
Abstract
This dissertation presents some classical problems in projective geometry and their resolutions, in which are used results of Schubert calculus and more classical geometrical arguments. Among these problems are the one of finding the number of lines in P^3 intersecting four given lines, the one of finding the number of lines in P^4 intersecting six given planes, and the one of finding the number of lines lying on a cubic surface in P^3 and describing their configuration. It also presents the description of a Kummer surface, whose construction is based on the intersection of the Grassmann manifold G 1 , 3 of lines in P^3 and a quadric hypersurface in P^5.
Key-words: projective geometry, grassmannian, lines in P^3 , Schubert cal- culus, cubic surface.
Introdução
A presente dissertação visa apresentar certas questões clássicas de geome- tria projectiva – algumas das quais remontando ao século XIX –, e descrever possíveis resoluções.
Para algumas destas questões torna-se necessário introduzir a noção de grassmanniano – o conjunto dos subespaços de um espaço projectivo com uma dada dimensão. É feita também uma descrição do mergulho de Plücker, que permite identificar cada grassmanniano com uma subvariedade de um espaço projectivo. Para o estudo de algumas destas questões, é utilizada uma ferramenta, o cálculo de Schubert, que é também apresentada, e que foi o ponto de partida deste trabalho.
Começa-se por estudar um dos grassmannianos mais simples: o con- junto das rectas de P^3. O mergulho de Plücker permite-nos identificar este grassmanniano com uma hipersuperfície quádrica de P^5 , que designamos por G 1 , 3. São exploradas as intersecções de G 1 , 3 com os diferentes subespaços de P^5 e é estudada a ligação entre estes conjuntos e os conjuntos de rec- tas de P^3 representados por eles. Verifica-se que algumas destas intersecções têm um significado geométrico muito preciso, no sentido em que correspon- dem a conjuntos de rectas que satisfazem uma condição surpreendentemente simples. Por exemplo, as rectas de P^5 contidas em G 1 , 3 correspondem aos conjuntos das rectas de P^3 que estão contidas num dado plano π e passam por um dado ponto P ∈ π; os planos contidos em G 1 , 3 correspondem ou aos conjuntos das rectas de P^3 que estão contidas num dado plano π, ou aos conjuntos das rectas de P^3 que passam por um dado ponto P.
Em seguida, estudam-se três problemas de geometria enumerativa, área da geometria algébrica que estuda problemas relacionados com o número de objectos em variedades que satisfazem um dado conjunto de condições.
Em primeiro lugar, procura-se encontrar o número de rectas de P^3 que intersectam quatro rectas dadas. A minha atenção foi despertada para este problema pela leitura de An Invitation to Algebraic Geometry (K. Smith e outros) [SKKT00], que me permitiu ter uma primeira perspectiva de conjunto (embora superficial) sobre esta área da matemática. Uma generalização deste
A resolução do primeiro, que consiste em encontrar o número de rectas de P^3 que intersectam simultaneamente quatro rectas dadas, é baseada no artigo acima referido [KL72], e é tratada por duas vias distintas: uma re- correndo ao cálculo de Schubert e a outra a argumentos geométricos mais clássicos. Deparamo-nos assim com uma oportunidade para confrontar as duas abordagens. A resolução do segundo problema, o de encontrar o número de rectas em P^3 que intersectam simultaneamente quatro curvas dadas, e que se pode encontrar no mesmo artigo, utiliza apenas o cálculo de Schubert. A resolução do terceiro problema, que se debruça sobre o número de rectas que intersectam seis planos dados em P^4 , utiliza também o cálculo de Schubert. É depois apresentado um exemplo concreto de seis planos, no qual é calculado directamente, com a ajuda do computador, o número de rectas que os intersectam. A propósito deste problema, é apresentado um resultado sobre a relação entre a configuração de cinco planos em P^4 e o número de rectas que os intersectam. Finalmente, é dado destaque a um estudo do grassmanniano G 1 , 3 que vem continuar aquele que fora feito anteriormente: em vez de cortes de G 1 , 3 por subespaços projectivos, é observada a intersecção entre G 1 , 3 e outra hipersu- perfície quádrica de P^5. A partir daqui, é obtida uma superfície de Kummer, que é estudada recorrendo ao cálculo de Schubert, aos conhecimentos já es- tudados sobre G 1 , 3 e ainda a resultados, que se pressupõem conhecidos, como o teorema de Bertini e relações a que obedece a característica de Euler de algumas variedades. Tanto o terceiro problema abordado como esta descrição da superfície de Kummer se baseiam no livro de Griffiths e Harris, Principles of Algebraic Geometry [GH94].
O capítulo 3 aborda um conhecido problema de geometria enumerativa: encontrar o número de rectas que estão contidas numa superfície cúbica de P^3. É apresentada uma primeira resolução, a partir do livro de Miles Reid, Undergraduate Algebraic Geometry [Rei94], a qual, por um lado, recorre a métodos mais clássicos e, por outro lado, aproveita a resposta a um problema resolvido no capítulo anterior, o de procurar o número de rectas de P^3 que intersectam quatro rectas dadas. Em seguida, é feita outra abordagem ao mesmo problema, desta vez ba- seada no livro de Hartshorne, Algebraic Geometry [Har93], recorrendo a re- sultados mais recentes. Mostra-se que o blow-up de P^2 em seis pontos resulta numa superfície cúbica S que pode ser mergulhada em P^3 , e descreve-se como assim são obtidas todas as rectas que estão contidas em S. Aqui são utilizados resultados e conceitos, que também se supõem conhecidos, como a fórmula de
4 Introdução
adjunção e o grupo de Picard de uma variedade. Recorrendo a argumentos da teoria das superfícies, mostra-se também que qualquer superfície cúbica de P^3 pode ser assim obtida, o que torna evidente a generalidade desta abordagem. É depois observada a simetria da configuração das rectas contidas na superfície S, mediante a descrição do duplo-seis de Schläfli – um conjunto de 12 rectas numa configuração particular, com a qual é possível encontrar uma cúbica que as contenha. Esta descrição foi feita a partir do divertido livro de Hilbert e Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, [HCV52]. A título ilustrativo, a segunda abordagem do problema é utilizada para considerar casos em que, não estando os seis pontos de P^2 em posição geral, o número de rectas contidas em S não é o mesmo. Por fim, a propósito deste problema e também a partir de [Har93], é determinado o número de rectas contidas numa hipersuperfície cúbica de P^4 que passam por cada ponto.
6 Grassmannianos
A intersecção de qualquer família e a união de uma família finita de variedades em Pn^ são ainda variedades em Pn. Logo, podemos munir este espaço projectivo de uma topologia, chamada topologia de Zariski, tomando para fechados as variedades. Dizemos que uma variedade é irredutível, se o for como fechado nesta topologia. A dimensão de uma variedade irredutível é a sua dimensão como espaço topológico. A dimensão de uma variedade qualquer é o máximo das dimensões das suas componentes irredutíveis. Se V for uma variedade, um subconjunto W ⊆ V é uma subvariedade de V se também for variedade algébrica. Os abertos de Zariski não vazios são densos e, por esta razão, dizemos que uma propriedade é geral numa variedade V se for verificada pelos elementos de algum aberto não vazio de V. Dizemos que um ponto a ∈ V é um ponto genérico ou um ponto geral de V que verifica uma dada propriedade, se existir um aberto não vazio A de V tal que a ∈ A e a referida propriedade é verificada por todos os pontos de A. Dado um ponto a de uma variedade V , definida por uma família de polinó- mios {fi}i∈I , o espaço tangente projectivo a V em a é o subespaço projectivo de Pn TaV := V
∂fi ∂X 0 (a)X^0 +^ · · ·^ +^
∂fi ∂Xn (a)Xn
i∈I
A dimensão de V coincide com o mínimo do conjunto {dim TaV : a ∈ V }; para um ponto genérico a ∈ V , temos dim TaV = dim V. Dizemos que a ∈ V é um ponto singular ou uma singularidade de V se dim TaV > dim V. Uma variedade é não singular se não tiver nenhum ponto singular. Chamamos curva e superfície a variedades de dimensão um e dois, res- pectivamente. Uma recta é um subespaço projectivo de dimensão um de Pn (correspondente a um subespaço vectorial de dimensão dois de Kn+1). Ana- logamente, um plano é um subespaço projectivo de Pn^ de dimensão dois. Se n ≥ 1 , uma hipersuperfície de Pn^ é uma variedade de dimensão n − 1 , que pode sempre ser definida por um polinómio. O grau de uma hipersuperfície F é o menor dos graus dos polinómios f tais que F = V(f ). Um hiperplano e uma quádrica são hipersuperfícies de graus um e dois, respectivamente.
Grassmannianos. O grassmanniano G(k, E) é o conjunto dos subespaços vectoriais de dimensão k do espaço vectorial E. No caso em que E = Kn, escrevemos G(k, n) em vez de G(k, E). Como cada subespaço vectorial de Kn+1^ de dimensão k + 1 está natural- mente associado a um subespaço projectivo de dimensão k de Pn, podemos identificar o grassmanniano G(k + 1, n + 1) com o conjunto destes subespaços de Pn, para o qual usamos a notação G(k, n). Chamamos também k-plano a um subespaço projectivo de Pn^ de dimensão k.
1.2 Mergulho de Plücker 7
Ao grassmanniano G(n− 1 , n), conjunto dos hiperplanos de Pn, chamamos o espaço projectivo dual, e usamos a notação Pn∗. Se um hiperplano de Pn^ é definido por um polinómio da forma h 0 X 0 + · · · + hnXn, as suas coordenadas em Pn∗^ são [ h 0 : · · · : hn ]. Dada uma variedade irredutível V não singular de Pn^ de dimensão k, definimos a aplicação de Gauss GV : V → G(k, n), fazendo corresponder a cada ponto a ∈ V o espaço tangente projectivo TaV.
Factos interessantes sobre quádricas. Consideremos uma hipersu- perfície quádrica F em Pn^ e tomemos um polinómio de segundo grau f ∈ K[X 0 ,... , Xn] tal que F = V(f ). Existe então uma única matriz simé- trica Q ∈ M(n+1)×(n+1)(K), com Q = [qij ], tal que
f (X 0 ,... , Xn) =
∑^ n
i,j=
qij XiXj.
Logo, o espaço tangente a F num ponto a = [ a 0 : · · · : an ] é
TaF = V
( (^) n ∑
i,j=
qij aiXj
Daqui concluímos que F é não singular se e só se Q tiver característica n + 1. Se F for não singular, a aplicação de Gauss GF é a restrição a F do isomorfismo G˜F : Pn^ → Pn∗^ correspondente à aplicação linear associada à matriz Q. É também conhecido que, se F é não singular, esta quádrica não contém nenhum subespaço de Pn^ de dimensão superior a n− 2 1. Mais: se n for par, digamos n = 2k, existe uma família irredutível de (k − 1)-planos contidos em F ; se n for ímpar, digamos n = 2k + 1, existem duas famílias irredutíveis de k-planos contidos em F. Neste último caso, dados dois k-planos V 1 , V 2 ⊂ F , temos dim(V 1 ∩ V 2 ) ≡ k(mod 2) se e só se V 1 e V 2 pertencerem à mesma família.
1.2 Mergulho de Plücker
O grassmanniano G(k, n) pode ser mergulhado no espaço projectivo PN^ , onde N =
(n+ k+
− 1. É apresentada em seguida uma descrição deste mergulho baseada em [KL72]. Dado um elemento F ∈ G(k, n), tomamos uma base (v 0 ,... , vk) de F (encarado como subespaço de Kn+1) e consideramos a matriz
1.2 Mergulho de Plücker 9
Vejamos porquê. Em primeiro lugar, observemos que, se um ponto x ∈ PN^ satisfaz as correlações de Plücker, então, para quaisquer j 0 ,... , jk− 1 , l 0 ,... , lk+1 ∈ { 0 ,... , n} (independentemente da ordem), é válida a condição (1.1). Com efeito, se algum dos índices j 0 ,... , jk− 1 está repetido, esta condição verifica-se imediatamente; caso contrário, podemos tomar uma permutação σ tal que jσ 0 < · · · < jσk− 1. Então
∑^ k+
m=
(−1)mxj 0 ···jk− 1 lm xl 0 ··· lˆm···lk+1 =
= (−1)σ
∑k+
m=
(−1)mxjσ 0 ···jσk− 1 lm xl 0 ··· lˆm···lk+1 = 0.
Verifiquemos agora que as coordenadas de Plücker de qualquer k-plano satisfazem as correlações de Plücker. À semelhança do que fizemos anterior- mente, dada uma matriz M , para cada sequência de índices (i 0 ,... , ip), uti- lizemos a notação Mi 0 ···ip para designar a matriz obtida a partir das colunas i 0 ,... , ip de M. Seja F ∈ G(k, n), seja (v 0 ,... , vk) uma sua base e seja, tal como acima, A ∈ M(k+1)×(n+1)(K) a matriz cujas linhas são as suas coordenadas em rela- ção à base canónica. Tomemos j 0 ,... , jk− 1 , l 0 ,... , lk+1 ∈ { 0 ,... , n} tais que j 0 < · · · < jk− 1. Então, se designarmos por Arjˆ 0 ···jk− 1 a matriz que se obtém a partir da matriz Aj 0 ···jk− 1 suprimindo a linha r, isto é, a linha [vrj 0 · · · vrjk− 1 ], temos
∑^ k+
m=
(−1)m^
∣Aj 0 ···j k− 1 lm
∣Al 0 ··· lˆm···lk+
∑^ k+
m=
(−1)m
( (^) k ∑
r=
(−1)r+kvrlm
∣Aˆrj 0 ···jk− 1
∣Al 0 ··· lˆm···lk+
∑^ k
r=
(−1)r+k
∣Arjˆ 0 ···jk− 1
( (^) k+ ∑
m=
(−1)mvrlm
∣Al 0 ··· lˆm···lk+
∑^ k
r=
(−1)r+k
∣Arjˆ 0 ···jk− 1
vrl 0 · · · vrlk+ v 0 l 0 · · · v 0 lk+ .. .
vkl 0 · · · vklk+
Na expressão entre parêntesis está um determinante com duas linhas iguais, logo nulo. Portanto as coordenadas de Plücker do subespaço F verifi- cam (1.1).
10 Grassmannianos
Reciprocamente, tomemos um ponto x = [ x 0 ···k : · · · : xn−k···n ] ∈ PN^ que verifique as correlações de Plücker. Sejam l 0 < · · · < lk índices para os quais se tenha xl 0 ···lk não nulo. Sem perda de generalidade, podemos supor que xl 0 ···lk = 1. Verifiquemos primeiro que todas as coordenadas de x de- pendem apenas das coordenadas que se podem escrever na forma xl 0 ··· lˆβ ···lk j , com 0 ≤ j ≤ n e 0 ≤ β ≤ k. Seja xj 0 ···jk uma das coordenadas de x e seja s a cardinalidade do conjunto {j 0 ,... , jk} \ {l 0 ,... , lk}. Se s for zero ou um, não temos nada a mostrar. Caso s > 1 , tomemos β ∈ { 0 ,... , k} tal que jβ ∈ {j 0 ,... , jk} \ {l 0 ,... , lk}. A igualdade (1.1) permite-nos afirmar que
∑^ k
m=
(−1)mxj 0 ··· jˆβ ···jk lm xl 0 ··· lˆm···lk jβ + (−1)k+1xj 0 ··· jˆβ ···jk jβ xl 0 ···lk = 0,
donde
(−1)k+1xj 0 ··· jˆβ ···jk jβ · 1 = −
∑^ k
m=
(−1)mxj 0 ··· jˆβ ···jk lm xl 0 ··· lˆm···lk jβ.
Portanto
xj 0 ···jk = (−1)^2 k−β
∑k
m=
(−1)mxj 0 ··· jˆβ ···jk lm xl 0 ··· lˆm···lk jβ.
Assim, vemos que a coordenada xj 0 ···jk depende das coordenadas da forma xj 0 ··· jˆβ ···jk− 1 lm , cujo conjunto de índices já tem apenas s − 1 elementos não per-
tencentes ao conjunto {l 0 ,... , lk} e das coordenadas da forma xl 0 ··· lˆm···lk jβ , cujo
conjunto de índices tem apenas um elemento não pertencente a {l 0 ,... , lk}. Continuando este processo, vemos que qualquer coordenada depende apenas dos valores que se podem escrever na forma xl 0 ··· lˆβ ···lk j.
Para cada i ∈ { 0 ,... , k} e para cada j ∈ { 0 ,... , n}, definamos
vij := xl 0 ···li− 1 jli+1···lk. (1.2)
Assim, o sistema composto pelos vectores vi = (vi 0 ,... , vin) é linearmente independente, pois, para cada i, j ∈ { 0 ,... , k}, temos
vilj =
1 , se i = j; 0 , se i 6 = j.
Seja F ∈ G(k, n) o espaço gerado pelo sistema de vectores (v 0 ,... , vk) e seja A = [vij ] ∈ M(k+1)×(n+1)(K).