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Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Ciências Tecnológicas
Departamento de Matemática
Variáveis Complexas Viviane
- Extração de raízes enésimas
Vamos mostrar que todo número complexo não nulo tem n raízes enésimas complexas e aprendere- mos a determiná-las.
Sejam n um número natural e z um número com- plexo. Um elemento w ∈ C tal que
wn^ = z
é chamado de uma raiz enésima de z.
É claro que se n = 1, então a única raiz de 1- ésima de z é o próprio z. Se z = 0, então a equação zn^ = 0 tem uma única solução. Em resumo, os casos são z ∈ C∗^ e n ≥ 2.
Exemplo 1.1. Todo w ∈ { 1 , − 1 , i, −i} tem a pro- priedade w^4 = 1
e é chamado de uma raiz quarta complexa de 1 (ou raiz quarta complexa da unidade).
Figura 1. Raízes quartas da unidade
Exemplo 1.2. Todo w ∈ {− 4 i, 2
3 + 2i, − 2
2 i} é uma raiz cúbica de 64 i. De fato, temos
(− 4 i)^3 = −64(−i) = 64i,
(
3 + 2i)^3 = [4(cos(π/6) + i sin(π/6))]^3 = 64 [cos(π/2) + i sin(π/2)] = 64i,
3 + 2i)^3 = [4(cos(5π/6) + i sin(5π/6))]^3 = 64 [cos(5π/2) + i sin(5π/2)] = 64 [cos(2π + π/2) + i sin(2π + π/2)] = 64 [cos(π/2) + i sin(π/2)] = 64i.
Figura 2. Raízes cúbicas de 64 i
Sejam n ≥ 2 um número natural e z 6 = 0 um número complexo. Escrevemos z = r(cos θ + i sin θ), em que r = |z| e θ é um argumento de z. Vamos calcular as raízes enésimas de z. Queremos deter- minar os números complexos w = ρ(cos(φ) + i sin φ) tais que z = wn. Como wn^ = ρn(cos(nφ) + i sin(nφ)], temos wn^ = z se, e somente se,
{ ρn^ = r nφ = θ + 2πλ, λ ∈ Z se, e somente se, { ρ =
r, ρ ∈ R, ρ > 0 φ = θ+2nπλ , λ ∈ Z. 1
2
Portanto, temos que
zλ = n
r
[
cos
θ + 2πλ n
θ + 2πλ n
)]
em que λ ∈ Z.
Sejam λ, k ∈ Z. Da igualdade de números com- plexos na foram polar, temos que
zλ = zk
⇐⇒
θ + 2πλ n
θ + 2πk n
= 2πs, para algum s ∈ Z
2 πλ n
2 πk n
= 2πs, para algum s ∈ Z
λ n
k n
= s, para algum s ∈ Z ⇐⇒ λ − k = sn, para algum s ∈ Z ⇐⇒ λ = sn + k, para algum s ∈ Z.
Dessa forma, só interessa o resto que λ deixa na di- visão por n. Para cada resto há uma enésima raiz de z.
Logo, para cada k = 0, 1 ,... , n − 1 há uma raiz complexa enésima de z, determinada pelo argu- mento
φk =
θ + 2πk n
sendo as raízes complexas enésimas de z, portanto, dadas por,
zk = n
r (cos φk + i sin φk) ,
em que φk =
θ + 2πk n
e k = 0, 1 ,... , n − 1.
Proposição 1.3. Para cada número natural n, um número complexo z 6 = 0 tem exatamente n raízes complexas enésimas, a saber, (1)
zk = n
r
[
cos
θ + 2πk n
θ + 2πk n
)]
k = 0, 1 ,... , n − 1 , em que r = |z| > 0 e θ é um argumento de z.
Dado um número complexo z, podemos rescreve- lo como
z = r(cos θ + i sin θ) = r [cos(θ + 2πk) + i sin(θ + 2πk)]
para qualquer k ∈ Z. Então, usando a forma expo- nencial z, usando a forma exponencial, como
z = rei(θ+2πk).
Desse modo, as raízes enésimas de z são das por
zk =
rei(θ+2πk)
) (^1) n = r
1 n (^) e
i(θ+2πk) n (^) ,
k = 0, 1 ,... , n − 1 , em que r = |z| > 0 e θ é um argumento de z.
Exemplo 1.4. Encontre as raízes quartas de 1 + i.
Neste caso r =
2 , θ = π/ 4 e n = 4. Da propo- sição anterior, segue que:
zk =
4
[
cos
π/4 + 2πk 4
π/4 + 2πk 4
)]
Assim,
[
cos
( (^) π 16
( (^) π 16
)]
1 .06955 + 0. 21275 i,
[
cos
( (^9) π 16
( (^9) π 16
)]
− 0 .21275 + 1. 06955 i,
[
cos
( (^17) π 16
( (^17) π 16
)]
− 1. 0696 − 0. 21275 i,
[
cos
( (^25) π 16
( (^25) π 16
)]
- 21275 − 1. 0696 i
Figura 3. Raízes quartas de 1 + i
Observação 1.5. As raízes enésimas de um nú- mero complexo z = r(cos θ + i sin θ) pertencem ao círculo de raio n
r e centro na origem. Além do mais, as raízes estão igualmente espaçadas a cada 2 π n
radianos.
Figura 4. Distribuição das raízes no plano
