Baixe Matemática - limites e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Ciências Tecnológicas
Departamento de Matemática
Variáveis Complexas Viviane
- Vizinhanças
Seja z 0 um número complexo e ε um número real positivo. Uma ε-vizinhança de z 0 é o conjunto dos números complexos z tais que
|z − z 0 | < ε.
Denotamos uma ε-vizinhança de z 0 por D(z 0 , ε).
Uma ε-vizinhança de z 0 também é chamada de disco aberto (ou ainda, bola aberta) de raio ε e cen- tro z 0.
Figura 1. ε-vizinhança de z 0.
Uma ε-vizinhança perfurada (ou um disco aberto perfurado de raio ε) é uma ε-vizinhança cujo o cen- tro foi removido. Assim, uma ε-vizinhança perfu- rada de z 0 tem a forma D(z 0 , ε) \ {z 0 }.
Figura 2. ε-vizinhança perfurada de z 0
- Limites de Funções Complexas
Seja f uma função com domínio S. Desejamos atribuir significado preciso à expressão
"f tem limite L quando z tende a z 0 ."
Isto deverá significar que a distância |f (x) − L| en- tre f (z) e L pode ser feita arbitrariamente pequena (< ε), à custa de restringir z a uma vizinhança con- veniente de z 0. Mas a variável z apenas aproxima z 0 , sem nunca assumir este valor. Também z deve pertencer ao domínio da função e z 0 deve ser ponto de acumulação desse domínio.
Definição 2.1. Seja f uma função complexa definida em uma vizinhança perfurada de z 0 e seja L um número complexo. O limite de f à medida que z tende a z 0 existe e é igual a L, escrito como lim z→z 0
f (z) = L,
se para todo ε > 0 , existe um δ > 0 tal que |f (z) − L| < ε sempre que 0 < |z − z 0 | < δ.
Pela definição acima, se
lim z→z 0
f (z) = L
e se ε for um número positivo qualquer, existe uma δ-vizinhança perfurada de z 0 com a seguinte pro- priedade: para todo ponto z nesta vizinhança per- furada, f (z) está na ε-vizinhança de L. Em outras palavras, f mapeia a vizinhança perfurada
0 < |z − z 0 | < δ
no z-plano na vizinhança
|f (z) − L| < ε
no w-plano, como vemos na Figura 3: 1
Figura 3. Limite.
Exemplo 2.2. Usando ε e δ prove que
lim z→1+i
(2 + i)z = 1 + 3i.
Solução: Para um dado valor de ε, devemos deter- minar um número real positivo δ tal que,
0 < |z − (1 + i)| < δ ⇒ |(2 + i)z − (1 + 3i)| < ε.
Uma forma de determinar δ > 0 consiste em traba- lhar "de traz para frente". Iniciamos da desigual- dade:
|(2 + i)z − (1 + 3i)| < ε.
Temos que
|(2+i)z −(1+3i)| < ε ⇐⇒
∣∣ ∣∣(2 + i)
( z −
1 + 3i 2 + i
)∣∣ ∣∣ < ε.
Uma vez que
1 + 3i 2 + i
= 1 + i e |2 + i| =
5 segue
que
∣∣ ∣∣(2 + i)
( z −
1 + 3i 2 + i
)∣∣ ∣∣ < ε ⇐⇒ |(2 + i)(z − (1 + i))| < ε
⇐⇒ |(2 + i)||z − (1 + i)| < ε ⇐⇒
√ 5 |z − (1 + i)| < ε ⇐⇒ |z − (1 + i)| < √ε 5
.
Isto indica que podemos tomar δ =
ε √ 5
Proposição 2.3. (Unicidade do limite) Se o limite de uma função f (z) existir em um ponto z 0 , ele é único.
Para limites de funções complexas, é permitido que z se aproxime de z 0 em qualquer direção no plano complexo, isto é, ao longo de qualquer curva ou caminho através de z 0.
Figura 4. Caminhos.
Para que lim z→z 0
f (z) exista e seja igual a L, exigi- mos que f (z) aproxima-se do mesmo número com- plexo L ao longo de todas as curvas possíveis até z 0.
Proposição 2.4. (Critério para a não existência de um limite) Se f se aproximar de dois números complexos L 1 6 = L 2 , ao longo de duas curvas ou percursos diferentes que passam pelo z 0 , então
z^ lim→z 0
f (z)
não existe.
Exemplo 2.5. Mostre que lim z→ 0
z z
não existe.
Solução: Primeiro faremos z se aproximar de 0 ao longo do eixo real, ou seja, consideramos z = x + 0i com x tendendo a 0. Neste caso, obtemos:
lim z→z 0
z z
= lim x→ 0
x + 0i x − 0 i
= lim x→ 0
Figura 5. Caminhos que passam pela origem
Agora, tomamos z se aproximando de 0 ao longo do eixo imaginário, ou seja, z = 0 + yi com y ten- dendo a 0. Para estes pontos, temos:
z^ lim→z 0
z z
= lim y→ 0
0 + yi 0 − yi
= lim y→ 0
Como os valores não são iguais, concluímos que limz→ 0
z z
não existe.
- Bibliografia
(1) CHURCHILL, Ruel V. e BROW, James W. Variáveis Complexas e Aplicações. Tradu- ção de Claus Ivo Doering. 9a. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
(2) ZILL, Dennis G. e SHANAHAN, Patrick. Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações. 2.ed. LT. 2011.
