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Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Ciências Tecnológicas
Departamento de Matemática
Variáveis Complexas Viviane
- Representação Geométrica
Essencialmente o número complexo z = a + bi é o par ordenado (a, b) de números reais e repre- sentamos C como pontos de R^2 :
Figura 1. Representação de z no plano.
Por definição dos números complexos, temos a + bi = c + di ⇐⇒ (a, b) = (c, d).
Poderíamos definir C como sendo R^2 , munido das seguintes operações:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
e (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Figura 2. Regra do paralelogramo
A soma corresponde à soma de vetores
OA e −−→ OB como vemos na Figura 2. Definição 1.1. Dado z = a + bi ∈ C definimos o seu conjugado por z = a − bi.
Geometricamente z é o simétrico de z com re- lação ao eixo real.
Figura 3. Representação do con- jugado de z.
Proposição 1.2. A conjugação satisfaz as se- guintes propriedades:
(a) z = 0 se, e somente se, z = 0;
(b) z = z, para todo z ∈ C;
(c) z = z se, e somente se, z ∈ R;
(d) z ± w = z ± w, para quaisquer z, w ∈ C;
(e) z · w = z · w, para quaisquer z, w ∈ C;
(f) z−^1 = z−^1 , para todo z ∈ C∗;
(g) Re(z) =
z + z 2
e Im(z) =
z − z 2 i
1
2
Definição 1.3. O módulo de um número com- plexo z = a + bi é o número real não negativo
|z| =
a^2 + b^2.
A interpretação geométrica do módulo de z é a norma do vetor de origem (0, 0) e de extremidade (a, b). Veja Figura 4:
Figura 4. Representação do mó- dulo de z.
Proposição 1.4. O módulo tem as seguintes pro- priedades:
(e) |z| = 0 ⇔ z = 0;
(a) z · z = |z|^2 , para todo z ∈ C;
(b) |z| = |z| = | − z|, para todo z ∈ C;
(c) Re(z) ≤ | Re(z)| ≤ |z| e Im(z) ≤ | Im(z)| ≤ |z|, para todo z ∈ C;
(d) |zw| = |z||w|, para quaisquer z, w ∈ C.
O módulo de números complexos também sa- tisfazem a desigualdade triangular:
Proposição 1.5. (Desigualdade triangular) Quaisquer que sejam os números complexos z e w, temos |z + w| ≤ |z| + |w|, com igualdade valendo se, e somente se, um dos números é múltiplo escalar real não negativo do outro.
Proposição 1.6. Quaisquer que sejam os núme- ros complexos z e w, temos
||z| − |w|| ≤ |z ± w|.
- Exercícios
(1) Represente no plano complexo o número z = −3 + 4i, seu conjugado e calcule seu módulo.
(2) Mostre que, se z ∈ C e z 6 = 0 então z−^1 = z |z|^2
. Determine o inverso de z = 3 + 4i.
(3) Seja r um número real positivo e seja α ∈ C. Interprete geometricamente os se- guintes conjuntos: (a) {z ∈ C | |z| = r}
(b) {z ∈ C | |z − α| > r}
(c) {z ∈ C | |z| ≤ r}
(4) Represente no plano os números comple- xos que satisfazem:
(a) |z − i| ≤ 1
(b) 0 < |z + 2| < 2
(c) |z − 1 + i| > 1
(5) Demonstre a identidade do paralelogramo: |z + w|^2 + |z − w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2 ), para quaisquer z, w ∈ C.
