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22/02/2015 .:: Matrizes parte 4 ::.
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Matrizes
Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) (^) m x p e B = ( bij) (^) p x n é a matriz C = (cij) (^) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i ésima linha de A pelos elementos da j ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
1ª linha e 1ª coluna
1ª linha e 2ª coluna
2ª linha e 1ª coluna
2ª linha e 2ª coluna
Assim,.
Observe que:
Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes :
22/02/2015 .:: Matrizes parte 4 ::.
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Da definição, temos que a matriz produto A. B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
Se A3 x 2 e B (^) 2 x 5 , então ( A. B ) (^) 3 x 5 Se A (^) 4 x 1 e B (^) 2 x 3, então não existe o produto Se A (^) 4 x 2 e B (^) 2 x 1, então ( A. B ) (^) 4 x 1
Propriedades Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: ( A. B). C = A. ( B. C ) b) distributiva em relação à adição: A. ( B + C ) = A. B + A. C ou ( A + B ). C = A. C + B. C c) elemento neutro: A. In = In. A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 (^) m x n uma matriz nula, A .B =0 (^) m x n não implica, necessariamente, que A = 0 (^) m x n ou B = 0 (^) m x n.
