Máximo 10 ano- Matemática, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Baixe Máximo 10 ano- Matemática e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Matemática A

10.O^ ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 90 minutos | Data:

Grupo I

Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Considere, num referencial o. n. xOy , o ponto P de coordenadas (^)  a^2 16, 9, com a  ℝ.

Para que valores de a é que o ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares? (A) a   1 (B) a   5 (C) a   4 (D) a   2

2. Dados dois pontos, A e B , num referencial o. n. xOy , sabe-se que uma equação da

mediatriz de (^)  AB (^) é y  12 x  94. Qual dos seguintes pontos não é equidistante de A e de B?

(A)^  ^ 2, 134   

(B)^  ^32 , 3

(C)^ ^  6, ^34 

(D)^  ^12 , 5

3. Qual das seguintes condições representa o conjunto de pontos assinalados no referencial o. n. xOy da figura? (A) y  x  y  2 (B) y   x  y  2 (C) y  x  y  2 (D) y   x  y  2

7. No referencial o. n. xOy da figura, representou-se o círculo com centro em C  2, 2cuja

circunferência passa pela origem do referencial e a reta r que passa por C e é paralela ao eixo Oy.

7.1. Escreva, sem apresentar justificação, uma condição que defina a reta paralela a r que passa na origem do referencial. 7.2. Mostre que o raio da circunferência é 2 2.

7.3. Investigue a posição relativa do ponto P de coordenadas  3  2, 4relativamente à

circunferência representada na figura. 7.4. Escreva uma condição que represente os pontos do círculo representado que estão no primeiro quadrante.

8. Seja
um número real positivo. Prove que a área da região definida por: x^2  y^2  k^2  y   x  x  0

é igual a

 k (^).

FIM

COTAÇÕES Grupo I

Grupo II

1. 2. 3. 4. 5. Total 8 8 8 8 8 40

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 8. Total 25 20 25 20 5 10 20 15 20 160

O x

y

C

 2

2

r

Proposta de resolução Grupo I

1. Se o ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, a sua abcissa é igual à ordenada. Logo: a^2^  16  9  a^2  25  a   25  a   5 Resposta: (B) 2. Para não ser equidistante a A e a B , não pode pertencer à mediatriz de (^)  AB  , de equação

1 9 y  2 x  4. Verifiquemos qual dos pontos indicados não pertence a esta reta:

(A)  ^ 2, 134   

: 134  12  2  94  134  134 (Verdadeiro)

(B)   ^32 , 3 : 3  12  32  94  3  3 (Verdadeiro)

(C) ^  6, ^34   

:  34  12   6  94   34   34 (Verdadeiro)

(D)  ^12 , 5  

: 5  12  12  94  5  104 (Falso)

O ponto indicado em (D) não pertence à mediatriz de (^)  AB . Resposta: (D)

3. A região apresentada é a interseção de dois semiplanos:  o semiplano definido pela condição y   x (a região representada está “abaixo” da reta de equação y   x e inclui a fronteira);  o semiplano definido pela condição y  2 (a região representada está “abaixo” da reta de equação y  2 , não a incluindo). Portanto, a região apresentada pode ser definida por y   x  y  2 Resposta: (B)

6.2. Designando por  x y , as coordenadas do ponto P , tem-se que:

 ^      

x y . B  1, 3

Assim, tem-se que: 1 1 1 2 2 1 7 2 5 5 5 5 3 2 3 4 4 3 25 2 7 7 7 7

  ^  ^  

x (^) x x x

y (^) y y y

Logo, as coordenadas de (^) P são: ^75 , ^257   

6.3. Como Q tem coordenadas  x , 2 e A tem coordenadas  1,1 , tem-se que:

QA  5   x  1  2   1  2 ^2  5.

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtém-se:

 x^ ^1 ^2 ^  1 ^2  2 ^5 ^  x ^1 ^2 ^1 ^5 

  x  1  2  4 

 x  1   2  x  1  2   x   2  1  x  2  1   x   1  x  3

Logo existem dois pontos nestas condições: Q  1, 2ou Q  3, 2.

6.4. AB   1  1  2   1  3  2  8

AC   1  2  2   1  6 ^2  26

BC     1 2  2   3  6 ^2  18

pois 26  8  18

Logo, como AC^2  AB^2  BC^2 , pelo recíproco do teorema de Pitágoras, o triângulo [] é retângulo (em B ). 7. 7.1. x  0 7.2. Como o raio, r , é igual a CO , vem que:

r  CO    2  0  2   2  0 ^2  8  2 2

(^2 2 ) PC  3  2  2  4  2  3  2  3  4  7  8

Como PC  r , pois r  8 , o ponto P pertence ao círculo representado.

7.4. Como r^2   2 2 ^2  8 , a condição pedida ser

 x  2  2   y  2 ^2  8  x  0.

8. Pretende-se determinar a área da região definida por:

x^2^  y^2  k^2  y   x  x  0 Fazendo um esboço dessa região, obtém-se:

Assim, pretende-se determinar a soma da área da quarta parte do círculo que está no primeiro quadrante com a área da oitava parte do círculo que está no quarto quadrante e “acima” da bissetriz dos quadrantes pares, porque esta divide-o em duas partes iguais. Como a área do círculo todo seria π  k^2 , obtém-se: (^2 2 2 2 2 3) π 2 Área pedida    4^ k^    8 k^   8 k^   8 k^  8 k