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Geometria analítica no plano
3.1. Referencial ortonormado. Distâncias no plano
Pág. 150
Atividade de diagnóstico
1.1. A (0 , 3) , B (2 , 0) , C (–2 , 0) , D (0 , –3) , E (0 , 0) , F (4 , 2) ,
G (–3 , 2)
1.2. Não pertencem a qualquer quadrante os pontos A, B, C, D e E.
Os pontos R, P e Q pertencem aos 2.º, 3.º e 4.º quadrantes,
respetivamente.
1.4. F (4 , 2)
a) ( )
F − b) ( )
F
( )
F − −
2.1. (– 1 , 0) e (2 , – 3)
( )
m
2.2. (– 5 , 1) e (0 , – 2)
m
2.3. (– 4 , – 3) e (– 2 , – 1)
( )
( )
m
e
= = = × =
m
Pág. 151
3. t : y = − 2 x + 1
u y = − x +
x y
4. Reta r :
Sejam os pontos (– 3 , 0) e (0 , 2).
r : y = mx + b
( )
m ; b = 2
r y = x +
Reta s :
Sejam os pontos (0 , 3) e (1 , 0).
s : y = mx + b
m ; b = 3
s : y = − 3 x + 3
Assim:
r y = x + s y = − x + ; t : x = 3 e u : y = − 2
( )
x y x x x y
x y y x
x y
= × − =
x x
y y
( )
S = 13 , 38
x x x
x y y x y
x
y
S
( )
( )
( )
( )
6
6
3 2
2
2
2 2 1 0
2 1 1
3
3
3 1 1
1 1 1
3 14 0
3 14
2 6 3
2 6 3
y
y
x
x
x
x
y
y
−
−
− − + =
− = −
⇔ ⇔
+
− − − + =
− − = −
x y x y
y x x y
( )
y x y x y
x x x x
( )
S = 1 , 5
1
1 1
2
2 2
2
2 2
1
1 3
1 1 2 2 3 6 2
1
3 2
3 2
x
x x
y
y y
x x
y x x x
−
− −
=
= =
⇔ ⇔ ⇔
− −
= + − − = − +
= +
x
y
y y
x
x x
S
x y
3.1. Referencial ortonormado. Distâncias no plano
2 2
x − 6 x = − 5 ⇔ x − 6 x + 9 = − 5 + 9 ⇔
( )
2
⇔ x − 3 = 4 ⇔
⇔ x − 3 = 2 ∨ x − 3 = − 2 ⇔
⇔ x = 5 ∨ x = 1
{ }
S =1 , 5
2 2
x − x − = ⇔ x − x + − − ⇔
2
x
⇔ x − = ∨ x − = − ⇔
⇔ x = 3 ∨ x = − 2
{ }
S = −2 , 3
2 2
x x x x
2
x x
2
x
2
x
2
x
⇔ x − = ∨ x − = − ⇔
⇔ x = ∨ x =
S
Pág. 152
Atividade inicial 1
( )
2 2
d F , C = 5 + 2 = 29
( )
2 2
d F , B = 1 + 2 = 5
( )
2 2
d C , E = 4 + 3 = 25 = 5
2.1. A (1 , 0), B (4 , 3), C (–3 , 5), D (0 , –3), E (–4 , –1) e F (3 , –4)
a) ( )
A ′ 1 , 0 ,
( )
B ′ 4 , − 3 ,
( )
C ′ −3 , − 5 ,
( )
D ′ 0 , 3,
( )
E ′ − 4 , 1 e ( )
F ′3 , 4
b) ( )
A ′ − 1 , 0 ,
( )
B ′ − 4 , 3,
( )
C ′ 3 , 5 ,
( )
D ′ 0 , − 3 ,
( )
E ′ 4 , − 1 e ( )
F ′ −3 , − 4
P ( 1 , − 6 )e Q ( 2 , − 3 ) ou R ( 0 , 3)e S ( −1 , 0)
x y
a)
x − > ∧ − y > ⇔
⇔ x > ∧ y < ⇔
⇔ x > ∧ y <
b)
x − < ∧ − y < ⇔
⇔ x < ∧ y > ⇔
⇔ x < ∧ y >
Pág. 153
1. Sejam os pontos A (1 , –5) e B (3 , –2).
( )
2 2 2
AB = 3 − 1 + − 5 − − 2 = 4 + 9 = 13
( )
d A , B = 13
Pág. 154
2.1. Sejam os pontos A (–4 , 2) e B (0 , 5).
( ) ( ) ( )
2 2
d A , B = 0 + 4 + 5 − 2 = 16 + 9 = 5
2.2. Sejam os pontos A (–5 , 4) e B (–1 , 0).
( ) ( ) ( )
2 2
d A , B = − 1 + 5 + 0 − 4 = 16 + 16 = 4 2
2.3. Sejam os pontos A (–4 , 5) e B (–2 , –3).
( ) ( ) ( )
2 2
d A , B = − 2 + 4 + − 3 − 5 = 4 + 64 = 68 =
= 4 × 17 =2 17
3. M (–2 , 1) ; A (4 , –1) e R (2 , 5)
3.1. a) ( ) ( ) ( )
2 2
d M , A = 4 + 2 + − − 1 1 = 36 + 4 =
= 4 × 10 =2 10
b) ( ) ( ) ( )
2 2
d A , R = 2 − 4 + 5 + 1 = 4 + 36 =
= 4 × 10 =2 10
c) ( ) ( ) ( )
2 2
d M , R = 2 + 2 + 5 − 1 = 16 + 16 =
= 16 × 2 = 4 2
3.2. O triângulo [ MAR ] é isósceles, porque
( ) ( ) ( )
d M , A = d A , R ≠ d M , R.
Pág. 155
A 1 − , B 15 ,
C 1 − e D 1 1,
3.1. Referencial ortonormado. Distâncias no plano
Pág. 161
2 2
x + y + 10 x + 8 y − 8 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x + 10 x + 25 − 25 + y + 8 y + 16 − 16 − 8 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x + 5 + y + 4 = 49
Circunferência de centro (–5 , –4) e raio 7
2 2
4 x + 4 y − 4 x − 35 = 0 ⇔
2 2
⇔ x + y − x − = ⇔
2 2
x x y ⇔
2
2
x y
Circunferência de centro
e raio 3
2 2
x + y − 4 x + 4 y + 20 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x − 4 x + 4 − 4 + y − 4 y + 4 − 4 + 20 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x − 2 + y − 2 = − 12
A condição é impossível, pelo que define o conjunto vazio.
2 2
x + y − 6 x + 2 y + 10 = 0
( ) ( )
2 2
⇔ x − 6 x + 9 − 9 + y + 2 y + 1 − 1 + 10 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x − 3 + y + 1 = 0
A condição define o ponto de coordenadas (3 , –1).
Pág. 162
12. Por observação da figura:
c = 3 e b = 2.
2 2 2
a = 3 + 2 ⇔
0
a
a
Assim:
( ) ( )
A −13 , 0 , B 13 , 0
Pág. 164
13.1. Por observação da figura: a = 3 , c = 1 e a > b.
2 2 2
a = b + c
0
2 2 2
b
b b b b
Equação da elipse:
2 2
x y
Vértices: A (–3 , 0), B (3 , 0), ( )
C 0, − 2 2 e ( )
D 0, 2 2
Focos: ( )
1
F −1 , 0 e ( )
2
F 1 , 0
13.2. Por observação da figura: b = 6, c = 2 5 e b > a.
2 2 2
b = a + c
( )
2
2 2 2
36 = a + 2 5 ⇔ a = 36 − 4 × 5 ⇔ a = 16 ;
2
b = 36
Como
2
a = 16 e
2
b = 36 , então, a equação da elipse é:
2 2
x y
a = 16 = 4 ; b = 36 = 6
Vértices: A (–4 , 0), B (4 , 0), C (0 , –6) e D (0 , 6)
Focos:
( )
0 , − 2 5 e
( )
Pág. 165
13.3. Por observação da figura: a > b e c = 3
2 2 2
a = b + c ;
2 2
a = b + 9
2 2 2 2
2 2 2 2
x y x y
a b b b
Como
P
pertence à elipse, vem:
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
b b b b
b b
2 2 4 2
⇔ 144 b + 49 b + 441 = 14 b + 144 b ⇔
4 2
⇔ 16 b − 49 b − 441 = 0 ⇔
2
2
b
± + × ×
2
⇔ b = ⇔
2 2
⇔ b = ∨ b = − ⇔
2
⇔ b = 7
2 2
a = b + 9 = 7 + 9 = 16
Equação da elipse:
2 2
x y
a = 16 = 4 ; b = 7
Vértices: A (–4 , 0), B (4 , 0), C (0 , − 7 ) e D (0 , 7 )
Focos: ( ) 1
F −3 , 0e ( ) 2
F 3 , 0
2 2
2 2
x y
x y
2 2
x y
2
a = 4 e
2
b = 1 ; a > b
2 2 2
a = b + c
2
4 = 1 + c ⇔ c = 3 ; a = 2 e b = 1
Vértices: A (–2 , 0), B (2 , 0), C (0 , –1) e D (0 , 1)
Distância focal: 2 c = 2 3
2 2
4 x + 16 y = 64 ⇔
2 2
x y
2 2
x y
0
2
a
a a ;
0
2
b
b b
a > b ;
2 2 2
a = b + c
0
2
c
c c c
Vértices: A (–4 , 0), B (4 , 0), C (0 , –2) e D (0 , 2)
Distância focal: 4 3
2 2
16 x + y = 144 ⇔
2 2 2 2
⇔ × − ⇔ + =
x y x y
0
2
a
a a ;
0
2
b
b b
b > a ;
2 2 2
b = a + c
2 2
144 = 9 + c ⇔ c = 135 ⇔ c = 135 ⇔ c =3 15
Vértices: A (–3 , 0), B (3 , 0), C (0 , –12), D (0 , 12)
Distância focal: 6 15
3.1. Referencial ortonormado. Distâncias no plano
15. 2 a = 50 ⇔ a = 25
Considerando um referencial adequado, temos:
2 2
2 2
x y
b
Neste referencial, o ponto P (24 ; 2,8) pertence à elipse.
Então:
( )
2
2
2 2
2
b
0
2 2
b
b b b
O pavilhão tem uma altura máxima de 10 m.
Pág. 167
Atividades complementares
16.1. A 1 − 5 , B 112
d ( A , B )= − 5 − 12 = 17
16.2. A 1 − 15 e B 1 − 37
d ( A , B ) = − 15 − −( 37 )= 22
16.3. A 1 − 101 ,
B 1
( )
d A B = − − =
17.1. ( )
2 2
d A , B = 1 + 4 = 17
17.2. ( )
2 2
d B , D = 4 + 2 = 16 + 4 = 20 = 2 5
17.3. ( )
2 2
d C , D = 6 + 1 = 36 + 1 = 37
17.4. ( )
2 2
d C , B = 4 + 3 = 25 = 5
18.1. Sejam A (1 , –2) e B (–1 , 5).
( ) ( ) ( )
2 2
d A , B = 1 + 1 + − 2 − 5 = 4 + 49 = 53
18.2. Sejam
A e
B.
( )
2 2
×
d A B
×
18.3. Sejam
A e
B.
( )
2 2
d A B
2 2 2
2
19.1. A (–3 , 2) , B (3 , 0) , C (–1 , 8)
( ) ( ) ( )
2 2
d A , B = − 3 − 3 + 2 − 0 = 36 + 4 = 40 =2 10
( ) ( ) ( )
2 2
d A , C = − 3 + 1 + 2 − 8 = 4 + 36 = 40 =2 10
( ) ( ) ( )
2 2
d B , C = 3 + 1 + 0 − 8 = 16 + 64 = 80 = 4 5
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 10 + 2 10 = 4 5 ⇔ 2 × 4 × 10 = 16 × 5 ⇔
[ ]
ABC
P
19.2. O triângulo [ ABC ] é retângulo e isósceles.
20. Sejam os pontos A (3 , –1) , B (0 , 6) e C (–4 , –4).
( ) ( )
2 2
AB = 3 − 0 + − − 1 6 = 9 + 49 = 58
( ) ( )
2 2
AC = 3 + 4 + − + 1 4 = 49 + 9 = 58
( ) ( )
2 2
BC = 0 + 4 + 6 + 4 = 16 + 100 = 116 =
= 4 × 29 = 2 29
AB = AC = 58
BC = 2 29
O triângulo [ ABC ] é isósceles.
( ) ( )
2 2 2 2 2
AC + AB = BC = 58 + 58 =
= 2 × 58 = 116
( )
2 2
BC = 2 29 = 4 × 29 = 116
Como
2 2 2
AC + AB = BC , então o triângulo [ ABC ] é
retângulo em A.
[ ]
×
ABC
A = 29
Logo, a área do triângulo [ ABC ] é 29 cm
2
21. Sejam os pontos A (–1 , 10) e B (5 , –3).
21.1. a) ( )
A −
b) ( )
B − −
21.2. a) ( ) ( ) ( )
2 2
d A , B = − 1 − 5 + 10 + 3 = 36 + 169 =
b) ( , ) 10 ( 10 ) 20
d A A = − − =
c) ( , ) 5 ( 5 ) 10
d B B = + − =
d) ( ) ( ) ( )
2 2
d A , B 1 5 10 3 16 169
22.1. Sejam os pontos A 1 −3 e B 1 2.
22.2. Sejam os pontos
e 10
A 1 B 1.
= × =
22.3. Sejam os pontos
A 1 = e
B 1 − = −.
= − × = −
Pág. 168
23. Sejam os pontos A (–5 , 0) , B (0 , 5) e C (1 , –1).
M M
N N
R R
3.1. Referencial ortonormado. Distâncias no plano
28. Sejam os pontos A (3 , 3), B (–2 , –2) e P ( x , y ).
28.1. AP = BP ⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
⇔ x − 3 + y − 3 = x + 2 + y + 2 ⇔
2 2 2 2
⇔ x − 6 x + 9 + y − 6 y + 9 = x + 4 x + 4 + y + 4 y + 4 ⇔
⇔ − 10 y = 10 x − 10 ⇔ y = − x + 1
( ) ( )
2 3
AP = 2 ⇔ x − 3 + y − 3 = 4
( ) ( )
2 2
BP = 3 ⇔ x + 2 + y + 2 = 9
( )
1
C 3 , − 1 ,
( )
2
C 0 , 7 e
3
C
1
r = 3
2
r = 1
e
3
r = 3
29.3. Por exemplo:
( ) ( )
1
2 2
: Para 3:
C x
y y y
⇔ y = 2 ∨ y = 4
( )
1
A 3 , 2 e ( )
1
B 3 , − 4
( )
2 2
2
C : Para y = 7 : x + 7 − 7 = 1 ⇔ x = − ∨ 1 x = 1
( ) ( )
2 2
A −1 , 7 e B 1 , 7
3
2
2
: Para :
C x
y y y
3 3
, 3 e , 3
A B
30. Sejam os pontos A (1 , 0) , B (2 , 5) e C (3 , 4).
30.1. a) Ponto médio de [ AB ]:
M , logo
M.
Raio:
2 2
r AM
2
r = = ;
2 2
x y
b) Ponto médio de [ BC ]:
, , logo ,
N N
Raio:
2 2
r BN
2
r =
2 2
x y
( ) ( )
2 2
r = AB = 2 − 1 + 5 − 0 = 1 + 25 = 26
Como
2
r = 26 e C (3 , 4), então:
( ) ( )
2 2
x − 3 + y − 4 = 26
Pág. 169
31. ( ) ( )
2
2
2 2 2
x + 1 + y = 2 ⇔ x + 2 x + 1 + y = 2 ⇔
2 2
⇔ x + 2 x + y + 1 − 2 = 0
2 2
⇔ x + 2 x + y − 1 = 0
2 2
x + y − 2 x + 4 y + 4 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x − 2 x + 1 − 1 + y + 4 y + 4 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x − 1 + y + 2 = 1
Circunferência de centro (1 , –2) e raio 1
2 2
x + y − 6 x + 2 y + 13 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x − 6 x + 9 − 9 + y + 2 y + 1 − 1 + 13 = 0 ⇔
( ) ( )
2 2
⇔ x − 3 + y + 1 = − 3
É uma condição impossível, logo define o conjunto vazio.
2 2
4 x + 4 y − 4 x + 1 = 0 ⇔
2 2
⇔ x + y − x + = ⇔
2 2
x x y ⇔
2
2
x y
A condição define o ponto de coordenadas
33.1. O comprimento da corda é igual ao comprimento do eixo
maior.
33.2. 2 a = 6 ⇔ a = 3
2 b = 3,6 ⇔ b =1,
Pretende-se determinar a distância focal (2 c ).
2 2 2
a = b + c
( )
0
2 2 2
c
c c c c
2 c = 2 × 2, 4 =4,
A distância entre as estacas é igual a 4,8 m.
34. Por observação da figura: a = 2 e
b =
34.1. Por exemplo, A (–2 , 0), B (2 , 0),
C e D
2
a = 4 e
2
b = ;
2 2
x y
( )
1
F −3 , 0 e ( )
2
F 0 , 3
2 a = 8 ⇔ a = 4 ; c = 3
a > b (focos no eixo Ox )
2 2 2
a = b + c
2 2
16 = b + 9 ⇔ b = 7
Equação da elipse:
2 2
x y
( )
1
F 0 , − 5 ,
( )
2
F 0 , 5 (focos no eixo Oy )
b > a
3.1. Referencial ortonormado. Distâncias no plano
2 a = 6 ⇔ a = 3
c = 5
2 2 2
b = a + c
2 2 2
b = 3 + 5 = 34
Equação da elipse:
2 2
x y
35.3. a = 20 e b = 10
2
a = 400 e
2
b = 100
2 2
x y
2 2
16 x + 25 y = 16 ⇔
2 2
x y
2
2
y
x
Assim,
2
a = 1 ,
2
b = , tal que a > b.
2 2 2
a = b + c
0
2 2
c
c c c
⇔ c =
1
F e
2
F
2 2
6, 25 x + 5,76 y = 36 ⇔
2 2
x y
2 2
x y
2 2
x y
Assim,
2
a =5,76e
2
b =6, 25, tal que b > a.
2 2 2
b = a + c
0
2 2
c
c c c
( )
1
F 0 ; −0,7 e ( )
2
F 0 ; 0,
2 2
x y
Assim,
2
a = 81 ⇔ a = 9 e
2
b = 72 , tal que a > b.
2 2 2
a = b + c
0
2 2
c
c c c
A (3 , 0), B (9 , 0)
AB = 9 − 3 = 6
O ponto C tem abcissa igual à de A porque AC é
perpendicular ao eixo Ox.
C (3 , y ) e C pertence à elipse, logo:
2 2 2
2 2
y y
Como y > 0, então y = 8.
C (3 , 8)
A altura do triângulo [ ABC ] é AC = 8.
[ ]
× ×
ABC
AB AC
A
A área do triângulo [ ABC ] é 24.
Pág. 170
38.1. a)
2 2
AB = BC = CD = AD = 2 + 3 = 13
2 2
EF = FG = GH = HE = 2 + 3 = 13
Os quadriláteros são losangos porque têm os quatro lados
iguais.
b) DB = EG = 4 e AC = HF = 6
A área de cada um dos losangos é
×
Os quadriláteros são equivalentes porque têm a mesma
área.
2 2
x y
39.1. A (–2 , 1), B (2 , 0), C (3 , 4), D (–1 , 5)
2 2
AB = BC = CD = AD = 4 + 1 = 17
2 2
AC = BD = 5 + 3 = 34
[ ABCD ] é um quadrado porque tem os lados iguais e as
diagonais iguais.
M =
M
39.3. Seja P ( x ) um ponto da mediatriz de [ BC ].
( ) ( )
d P , B = d P , C
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x − 2 + y = x − 3 + y − 4 ⇔
2 2 2 2
⇔ x − 4 x + 4 + y = x − 6 x + 9 + y − 8 y + 16 ⇔
⇔ 8 y = − 2 x + 21 ⇔
y = − x +
40.1. Mediatriz do segmento de reta [ AB ]
40.2. Circunferência de centro A e raio 2
40.3. Elipse de focos A e B e eixo maior igual a 12
41.1. A reta de equação x = 3 e a reta AC são paralelas e
intersetam as retas concorrentes BC e BA nos pontos M ,
M
e A , C , respetivamente. Logo, pelo Teorema de Tales:
BC BA
BM BM
BM M C 2 BM
BM
BM
BM M C M C
BM BM BM
M C
M C BM
BM
Como [ ]
M BC e
M C = BM , então
M é o ponto
médio de [ BC ].
M =
M
42. Sabe-se que:
A (–2 , –4) , T (3 , 2) , B ( x , y ) e ( ) ( )
x , y ≠ −2, − 4
TA = TB ( T pertence à mediatriz de [ AB ]) ⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
⇔ 3 + 2 + 2 + 4 = x − 3 + y − 2 ⇔
2 2
⇔ 25 + 36 = x − 6 x + 9 + y − 4 y + 4 ⇔
2 2
⇔ x + y − 6 x − 4 y − 48 = 0
Pág. 171
43. Sejam os pontos E (–2 , 2) e F (0 , 4).
BA = 2 BM
BC = BM ′ + M C ′
3.1. Referencial ortonormado. Distâncias no plano
Ponto A
x y x x
y y y
; A (4 , 0)
OA = 4 e OB = 5
2 2
AB = 4 + 5 = 16 + 25 = 41
[ ]
OAB
P
Resposta: (A)
2. O centro da circunferência é um ponto C da forma
( )
C a , − a , com a > 0.
2 2 2
r = OC = a + a = a × 2 = a 2
Equação da circunferência
( ) ( ) ( )
2
2 2
x − a + y + a = a 2 = 2 a
Para a = 1, temos:
( ) ( )
2 2
x − 1 + y + 1 = 2
Resposta: (A)
M 1 = × = ;
M 1
Resposta: (D)
1 2
PF + PF = 8
2 a = 8 ⇔ a = 4
2
BF = a = 4
Resposta: (B)
( ) ( )
2 2
x − 1 + y + 1 = 4 ; P ( k , 1)
( ) ( ) ( )
2 2 2
k − 1 + 1 + 1 = 4 ⇔ k − 1 + 4 = 4 ⇔
( )
2
⇔ k − 1 = 0 ⇔ k = 1
Resposta: (A)
6. A mediatriz do segmento de reta [ CD ] interseta AB no ponto
médio do segmento de reta [ AB ].
AB = 1 ; OA = OB = x , x > 0
0
2 2 2 2
x
x x x x
⇔ x = ⇔ x =
A ,
B
M
Resposta: (B)
7. A afirmação (B) é falsa. Por exemplo, a circunferência de
diâmetro [ AB ] da figura seguinte não passa em C.
Resposta: (B)
Pág. 173
8. Sejam os pontos A (0 , 3) , B (–3 , 2) e C (2 , 2).
8.1. Centro
M ;
M
Raio
2 2
r AM
2 2
x y
8.2. Sejam A (0 , 3), B (–3 , 2) e P ( x , y ) um ponto da mediatriz de
[ AB ].
( ) ( )
d P , A = d P , B
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x + y − 3 = x + 3 + y − 2 ⇔
2 2 2 2
⇔ x + y − 6 y + 9 = x + 6 x + 9 + y − 4 y + 4 ⇔
⇔ − 2 y = 6 x + 4 ⇔
⇔ y = − 3 x − 2 (Mediatriz de [ AB ])
Sejam A (0 , 3) , C (3 , 2) e P ( x , y ) um ponto da mediatriz de
[ AC ].
( ) ( )
d P , A = d P , C
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x + y − 3 = x − 3 + y − 2 ⇔
2 2 2 2
⇔ x + y − 6 y + 9 = x − 6 x + 9 + y − 4 y + 4 ⇔
⇔ − 2 y = − 6 x + 4 ⇔
⇔ y = 3 x − 2 (Mediatriz de [ AC ])
Centro da circunferência:
y x x x x
y x y x y
D (0 , –2)
Raio da circunferência:
r = DA = 3 + 2 = 5
Equação da circunferência: ( )
2 2
x + y + 2 = 25
9. 2 a = 30 ⇔ a = 15 ;
2
15 = 225 ; b = 9
Adotando um referencial conveniente, a equação da
semielipse é:
2 2
x y
y
A altura pedida é a ordenada do ponto de abcissa 13.
A altura do túnel no ponto indicado é, aproximadamente,
4,49 m.
1 2
PF + PF = 20 ; 2 a = 20 ⇔ a = 10
C (0 , 5) , b = 5
2 2 2
a = b + c
0
2 2
C
C C C C
= + ⇔ = ⇔ = ⇔ = × ⇔
⇔ C = 5 3
10.1. a) A (–10 , 0) b) B (10 , 0)
c) D (–5 , 0)
2 2
x y
1 2
F F = 2 c = 10 3
11. Sejam os pontos A (2 , –4) , B (10 , 0) e C (3 , 4).
3.1. Referencial ortonormado. Distâncias no plano
11.1. Consideremos P ( x , y ) um ponto da mediatriz de [ AB ].
( ) ( )
d P , A = d P , B
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x − 2 + y + 4 = x − 10 + y ⇔
2 2 2 2
⇔ x − 4 x + 4 + y + 8 y + 16 = x − 20 x + 100 + y ⇔
⇔ 8 y = − 16 x + 80 ⇔
⇔ y = − 2 x + 10
M ;
( )
M 6 , − 2
11.3. C (3 , 4) , y = − 2 x + 10
4 = − 2 × 3 + 10 ⇔ 4 = − 6 + 10 (V)
Logo, o ponto C pertence à mediatriz de [ AB ].
11.4. Como C pertence à mediatriz de [ AB ], tem-se AC = CB.
Logo, o triângulo [ ABC ] é isósceles.
11.5. ( ) ( )
2 2
AB = 10 − 2 + 0 + 4 = 64 + 16 = 80 =
= 16 × 5 = 4 5
Como o triângulo [ ABC ] é isósceles, a altura relativa à base
[ AB ] é CM.
( ) ( )
2 2
CM = 6 − 3 + − 2 − 4 = 9 + 36 = 45 =
= 9 × 5 = 3 5
[ ]
×
= = × × =
ABC
A
A área do triângulo é 30 u. a..
12. A (7 , 3) , B (1 , 11) , C (–2 , 15)
12.1. ( ) ( )
2 2
AB = 1 − 7 + 11 − 3 = 36 + 64 = 10
( ) ( )
2 2
BC = − 2 − 1 + 15 − 11 = 9 + 16 = 5
12.2. ( ) ( )
2 2
AC = − 2 − 7 + 15 − 3 = 81 + 144 = 225 = 15
Como AC = AB + BC , então os pontos A, B e C são
colineares (se fossem vértices de um triângulo teria de ser
AC < AB + BC ).
Logo, o ponto C pertence à reta AB.
12.3. Sejam os pontos A (7 , 3) , B (1 , 11) e P ( x , y ) pertencente à
mediatriz de [ AB ].
( ) ( )
d P , A = d P , B
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x − 7 + y − 3 = x − 1 + y − 11 ⇔
2 2
⇔ x − 14 x + 49 + y − 6 y + 9 =
2 2
= x − 2 x + 1 + y − 22 y + 121 ⇔
⇔ 16 y = 12 x + 64 ⇔
y = x +
12.4. a) Se D é equidistante de A e B , então pertence à mediatriz
de [ AB ]. Como D pertence a Oy , então a sua abcissa é 0.
D (0 , y ) ;
y = × + ⇔ y =
D (0 , 4)
b) ( ) ( )
2 2
DA = 7 − 0 + 3 − 4 = 49 + 1 = 50
( )
2
2
x + y − 4 = 50
c) Como D pertence à mediatriz de [ AB ], então
DB = DA = r. Logo,
1
D ∈ C.
C é um ponto de reta AB e não pertence a
1
C porque
uma reta não pode intersetar uma circunferência em três
pontos.
12.5. a) ( )
M M
( ) ( )
2 2
DM = 4 − 0 + 7 − 4 = 16 + 9 = 5 ; D ( 0, 4)
( )
2
2
2
C : x + y − 4 = 25
b) DM é a mediatriz de [ AB ]. Logo, [ DM ] é perpendicular a
AB.
Como AB é perpendicular ao raio [ DM ] e interseta a
circunferência em M , então AB é tangente à circunferência
o ponto M.
2 2
1 2 1 2
A = A − A = π × r − π× r =
2 2
= π × DA − π× DM =
= 50 π − 25 π =
= 25 π
A área da coroa circular é 25π u. a.
3.2. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano
( )
x < 2 ∧ y ≥ − x ∨ y > 3
3.5. x ≤ 2 ∨ ( y ≥ x ∧ y ≤ 3 )
3.6. y ≤ − 2 x + 1 ∧ y ≥ x − 2 ∧ x ≥ 0
− ≤ y − x ≤ ∨ ≤ x ≤ ⇔
⇔ x − ≤ y ≤ x + ∨ − ≤ x ≤
Pág. 178
4. Por exemplo:
4.1. A (–1 , 3) e O (0 , 0)
m ; r : y = − 3 x
Condição: y ≤ − 3 x ∧ y ≥ 0
4.2. A (0 , 2) e B (2 , 0)
m ; r : y = − x + 2
Condição: y ≥ − x + 2 ∧ x < 2
4.3. A (2 , 0) e B (0 , –2)
m ; r : y = x − 2
Condição: ( ) ( )
y ≥ x − 2 ∧ y ≤ 0 ∨ y ≤ x − 2 ∧ y ≥ 0
4.4. A (–6 , 4) e O (0 , 0)
m = = − ;
r y = − x
Condição:
y x y y x y x x
Pág. 180
5. Por exemplo:
( )
2 2
4 ≤ x − 2 + y ≤ 16
( ) ( ) 1 2
C 2 , 1 e C 2 , 0
2 2
1 1
r = OC = 2 + 1 = 5
2 1 2
r = C C = 1
Condição:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
y ≤ 2 ∧ x − 2 + y ≥ 1 ∧ x − 2 + y − 1 ≤ 5
5.3. A (–2 , 0) e B (0 , 2)
m
r : y = x + 2
C (0 , –2) e D (2 , 0)
s : y = x − 2
Condição:
2 2
x + y > 4 ∧ y < x + 2 ∧ y > x − 2
( ) ( ) ( )
x y x y x y
2 2
∧ x + y ≤ 9
Pág. 181
3.2. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano
7. A (0 , 3) e B (–5 , 0)
Reta AB :
m
y = x +
Condição:
2 2
y ≤ x + ∧ x + y ≥ ∧ y ≥ ∧ x <
Pág. 183
Atividades complementares
8. Por exemplo:
8.1. − 1 < x ≤ 2
8.2. x ≤ − ∨ 1 x ≥ 0
10.1. y = − 2 x + 3
x y
11.1. − 1 < x ≤ 2
11.2. − 1 ≤ y ≤ 5
( )
∼ x > − 2 ∧ y ≤ − 1 ⇔ x ≤ − 2 ∨ y > − 1
( )
∼ y < − 3 ∨ x ≠ 3 ⇔ y ≥ − 3 ∧ x = 3
11.5. y ≥ − x + 1 ∧ x = 4
( )
y = 2 ∨ y > − x ∧ y + 1 ≥ 0 ( )
⇔ y = 2 ∨ y > − x ∧ y ≥ − 1
3.2. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano
2
a = 2 ⇒ a = 4 ;
2
b = 2 ⇒ b = 2
2 2 2
a = b + c , logo
0
2
c
c c c
Assim, ( ) 1
F − 2 , 0 e ( ) 2
F 2 , 0.
Reta
1
F D
( ) ( ) 1
F − 2 , 0 e D 0 , 2
m = = ; y = x + 2
Reta
2
DF
( ) ( ) 2
F 2 , 0 e D 0 , 2
m ; y = − x + 2
Condição:
( )
2 2
x y
y y y x y x
18. B (0 , 3) , D (0 , –3) , A (3 , 0)
m = = − ; y = − x + 3
y = – 3
y y y
y x x x
E (6 , –3)
18.1. BD = DE = 6
2
π
×
= − ×
BD DE
A r
2
π
×
= − × × r
9 π
A área da parte colorida é
9 π
u. a.
18.2. Por exemplo:
( )
2 2
x ≥ 0 ∧ y ≤ − x + 3 ∧ y ≥ − 3 ∧ y ≥ 0 ∨ x + y ≥ 9
19. • Elipse:
2 2
2 2
x y
a b
2
b = 3 ⇒ b = 3 ;
2
c = 6 ⇒ c = 6
2 2 2
a = b + c
2 2
a = 3 + 6 ⇔ a = 9
2 2
x y
Centro:
( )
C 0 , 3 ; raio: OC = 3
( )
2
2
x + y − 3 = 3
2 2
1 0
9 3
x y
y
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3 3 0 3 3 0
∧ + − ≥ ∧ ≤ ∨ + − ≤ ∧ ≥
x y x x y x
Pág. 185
20.1. Seja M o ponto médio de [ AC ].
M
+ + × +
( )
M 2 2 , 0
A proposição é falsa, porque a abcissa de D é 2 2.
20.2. A ordenada de D é MD e MD = AM = 2.
( ) ( )
D 2 2 , 2 e A 2 , 0
m = = ;
( )
y − 0 = 1 x − 2 ⇔ y = x − 2
( ) ( )
D 2 2 , 2 ; C 3 2 , 0
m ;
( )
y − 0 = − x − 3 2 ⇔ y = − x + 3 2
- Condição: y ≤ x − 2 ∧ y ≤ − x + 3 2 ∧ y ≥ 0
A proposição é verdadeira.
21. A (–4 , –3) , B (0 , –3) , C (4 , 2) e D (–4 , 2)
( )
AB = 4 ; CD = 4 − − 4 = 8 ; AD = − 3 − 2 = 5
[ ]
+ ×
ABC
AB AD
A
A proposição é falsa, porque a área do triângulo [ ABC ] é 10.
21.2. A (–4 , –3) , B (0 , –3) , C (4 , 2)
m
( )
y − = x − ⇔ y = x − + ⇔
⇔ y = x −
m
y + = x ⇔ y = x −
y ≥ − ∧ y ≤ x − ∧ y ≥ x −
Proposição verdadeira
2 2
x + y − 4 x − 2 y + 2 = 0
( ) ( )
2 2
⇔ x − 4 x + 4 − 4 + y − 2 y + 1 − 1 + 2 = 0
( ) ( )
2 2
⇔ x − 2 + y − 1 = 3
22.1. Centro da circunferência: C (2 , 1)
A proposição é verdadeira, porque
= ×.
3.2. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y x
y y
( )
2
x x x
y y
x x
y
Condição:
y = 0 ∧ 2 − 2 < x < 2 + 2
A proposição é verdadeira.
23.1. O raio da circunferência é:
r = |ordenada de C | = 3
Reta t :
x = − + ⇔ x = −
( )
2 2
x y x
y y
x x x x
y y
As coordenadas são
e
2 2
x y x y
24. Equação da circunferência: ( ) ( )
2 2
x − 3 + y + 4 = 25
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y x
y y
( )
2
x x x
y
y
( ) ( ) ( ) ( )
x x
x y x y
y
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y y
x x
( )
2
y y y
x
x
( ) ( ) ( ) ( )
y y
x
x y x y
A circunferência interseta os eixos coordenados nos pontos
de coordenadas (6 , 0) , (0 , 0) e (0 , –8).
Pág. 186
Avaliação 2
1. Equação da circunferência:
Centro: C (2 , 1); raio: OC = 4 + 1 = 5
( ) ( )
2 2
x − 2 + y − 1 = 5
Condição: ( ) ( ) ( )
2 2
x − 2 + y − 1 ≤ 5 ∧ x ≤ 0 ∨ y ≤ 0
Resposta: (D)
2.1. Sejam os pontos C (2 , 1) , D (3 , 2) , B (0 , 1) e A (0 , 2).
BC = 2 − 0 = 2 ; AD = 3 − 0 = 3 ; AB = 2 − 1 = 1
[ ]
= × = × =
ABCD
BC AD
A AB
Resposta: (C)
2.2. Equação da circunferência:
( ) ( )
2 2
r = CD = 3 − 2 + 2 − 1 = 2
( ) ( )
2 2 2 2
x − 2 + y − 1 = 2 ⇔ x − 4 x + 4 + y − 2 y + 1 − 2 = 0 ⇔
2 2
⇔ x + y − 4 x − 2 y + 3 = 0
Condição:
( ) ( ) ( )
2 2
x y y x y y
Resposta: (D)
3. y + x = − 2 ⇔ y = − x − 2
( ) ( )
2 2
x + 1 + y + 1 ≤ 1
Centro (–1 , –1) ; raio: 1
y = − x − 2
x y
Resposta: (A)
2 2
x + y ≤ 4
Centro (0 , 0) e raio 2
y = x + 2
x y
A condição
2 2
x + y ≤ 4 ∧ x ≤ y ≤ x + 2 define o conjunto.
Resposta: (A)
3.3. Vetores no plano
3.3. Vetores no plano
Pág. 188
Atividade inicial 3
A : 4 direções; 8 sentidos; 3 comprimentos
B : 4 direções; 8 sentidos; 4 comprimentos
C : 6 direções; 12 sentidos; 2 comprimentos
Pág. 190
1. Segmentos orientados: [ A , M ], [ M , A ], [ A , I ], [ I , A ], [ A , R ],
[ R , A ], [ M , I ], [ I , M ], [ M , R ], [ R , M ], [ I , R ] e [ R , I ]
Vetores:
AM ,
MA ,
AI ,
IA ,
AR ,
RA ,
MR e
RM
Pág. 191
2.1. 8 : 4 = 2. Por exemplo,
GE.
[ ] [ ] [ ]
D , C , E , G e A , B
Pág. 194
A DG A AE E
I DI I IB B
I EB I BE I IH H
D DB B
AI IB AB
AG EB AG GC AC
DC IF DC FI DC CG DG
HG FI HG GD HD
AE FC IF AE EI IF AI IF AF
HG FC EF FC EC
AE CG HF AE EA HF HF HF
Pág. 196
a b KJ JL KL
( ) ( )
a b OA AH OH OC
( ) ( )
b a OB BI OI LF
( ) ( )
a b OA AH OH CP
a b b a OJ OB BN JK
( ) ( )
OJ JK OB BN OK + ON = OP
( ) ( )
a b a b ( ) ( )
− 3 OA + ON + OJ + ON
OM OL = + =
LF FH LH
Pág. 197
Sejam =
u AB e =
v BC.
u v AB BC AC
- Os triângulos [ ABC ] e [ ADE ] são semelhantes pelo critério
LAL, dado que:
u u AD
u u AB
2 ( ) 2
− + − × +
u v u v AE
AC u v u v
Logo, =
AD AE
AB AC
Os ângulos DAE e BAC são iguais por serem
verticalmente opostos.
- A razão de semelhança da ampliação é 2. Assim,
DE BC v. Como
BC e
DE tem a mesma direção
e sentidos contrários, então = − 2
DE BC.
Como + =
AD DE AE , vem que − 2 − 2 = − 2 ( + )
u v u v.
Pág. 198
( )
− 2 × 3 = − 6
u u tem a direção de
u e sentido contrário
ao de
u.
u tem a direção e sentido de
u. Logo, ( )
u tem a
direção de
u e sentido contrário ao de
u.
( )
− 2 × 3 u = − 6 u = − 6 u = 6 u
( )
−2 3 = −2 3 = 2 × 3 = 2 × 3 = 6
u u u u u
Portanto, os vetores ( )
− 2 × 3
u e ( )
u têm a mesma
direção, o mesmo sentido e a mesma norma. Logo,
( ) ( )
− 2 × 3 = −2 3
u u.
( )
a b a b
a b a b
a b b
( ) ( )
a b a
a b a
a b
7.3. ( ) ( )
a a a b
a a a b
a b
8. ( − λ ) + λ =
v v
( )
= − λ + λ
v =
= 0 v = 0
Se ( − λ ) + λ = 0
v v , então ( − λ ) = −( λ )
v v.
Pág. 199
b a a e
a b
c a e
a c
3.3. Vetores no plano
d a e
a d
Pág. 200
DE CB y
DB DC CB x y
BE CD DC x
AB EB DC x
DA DC CB BA =
x y AB =
x + y − EB =
x y x =
y − x
Pág. 201
AB AC CB =
FC CE =
( )
FC CE =
FE =
FD
Como =
AB FD , então [ ABDF ] é um paralelogramo.
12. Seja [ ABCD ] um quadrilátero qualquer e
M , N , O e P os pontos médios de [ AB ],
[ BC ], [ CD ] e [ AD ], respetivamente.
PO AC e
MN AC
Logo, =
PO MN , pelo que [ MNOP ] é
um paralelogramo.
Pág. 203
Atividade complementares
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
J , H e L , M ; G , H , O , N , B , A e D C , ;
[ ] [ ]
K , L e F , E
14.1. [ A , B ] e [ D , C ] ; [ A , D ] e [ B , C ] ; [ B , A ] e [ C , D ] ; [ D , A ] e
[ C , B ]
14.2. a) Proposição falsa b) Proposição verdadeira
c) Proposição falsa d) Proposição verdadeira
e) Proposição verdadeira f) Proposição falsa
AB BC CD DA
= AB + BC − AB − BC =
= −
CD AB
= AB − AB + BC − BC =
= −
DA BC
18. Sejam
u e
v dois vetores não colineares e A um ponto do
plano.
B A u , = +
C B v e = + 2
D A u
