Baixe Soluções Maximo 12 ano e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
5 Números complexos
Atividade de diagnóstico
Pág. 6
(^2 2 2 ) AB = 3 + 1 + 2 − 2 = 4 + 0 = 4
2 2 2 2 AB = 2 + 1 + − 2 − 3 = 3 + − 5 =
2.1. A ( −1, 2 ) ; B ( 2, − 1 ) ; P x ( , y )
2 2 2 2 AP = BP ⇔ x + 1 y − 2 = x − 2 + y + 1 ⇔
2 2 ⇔ x + 2 x + 1 + y − 4 x + 4 = 2 2 = x − 4 x + 4 + y + 2 x + 1 ⇔
⇔ − 6 y = − 6 x ⇔ y = x
A bissetriz dos quadrantes ímpares é a mediatriz de [ AB ].
2.2. B ( 2, − 1 ) ; C ( 3, 3) ; P x ( , y )
BP = CP ⇔
2 2 2 2 ⇔ x − 2 + y + 1 = x − 3 + y − 3 ⇔
2 2 ⇔ x − 4 x + 4 + y + 2 y + 1 =
2 2 = x − 6 x + 9 + y − 6 y + 9 ⇔
⇔ y = − x + ⇔ y = − x + ⇔ y = − x +
A equação reduzida da mediatriz de [ BC ] é
y = − x +.
2 2 x + 3 + y − 2 = 9
3.2. Centro: (1, 0) ; raio: r = 3
Por exemplo, o ponto de
coordenadas (1, 3 ) pertence à
circunferência C 1.
2 2 1 ≤ x + y ≤ 4
5.1. Reta vertical: x = 0
Retas horizontais: y = 0; y = 3
Retas oblíquas: y = mx + b
= × + ⇔ − =
m s y x
b b
3 :^2
b
r y x r s m
⇒^ =^ +
Condição:
≤ y ≤ ∧ x ≥ ∧ x − ≤ y ≤ x +
5.2. Circunferência: ( ) ( )
(^2 2 ) x − x 1 (^) + y − y 1 = r
Centro : 1, 1 (^2 ) 1 1 1 Raio : 1
x y r
⇒^ −^ +^ −^ =
Retas verticais: x = 0; x = 2
Retas horizontais: y = 0; y = 3
Condição: ( ( ) ( ) )
2 2 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ x − 1 + y − 1 ≥ 1 ∨
( (^ )^ (^ ) )
2 2 ∨ y ≥ 1 ∧ x − 1 + y − 1 ≤ 1
Pág. 7
5.3. Circunferência: ( ) ( )
(^2 2 ) x − x 1 (^) + y − y 1 = r
Centro : 1, 2 (^2 ) 1 2 4 raio : 2
⇒^ −^ +^ −^ =
x y r
Reta :
⇒^ =
y mx y x
Condição: ( ) ( )
2 2 x − 1 + y − 2 < 4 ∧ y ≥ x
5.4. Circunferência: ( ) ( )
(^2 2 ) x − x 1 (^) + y − y 1 = r
Centro : 1, 1 (^2 ) 1 1 1 Raio : 1
x y r
⇒^ −^ +^ −^ =
Retas: y = mx + b
A reta r passa nos pontos de coordenadas (0, 1) e (2, 2).
2 1 1 :^1
− ⇒^ =^ +
b
r y x m
A reta s passa nos pontos de coordenadas (1, 0) e (2, 2).
2 0 2 2 2 1 1 :^2
0 2 1 2
− ⇒^ =^ −
= × + ⇔ = −
m s y x
b b
Condição:
x y y x y x
^
(^ ( )^ (^ ) )
2 2 ∨ x − 1 + y − 1 ≥ 1 ∧ 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1
6.1. a) ( )
AB B A
b) ( )
BC C B
c) ( )
AB BC
d)
AB CB AB BC
6.2. Os vetores
AB e
BC não são colineares, porque a
ordenada de
BC é nula enquanto que a ordenada de
AB
é não nula.
OA 7.2. ( 0, 2)
OB
C A u
Logo, OC ( −3, 0)
8.1. A ( 1, − 1 ) ; C ( −2, 3)
AC C A
(^2 ) = − 3 + 4 = 9 + 16 = 25 = 5
AC
8.2. B x ( , 3)
BC C B x x
2 2 2 = 5 ⇔ − 2 − + 0 = 5 ⇔ − 2 − = 25 ⇔
BC x x
⇔ − 2 − x = 5 ∨ − 2 − x = 5 ⇔ x = 3 ∨ x = − 7
Como o ponto B pertence ao 1.º quadrante, a sua abcissa
é 3.
(^2 )
Cálculo auxiliar
1
1 1 3
3
x
y
y
=
− + = ⇔
⇔ = ±
Atividade inicial
Pág. 8
1. 3 4 − 15 × 4 − 4 = 64 − 60 − 4 = 0
Logo, 4 é solução da equação
3 x − 15 x − 4 = 0.
2.1. p = − 15 ; q = − 4
(^2 3 2 3 ) 3 3
D
− − ×
2 = 4 − 125 = − 121 = − 11
2 3 2 11 4 27
q p D
2.2.^3
q q x D D
2 2 3 3
(^3 2 ) = 2 + − ×1 11 + 2 − − ×1 11 =
3 3 = 2 + 11 − 1 + 2 − 11 − 1
2.3. (^) ( )
3 3 3 3 2 2 + − 1 = C 0 (^) × 2 + C 1 × 2 − 1 +
( ) ( )
2 3 3 3
- C 2 (^) × 2 − 1 + C 5 − 1 =
( ) (^) ( )
2 = 8 + 3 × 4 − 1 + 3 × 2 × − 1 + − 1 × − 1 =
= 8 + 12 − 1 − 6 − 1 × − 1 = 2 + 11 − 1
( ) ( )
3 3 3 3 2 2 − − 1 = C 0 (^) × 2 + C 1 × 2 × − − 1 +
( ) ( )
2 3 3 3
- C 2 (^) × 2 × − − 1 + C 3 − − 1 =
( ) (^ )^ ( )
2 = 8 + 3 × 4 × − − 1 + 3 × 2 × − 1 − − 1 × − 1 =
Logo, (^) ( )
3 2 ± − 1 = 2 ± 11 − 1.
3 3 2 + 11 − 1 + 2 − 11 − 1 = (^) ( 2 + 11 − (^1) ) + (^) ( 2 − 11 − (^1) )=
Pág. 13
1.1. z 1 + z 2 + z 3 = ( 2 − i ) + − +( 1 i )+ 2i = 1 +2i
1.2. z 1 − z 2 − z 3 = ( 2 − i ) − −( 1 + i) − 2i= 2 − +i 1 − −i 2i = 3 −4i
2 z 1 (^) × z 2 = 2 − i − + 1 i = − 2 + 2i + −i i = − 2 + 1 + 3i=
= − 1 +3i
(^2 2 ) z 3 (^) + z 1 = 2i + 2 − i = 4i + 2 − i= − 4 + 2 − i = − 2 −i
1.5. (^) ( ) ( ( )) ( ) 1 2 3 z − z × z = 2 − − − +i 1 i × 2i = 2 − +i 1 − i × 2i=
2 = 3 − 2i × 2i = 6i − 4i = 4 +6i
2 2 z 1 (^) × z 2 (^) + z 3 = 2 − i × − + 1 i + 2i=
( ) ( )
2 = 4 − 4i + i × − + 1 i + 2i=
= ( 3 − 4i )( − + 1 i )+ 2i=
= − 3 + 3i+4i + 4 + 2i= 1 +9i
2 2 1 2 3 i z + i z × z = i 2 − i + i − + 1 i × 2i=
( ) ( )
2 2 = 2i − i − × − 1 2i + 2i = 2i + 1 − − 2 − 2i=
= 2i + 1 + 2 + 2i = 3 +4i
1.8. ( ) (^) ( ( )) ( )
2 2 2 z 3 (^) × z 1 (^) − z 2 = 2i 2 − − − +i 1 i = 2i 2 − +i 1 − i =
2 = 2 i 3 − 2 i = 2i 9 + 12i − 4 =
= 2i 5 ( −12i ) = 24 +10i
Pág. 14
2.1.
20 37 43 2021 i + i + i + i =
0 1 3 1 = i + i + i + i =
= 1 + − +i i i = 1 +i
2.2. (^) ( )( )
110 11 166 2 − i i − i =
( )( )
2 3 2 = 2 − i i − i =
= ( 2 + 1 )( − +i 1 )= 3 1( − i) = 3 −3i
2.3. (^) ( ) ( )
2 19 10 2 3 2 i − i 3i − 4 i = (^) ( ) ( )
2 3 2 2i − i − 3 + 4i =
2 = − 2i + 1 − 3 + 4i = (^) ( )( )
2 4i − 4i + 1 − 3 + 4i=
= ( − 4 + 1 − 4 i)( − 3 + 4 i)= ( − −^3 4i^ )( 3 +^ 4i)=
2 = 9 − 16 i = 9 + 16 = 25
515 3
0
i
= (^) ∑
k
k
S é a soma dos primeiros 516 termos de uma
progressão geométrica de razão
3 i = − ie cujo primeiro
termo é 1.
516 0 1 i 1 i 1 1 1 0 1 i 1 i 1 i
S
= × = = =
Pág. 15
2 2 z = 1 − 2i 1 + i + 2 2 − i =
= ( 1 − 2i )( 1 + 2i − 1 ) + 4 − 2i= ( 1 − 2i )× 2i + 4 −2i
= 2i + 4 + 4 − 2i= 8
Re ( z ) = 8 ; Im ( z )= 0
z é um número real.
3.2. (^) ( ) ( )
2 2 z = 2 − 3 i × 3 − 2 i =
( )( )
2 2 = 2 − 2 6 i + 3i 3 − 2 6 i + 2i =
= (^) ( − − 1 2 6 i (^) )( 1 − 2 6 i (^) ) = (^) ( − 2 6 i − (^1) ) (^) ( − 2 6 i + (^1) )=
2 = 4 × 6 i − 1 = − 24 − 1 = − 25
Re ( z ) = −25 ; Im ( z )= 0
z é um número real.
3.3. (^) ( ) ( ) ( )
2 6 2 12 2 z = i − i + 1 = 1 − i + 2 i + 1
0 = i − − 1 + 2 i + 1 = 1 −2 i
Re ( z ) = 1 ; Im ( z )= − 2
3.4. (^) ( )( )( )
2 z = 2 − 5i 2 − i 1 + 2 i =
2 2
5 2
2 2 i 5 2 i 5i 1 2 2 i 2i − −
^
( )( )
2 = − 3 − 6 2 i − 1 + 2 2 i = 3 − 6 2 i + 6 2 i − 24i =
Re ( z ) = 27 ; Im ( z )= 0
z é um número real.
19 4 10 4 3 4 2 2
516 4 11 129 36 0
12 = 4 × 3
110 14 37 4 166 4
30 27 3 2 06 41 2 2
20 14 37 4 43 4 2021 4 0 5 1 9 3 10 021 505
Como AB = AC , o triângulo [ ABC ] é isósceles.
( )
( ) ( )
2
2 2
104 104
52 52 52 52 104
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 ⇒ 104 = 52 + 52
Logo, o triângulo [ ABC ] é retângulo.
Portanto, o triângulo [ ABC ] é retângulo e isósceles.
10.2. O centro da circunferência é o ponto médio de [ BC ] e
BC
r = = =
B (2, – 1); C (0, 9)
M
+^ −^ +
A equação da circunferência pedida é:
( x – 1) 2
10.3. 1 4i M z = +
2 i 9i 2 8i 2 8i 1 4i 2 2 2 2 2
B C M
z z z
Pág. 23
11.1. 2 2 Re( )
uv uv uv uv uv uv uv uv uv
+ = + = + = × =
Logo, uv̅ + u̅v é um número real.
11.2. ( )( ) ( )( )
2 2 1 − uv − u − v = 1 − uv 1 − uv − u − v u − v =
= ( 1 − uv ) ( 1 − uv ) − ( u − v ) ( u − v )=
= 1 − uv − uv + uv × uv − uu + uv + uv − vv =
2 2 2 2 2 2 = 1 + uu × vv − u − v = 1 + u v − u − v =
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2 2 = 1 − u − v 1 − u = 1 − u 1 − v
Pág. 25
2 2
1 1 1^ i 1 i 1 i 1 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2 2 2
2 2
1 3i 1 3i^1 6i^9 8 6i
− − = = = = − −^ −^ −^ −
2 2
8 6i 8 6i 8 6i
8 6i 8 6i 8 6 64 36
i i 100 100 25 50
2
2 4i 2 4i 2 4i^2 4i^ 2i
1 i^1 2i^1 2i^ 2i^ 2i
− − −^ −^ −
+ +^ −^ × −
2
4i 8 8 4i 2 i 2 4
2
1 3 2i^ i 3i 2 3 2i 2 3i i i i 1
− × +
× − = = = +
− − ×
2 5i 1 2i 5i 1 4i 4 5i 3 4i (^) 15i 20
2 i 2 i 2 i 2 i
2 2
20 15i 2 i (^40) 20i 30i 15
2 i 2 i 2 1
55 10i 11 2i 5
2 2
1 1 1 i 1 i 2 2 1 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2
( )
2 2
2
1 2i 3 1 2i 3 1 4i 4 3
2 i 2 2 2 2 2 i
3 4i 3 3 4i 3 2i 2 2 2
(^2 )
13 3
5 1 i 10i
i 1 i
2 5 1 2i 1 10i
i 2 2i
10i 10 10 10i^2 i
2 i 2 i 2 i
+^ +^ −^ +
2 2
20 10i 20i 10
i 6 2i 5 5
Pág. 26
2 2
2 2 2 2 2
3 4i 3 4i 3 4i 3 4 25 5
1 i 1 i 1 i^1 1 2
2 2
2 2
9 3i^9 3i^9
6 2i 6 2i (^6 )
− −^ +^ −
10 i 8i 10 i 8i
1 5i 4 i 1 5i 4 i
x x x x z z
2 2 100 64
2 2 ⇔ 17 100 + x = 26 x + 64 ⇔
2 2 ⇔ 1700 + 17 x = 26 x + 1664 ⇔ 2 2 ⇒ 1700 + 17 x = 26 x + 1664 ⇔
⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = ±
Como – 2 e 2 são soluções de
2 2 1700 + 17 x = 26 x + 1664 , então x = − 2 ∨ x = 2.
Pág. 27
i i 8 2i i 8 i^8 i^ 4i
3 3 3 4i^3 4i^ 4i^ 4i
z z
w w
+ − + − +^ +^ −
− −^ +^ −^ × −
32i 4 4 32 1 i 2i 16 16 16 4
Pág. 28
16. z ′ = ( z − 2 ) ( z − i ) = ( x + y i − 2 )( x − y i − i)=
2 = x − xy i− x i + xy i
2
- y + y − 2 x + 2 y i + 2i=
2 2 = x + y − 2 x + y + 2 y + 2 − x i
16.1. z ’ é um número real ⇔ Im ( z ’) = 0 ⇔
1 2 2 0 1 2
⇔ y + − x = ⇔ y = x −
E 1 é a reta de equação
y = x −.
16.2. Como z ’ é um imaginário puro:
2 2 x + y − 2 x + y = 0 ∧ 2 y + 2 ≠ 0
2 2 x + y − 2 x + y = 0 ⇔
( )
x x y y
2 2 1 5 1 2 4
x y
104 2 52 2 26 2 13 13
1
3 2
Cálculo auxiliar 42 4 10 2 13 4 3 1
1 i 1 i 1 i
1 2 i 1 1 i
2i 1 i 2 2i
= × + = × +
− = − − =
= − − − =
= − − = − −
y + − x = ⇔ y = x −
Interseção da circunferência com a reta:
x x
⇔ x − x + + x − x + = ⇔
2 2 2 ⇔ 4 x − 8 x + 4 + x − 2 x + 1 = 5 ⇔ 5 x − 10 x = 0 ⇔
⇔ 5 x x ( − 2 ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
Portanto, z ’ é um imaginário puro se os afixos de z
pertencerem à circunferência de centro
1 1, 2
−
e raio
5
2
, com exceção dos afixos de abcissas 0 e 2, ou seja, os
pontos (0, – 1) e (2, 0).
Pág. 29
17.1. z 1 (^) = 1 + i = 1 + 1 = 2 ≠ 1
z 1 não é um número complexo unitário.
17.2. | z 2 | = |i| = 1
z 2 é um número complexo unitário.
3
i 1 1 3 3 9 9 9
z = + = + = = =
z 3 é um número complexo unitário.
17.4. z 4 não é um número complexo unitário por não ser da
forma z = cos θ + i sin θ.
Pág. 30
1 3 i 1 3 i cos isin 2 2 2 3 3
z
− (^) π (^) π = = − = (^) − (^) =
cos i sin 3 3
π^ π = − + −
Logo, z 2 é unitário por ser da forma z = cos θ + i sin θ ,
neste caso com 3
π = −.
π π cos isin 3 3
z
, logo ( 1 )
π Arg 3
z = −
19.1. (^) 2 1 2sin sin i cos 8 8 8
z
π π π = − − =
2 1 2sin 2isin cos 8 8 8
π π π = − + =
2 2 1 sin sin isin 8 8 4
π π π = − − + =
2 2 cos sin i sin 8 8 4
π π π = − + =
cos isin 4 4
π π = +
Logo, z 2 é um número complexo da forma z = cos θ + i sin θ ,
cos i sin , comcom 4
z θ θ θ
π = + = , pelo que z 2 é um número complexo unitário.
π π cos isin 4 4
z = + , logo ( 2 )
π Arg 4
z =.
Pág. 33
20.1. 2 + 2 3 i = 4 + 12 = 4
Seja θ um argumento de 2 + 2 3i.
( )
tan (^3) π 2 3 2 , 2 3 1.º Q
=^ =
é um argumento de 2 + 2 3i
Logo,
i 3 2 2 3 i 4e
π
20.2. − 3 3 + 3i = 27 + 9 = 6
Seja θ um argumento de − 3 3 + 3i.
( )
tan 3 3 3
3 3 , 3 2.º Q
=^ = −
−^ ⇒
π 5π π 6 6
⇒ − = é um argumento de − 3 3 +3i
Logo,
5 i 6 3 3 3i 6e
π
− + =.
20.3. 1 − i = 1 + 1 = 2. Seja θ um argumento 1 – i.
tan 1 1
1 , 1 4.º Q
θ
=^ = −
4
π − é um argumento de 1 – i.
Logo,
i 4 1 i 2e
π − − =.
20.4. 2 3 + 2i = 12 + 4 = 4
Seja θ um argumento de 2 3 + 2i.
( )
tan π 2 3 3 6 2 3 , 2 1.º Q
θ
=^ =
é um argumento de 2 3 +2i
Logo,
i 6 2 3 2i 4e
π
20.5. − 2 + 2 i = 2 + 2 = 2
Seja θ um argumento de − 2 + 2 i
( )
tan 1 2
2 , 2 2.º Q
θ
=^ = −
π 3π π 4 4
⇒ − = é um argumento de^ − 2 + 2i
Logo,
3 i 2 2 i 2e^4
π
− + =.
3 i 1 3 1 2 1
3 i 1 1 3 i 4 4 4
− = − +
Seja θ um argumento de
1 3 i 4 4
tan 3 1
, 2.º Q
θ
=^ = −
−^ ∈
^
^
π 2π π 3 3
⇒ − = é um argumento de
i 4 4
Logo,
2 i 3 i (^1 1 ) e 4 2
π − =.
20.7. (^) − 2 − 6 i = 2 + 6 = 8 = 2 2
Seja θ um argumento de − 2 − 6 i
( )
tan 3 2
2 , 6 3.º Q
θ
=^ =
−^ ⇒
π 2π π 3 3
⇒ − + = − é um argumento de (^) − 2 − 6i.
Logo,
2 i 2 6 i 2 2e^3
π − − − = .
2sin cos 8 8
sin 2 sin 8 4
π π
π π = (^) × (^) =
2 2 sin cos 1 8 8
π π
2 2 cos sin cos 2 cos 8 8 8 4
π π (^) π (^) π − = (^) × (^) =
23.2. | z 1 | = | z 2 | = 1
Arg 2 5 5 5 5
z
π π π π = − π = − =
Arg 2 5 5 5 5
z
π π π π = − + π = − + =
Como | z 1 | = | z 2 | e Arg ( z 1 ) = Arg ( z 2 ), então z 1 = z 2.
23.3. z 1 (^) = 8 = 4 × 2 = 2 2 ; z 2 (^) = 2 2
Arg ( 1 )
z
π
2
Arg 2 7 7 7
z
π π − π π = − π = = −
Como | z 1 | = | z 2 | e Arg ( z 1 ) = Arg ( z 2 ), então z 1 = z 2.
23.4. | z 1 | = | z 2 | = 2
Arg ( z 1 ) = – π + 2π = π ; Arg ( z 2 ) = π
Como | z 1 | = | z 2 | e Arg ( z 1 ) = Arg ( z 2 ), então z 1 = z 2.
23.5. | z 1 | = | z 2 | = 2
Arg 2 2 2 2
z
π − π + π π = − + π = = −
Arg 6 2 2 2
z
π − π + π π = − + π = = −
Como | z 1 | = | z 2 | e Arg( z 1 ) = Arg( z 2 ), z 1 = z 2
24.1. | z 1 | = | z 2 | = 3
Arg 2 6 6 6
z
π π − π π = − π = = (1.º Q)
Arg 6
z
π = − (3.º Q)
Como Arg ( z 1 ) (^) ≠ Arg ( z 2 ), então z 1 ≠ z 2.
24.2. | z 1 | = | z 2 | = 1
Arg 7
z
π
Arg 2 7 7 7
z
π π − π π = − π = =
Como Arg( z 1 ) (^) ≠ Arg( z 2 ), então z 1 ≠ z 2.
24.3. | z 1 | = | z 2 | = 4
Arg ( 1 )
z
π
Arg 2 8 8 8
z
π − π + π π = − + π = = −
Como | z 1 | = | z 2 | e Arg( z 1 ) = Arg( z 2 ), então z 1 = z 2.
24.4. | z 1 | = | z 2 | = 5
Arg( z 1 ) = – π + 2π = π ; Arg( z 2 ) = 4π – 4π = 0
Como Arg( z 1 ) (^) ≠ Arg( z 2 ), z 1 ≠ z 2
24.5. | z 1 | = 5 e | z 2 | = 3. Como | z 1 | ≠ | z 2 |, então z 1 ≠ z 2.
Pág. 37
i 5 z 1 e
π
= ;
6 6 4 i i i 2 i (^5 5 ) z 1 e e e e
π^ π π π +π^ −^ π^ − − = = = = ;
i 5 1 e
π − z =
2 i 3 z 2 2e
π − = ;
2 i (^) i (^3 ) z 2 2e 2e
π (^) π −^ +π − = = ;
2 i 3 2 2e
π
z =
11 i 6 3 z 2e
π
=
(^11 17 ) i i i 2 i (^6 6 ) z 3 2e 2e 2e 2e
π^ π π π +π^ −^ π − = = = =
11 11 i i^2 i 6 6 6 3 2e^ 2e^ 2e
π π π − −^ +^ π z = = =
7 i 4 z 4 3e
π − = ;
(^7 ) i (^) i (^4 ) z 4 3e 3e
π (^) π − +π^ − − = =
7 7 i i^2 i 4 4 4 4 3e^ 3e^ 3e
π π π −^ π^ − z = = =
i^7 i i 6 6 6 z 1 2e 2e e
π ^ π π +π = − = =
i i 3 3 2 z 2e 2e
π π − = =
4 4 i i i i 3 3 3 3 z 3 3e 3e 3e 3e
π π π π − −^ +π − = − = = =
i 6 z 1 3e
π − = ;
i 6 1 3e
π
z = ;
11 11 i i^2 i 6 6 6 z 2 3e 3e 3e
π ^ π π − − +^ π = = =
Logo, z̅ 1 = z 2.
5 i (^) i (^6 ) z 1 3e 3e
π π −^ +π − = = ;
11 11 5 i i i 6 6 6 z 3 3e 3e 3e
π π π − −^ +π − = − = =
Logo, – z 1 ≠ z 3.
Pág. 38
28.1. Seja z = 3 − i. z = 3 + 1 = 2
( ( ))
( )
tan Arg π 3 3 6 3 , 1 2.º Q
=^ = −
z é um argumento de z.
Portanto,
i 6 z 2e
π − =. Assim:
( )
6 (^6) i i 6 6 6 6 i^ i 3 i 2e 2 e 64e 64e 64
π π − − × − π π
( ) ( )
6 6
5
3 3i 3 3i
2i 2i
Seja z = 3 + 3i. z^ =^3 +^9 =^12 =^2
( ( ))
( )
tan Arg 3 π 3 3 3 , 3 1.º Q
z
é um argumento de z.
Logo,
i 3 z 2 3e
π
=.
( )
6 i 6 i 6 6 3 3 i 2 z 2 3e 2 3 e 64 27e
π π × π
= = = × =
i 0 1728e = 1728
Seja ( )
(^5 5 ) w = 2i = 2 i = 32i.
( )
6
5
3 3i (^1728 1728) i 1728 i 54i 2i 32i^ 32i^ i^32
+ × ×
× −
28.3. Seja z 1 (^) = 1 + i. z 1 (^) = 1 + 1 = 2
( ( ))
1
tan Arg (^1) π 1 4 1 ,1 1.º Q
=^ =
z é um argumento de z 1
Logo,
i 4 z 1 2e
π
=.
( )
10 10 10 5 i i i i (^10 4 4 52 ) z 1 2e 2 e 2 e 32e
π π π π = (^) = = =
Seja z 2 (^) = 1 − i. z 2 (^) = 1 + 1 = 2
( (^ ))
2
tan Arg (^1) π 1 4 1 , 1 4.º Q
=^ =
z é um argumento de z 2
Logo,
i 4 z 2 2e
π − = e
10 i (^10 ) z 2 2e
π − = (^) =
( )
10 10 i i 4 2 2 e 32e 32i
π π − − = = = −
Portanto, ( ) ( ) ( )
10 10 1 + i − 1 − i = 32i − −32i = 64i.
5 2 2 2
π π − π =
10 5
4 2 5 2 2 2
π π − = −
π π − + π = −
Pág. 39
29.1. z = 1 + i; z = 1 + 1 = 2
( ( ))
tan Arg (^) π 1 4 1 ,1 1.º Q
z é um argumento de z.
Logo,
i z 2e^4
π
=.
( ) (^) ( )
(^10 10 ) 10 i^10 i^ i^ i 1 i 2e 4 2 e 4 32e 2 32e 2 32i
π π π π
29.2. Seja z = 3 − i. z = 3 + 1 = 2
( ( ))
( )
tan Arg π 3 3 6 3 , 1 4.º Q
=^ = −
z é um argumento de z.
Logo,
i 6 z 2e
π − =.
( )
π 8π π π 8 i^ i^ i^ 4π i (^3 2 8 2 11 )
10 10 10π 5π π (^) i i i (^10 6 ) 6
8i 2i (^) 2 e 2 e 2 e e 2
3 i 2e^2 e^ e
(^) +
− −^ −
× × × ×
− ^
π 5π 13π i (^) i (^2 3 ) 2e 2e
+ = = =
π i 6 π π 2e 2 cos isin 6 6
2 i 2 2
3 +i
( )
(^3 )
6 6 6
2i (^) 8i 8i
1 i^1 i^1 i
+ −^ −
Seja z = 1 − i. z = 1 + 1 = 2
tan Arg (^1) π 1 4 1, 1 4.º Q
=^ = −
−^ ⇒ −
z é um argumento de z.
Logo,
i 4 z 2e
π − =.
( )
6 6 3 i 6 i i i (^6 4 4 2 ) z 2e 2 e 8e 8e 8i
π π π π −^ −^ − = (^) = = = =
( )
3
6
2i (^) 8i 1 8i 1 i
30.1. (^) ( )
2 i 3 3 i 2e
π − − + =
3 2 3 i 1 2 cos isin 3 3
π π = − − + (^) − + − (^) = ^ ^ ^
2 2 3 i 2 i 2 2 3 i 1 3 i 2 2
= 3 − 3 3i
3 − 3 3 i = 9 + 27 = 36 = 6
( ( ))
( )
tan Arg 3 3 3i 3 π
3 , 3 3 4.º Q
é um argumento de 3 − 3 3i.
Logo, (^) ( )
(^2) i i 3 3 3 i 2e 6e
π π − − − + =.
5π π i i z 1 i 2 2 e 6 e^12
− = + + × =
5π π i 6 12 1 i 2 2 e
− − + =
3π i = 1 −i+2 2e^4
2.ºQ
3π 3π 1 i 2 2 cos isin 4 4
1 i 2 2 i 2 2
= 1 − i − 2 + 2i= − + 1 i
− 1 + i = 1 + 1 = 2
tan Arg 1 1
1 , 1 2.º Q
=^ = −
−^ ⇒
z π 3π π 4 4
− = é um argumento de z.
Logo,
3π i 4 z = 2e.
30.3. Seja z = 2 − 2i. z^ =^4 +^4 =^8
( ( ))
tan Arg (^1) π
2 , 2 4.º Q^4
(^) = − ⇒ − −^ ∈
z é um argumento de z.
Logo,
i 4 z 8e
π − =. Assim:
i^5 i i i i 6 4 6 4 6 12 2 2i 8e 8e 8e 8e 8e
π π π ^ π^ π π − − − − − − − × = × = =
π π i i i 4 4 8 1 2 2e 4 cos isin 2e 4e 8 8
π π^ π × = × + = ×
z z =
i i i i 4 8 4 8 8 8e e 8e 8e
π π π π π − − = × = =
2 2π i i (^2 ) z 1 (^) z 2 2e 4e
π − × = − ×
5 i i 4 4 2 16e e
π π
× × =
(^5 ) i (^) i i (^4 4 2 ) 32e 32e 32e
π π (^) π π +^ − = = =
2 2 π π i i 2 4 2 1 2 2 π 2 i 8
e 2 e i
4 e
z
z
×
=^ =
^
π 2π^2 i i 2 2 4
2π i (^2 )
e 2 e
4 e
×
2 π π i 2 2
π i 4
4e
16e
−
2 2 i 0 π i 4 π i 4
1 e 1 e 4 4 e
× −
× = × =
π i 2
e 16
−
Pág. 40
4 3 i
2 2i
z
. z 1 (^) = 3 + i e z 1 (^) = 3 + 1 = 2
( ( ))
( )
1
tan arg π 3 3 6 3 , 1 1.º Q
=^ =
z é um argumento de z 1
Logo,
i 6 1 z 2e
π
=. 2 z = 2 + 2i; z 2 (^) = 4 + 4 = 8
( ( ))
2
tan Arg (^1) π 2 4 2 , 2 1.º Q
=^ =
z é um argumento de z 2
Logo,
i 4 2 z 8e
π
=.
4 (^4) i i^4 6 6 i 6 4
i i 4 4
3 i 2e 2e 1 e 2 2 i (^2) 8e 2 2e
π π π^ π − π π
=^ =^ =^ =
(^4 ) 4 i i i 12 12 3
e e e 2 2 4
π π π − (^) − − = (^) = (^) = ^
π π 2sin cos isin 2 2 2 2 2
θ^ θ θ
^ ^ ^
π i 2 2 2sin e 2
θ θ
− =
Como
π 0, 2 2
, 2sin θ > 0 e
π π 0 2 2 2
θ − < − <.
Assim, 1 2sin 2
z
− = e ( )
π Arg 1 2 2
z
π i 4 1 + e =
π π 1 cos isin 4 4
2 π^2 π^ π^ π 1 cos sin 2isin cos 8 8 8 8
2 π^ π^ π 2cos 2isin cos 8 8 8
π π π 2 cos cos i sin 8 8 8
π i 8 π 2cos e 8
π i 8 = 2 + 2 e
Cálculo auxiliar
2 2 2 2 2
2
π π π 2 π π 2 π cos cos sin cos 1 cos 1 2cos 4 8 8 2 8 8 2 8
π 2 2 π 2 2 π cos cos 2cos 2 2 8 4 8 2 8
= − ⇔ = − + ⇔ + =
⇔ = ⇔ = ⇔ = +
π i 6 1 + e
π π 1 cos isin 6 6
2 π^2 π^ π^ π 1 cos sin 2isin cos 12 12 12 12
2 π^ π^ π 2cos 2isin cos 12 12 12
π π π 2cos cos i sin 12 12 12
π i 12 = 2 + 3 e
Cálculo auxiliar
π 2 π 2 π cos cos sin 6 12 12
= −
3 2 π 2 π cos 1 cos 2 12 12
⇔ = − +
3 2 π 1 2cos 2 12
⇔ + =
2 π^3 2 2 π^3 2cos cos 12 2 12 4
⇔ = ⇔ = ⇔
π 3 2 π cos 2cos 2 3 12 2 12
⇔ = ⇔ = +
Pág. 43
2 i 3 3 3 i 3 1 e e , 0, 1, 2
k
w k
θ
π
= = = =
k = 0, w 0 = e i × 0 = – 1
2 i 3 k 1, w 1 e
π
= =
4 i 3 k 2, w 2 e
π
= =
2 2 4 3 i i i 3 3 2 3 3 6 6 i e e e , 0, 1, 2
k k
w k
π π ^ π^ ^ π^ π + (^) + = = = = =
i 6 k 0, w 0 e
π
= =
(^4 ) i (^) i (^6 6 ) 1 k 1, w e e
π π (^) π + = = =
(^8 9 ) i (^) i i 6 6 6 2 2 k 2, w e e e
π π (^) π π + = = = =
2 2 4 3 i i i 2 3 3 3 6 6 27e 27e 3e , 0, 1, 2
k k
k
π − π π^ ^ π^ π − + −^ + = = =
i 6 0 k 0, w 3e
π − = =
4 i (^) i (^6 6 ) 1 k 1, w 3e 3e
π π (^) π − + = = =
(^8 ) i (^) i (^6 6 ) k 2, w 2 3e 3e
π π (^) π −^ + = = =
38.4. w = − 2 − 2i; w = 4 + 4 = 8
tan Arg 1 2
2 , 2 3.º Q
=^ =
w (^) π 3π π 4 4
− + = − é argumento de^ w
Logo,
3 i 4 w 8e
π − =.
3 3 4 2 2 3 i i 3 4 3 3 3 4 3 8e 8e 2e , 0, 1, 2
k^ k
w k
π − (^) π π π π (^) − + − + = = = =
i 4 k 0, w 0 2e
π − = =
2 5 i (^) i (^4 3 ) k 1, w 1 2e 2e
π π π −^ + = = =
(^4 ) i (^) i (^4 3 ) k 2, w 2 2e 2e
π^ π π −^ + = = =
2 i i 4 4 4 i 0 4 2 1 e e e , 0, 1, 2, 3
k k
w k
π^ π = = = = =
i 0 0 k = 0, w = e = 1
i 2 k 1, w 1 e i
π
= = =
i 2 k 2, w e 1
π = = = −
3 i 2 k 3, w 3 e i
π
= = = −
2 2 4 4 i i i 4 4 2 4 4 8 8 i e e e , 0, 1, 2, 3
k k
w k
π − π (^) π π π (^) − + − + = − = = = =
i 8 0 k 0, w e
π − = =
3 i 8 k 1, w 1 e
π
= =
7 i 8 k 2, w 2 e
π
= =
11 i 8 3 k 3, w e
π
= =
2 2 3 2 4 i i (^4 34 4 ) 16e 16e
k
w
π π ^ π + = = =
3 i i 6 2 6 6 2e 2e
π^ π^ π^ π +^ + =
k k
com k =0, 1, 2, 3.
i 6 k 0, w 0 2e
π
= =
4 2 i i 6 3 k 1, w 1 2e e
π π
= = =
7 i 6 k 2, w 2 2e
π
= =
10 5 i i 6 3 k 3, w 3 2e 2e
π π
= = =
1 i 3 1 3 i 2 2 2
w
w = + =
tan Arg 3 1
, 3.º Q
=^ = −
−^ −^ ∈
^
w
π 2π π 3 3
− + = − é um argumento de w. Logo,
2 i 3 w e
π − =.
2 2 3 2 4 i i i 4 3 4 4 6 2 e e e
k^ k
w
π − (^) π π π π − ^ + − + = = = =
3 i 6 6 e
π^ π −^ +
k
k = 0, 1, 2, 3.
i 6 k 0, w 0 e
π − = =
i 3 k 1, w 1 e
π
= =
5 i 6 k 2, w 2 e
π
= =
4 i 3 3 k 3, w e
π
= =
π 2 i 6 6 6 i 6 6 1 e e , 0, 1, 2, 3, 4, 5
k
w k
π + π (^) = − = = =
π i 6 0 k = 0, w =e
i 2 1 k 1, w e
π
= =
5 i 6 k 2, w 2 e
π
= =
7π i 6 k = 3, w 3 =e
3 i 2 k 4, w 4 e
π
= =
11 π i 6 k = 5, w 5 =e
2 2 4 6 i i i 6 6 2 6 6 12 12 i e e e , 0, 1, 2, 3, 4, 5
k^ k
w k
π π ^ π ^ π^ π + (^) + = = = = =
i 12 k 0, w 0 e
π
= =
(^4 ) i (^) i (^12 12 ) k 1, w 1 e e
π π (^) π + = = =
(^8 9 ) i (^) i i (^12 12 12 ) k 2, w 2 e e e
π^ π π +^ π = = = =
(^12 ) i (^) i (^12 12 ) k 3, w 3 e e
π π (^) π + = = =
(^5 16 ) i 12 12 12 4 4, e e
P
k w
π π + = = =
(^20 21 ) i (^) i i (^12 12 12 ) k 5, w 5 e e e
π^ π π π + = = = =
82 6 i i 6 8 6 6 6 8e 8e
k
w
π − π π − + = = =
16 i 48 48 2e
π^ π −^ +
k
,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
48 k 0, w 0 2e
π − = =
(^16 15 ) i (^) i i (^48 48 48 ) k 1, w 1 2e 2e 2e
π π (^) π π − + = = = =
(^32 ) i (^) i 48 48 48 2 k 2, w 2e 2e
π^ π π −^ + = = =
(^48 ) i (^) i (^48 48 ) k 3, w 3 2e 2e
π^ π π − + = = =
(^64 63 ) i (^) i i (^48 48 48 ) k 4, w 4 2e 2e 2e
π π (^) π π − + = = = =
(^80 ) i (^) i (^48 48 ) 5 k 5, w 2e 2e
π^ π π − + = = =
2 2 4 i i 6 6 6 6 12 12 6
i e e , 0, 1, 2, 3, 4, 5 8 8 2
k k
w k
π (^) π (^) π π + + = = = =
i 12 0
0, e 2
k w
π
= =
5 i 12 1
1, e 2
k w
π
= =
3 i i 12 4 2
2, e e 2 2
k w
π π
= = =
13 i 12 3
3, e 2
k w
π
= =
17 i 12 4
4, e 2
k w
π
= =
21 7 i i 12 4 5
5, e e 2 2
k w
π π
= = =
Pág. 44
2 i 6 6 i 6 6 6 64 64e 64e
π k π + π (^) − = = =
2 i 6 6 2e
π π +
k
,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
i 6 0 k 0, z 2e
π
= =
3 i i 6 2 k 1, z 1 2e 2e
π π
= = =
5 i 6 k 2, z 2 2e
π
= =
7 i 6 k 3, z 3 2e
π
= =
3 i i 6 2 k 4, z 4 2e 2e
π π
= = = ;
11 i 6 k 5, z 5 2e
π
= =
42.1. Os afixos das raízes quartas de z são vértices de um
quadrado de centro na origem.
π i 6 0
π π 2e 2 cos isin 6 6
z
= ( 4.º Q)
2 i 3 i 2 2
π π (^) π i (^) i (^6 2 ) z 1 2e 2e
− + = = =
π π 2 cos i sin 3 3
2 i 1 3i 2 2
π π (^) 5π i (^) i (^3 2 ) z 2 2e 2e
(^) + = =
5π 5π 2 cos i sin 6 6
= ( 2.º Q)
2 i 3 i 2 2
5π π (^) 4π i (^) i (^6 2 ) z 3 2e 2e
+ = =
4π 4π 2 cos i sin 3 3
( 3.º Q)
2 i 1 3i 2 2
(^4 4 ) i i i (^4 6 46 ) 0 z z 2e 2 e 16e
π π π −^ −^ − = = (^) = = =
2π 2π 16 cos sin 8 8 3i 3 3
i
( )
2 1 0 0 0 1
r r r r r
k k θ k^ θ k
⇔ (^) ⇔ (^) π ⇔ π = ∈ =^ ∈
ℤ^ ℤ
r r
k k θ k θ k
=^ =
⇔ (^) π ∨ π =^ ∈^ =^ ∈
Logo,
3π i i i0 2 i 2 z 0 (^) 0 ; z 1 (^) e 1; z 2 (^) e ; z 3 (^) e ; z 4 e
π π = = = = = =
π i i 2 i 2 S 0, 1, e , e , e 0 , 1 , i , 1 , i
π − (^) π = (^) = − −
45.5. z 4
- i = 1 ⇔ z 4 = 1 – i; 1 −^ i^ =^1 +^1 =^2
( ( ))
tan Arg 1 i 1 1
1 , 1 4.º Q
−^ =^ = −
π
4
− é um argumento de 1 – i
Assim, tem-se:
i 4 i (^4 4 4 ) z 1 i z 2e z 2e
π π − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔
42 i 8 4 4 2e , 0, 1, 2, 3
k
z k
π − π + ⇔ = = ⇔
8 8 16 16 2e , 0, 1, 2, 3
π^ π −^ + ⇔ = =
k
z k
Logo:
7 15 23 i i i i (^8 16 8 16 8 16 ) z 0 (^) 2e ; z 1 (^) 2e ; z 2 (^) 2e ; z 3 2e
π π π π − = = = =
7 15 23 i i i i (^8 16 8 16 8 16 ) S 2e ; 2e ; 2e ; 2e
π π π π − =
0
3 1 i 4 4
z = − ;^0
z = + = = =
tan Arg (^3 3) π
, 4.º Q
=^ = −
^
z
é um argumento de z 0
Assim,
i 6 0
e 2
z
π − =.
(^4 4 ) i i i (^4 6 6 ) 0
e e e 2 16 16
z z
π π π −^ −^ − = = (^) = =
Logo,
z = e ( )
arg 3
z
π = − (^).
2 2 3 2 i i (^4 4 1 3414 ) e e , 0, 1, 2, 3 16 16
k
z k
π − π π − + = = = =
2 6 i (^1 12 ) e , 0, 1, 2, 3 2
k
k
π^ π − + = =
Logo,
5 4 i i i i 6 3 6 3 0 1 2 3
e ; e ; e ; e 2 2 2 2
z z z z
π π π π − = = = =
As raízes quartas de (^) z são:
5 4 i i i i 6 3 6 3
e , e , e e e 2 2 2 2
π π π π −
Pág. 47
2 2 z + 4 = 0 ⇔ z = − 4 ⇔ z = ± − 4 ⇔ z = ± 2 − 1 ⇔
⇔ z = ± 2i
S = {– 2i, 2i}
z z z
z z
⇔ = ⇔ = ⇔ z = −^5 ±i
S = {– 5 – i, – 5 + i}
z z z
8 256 8 16i 1 1 i 32 32 4 2
z z z
i, i 4 2 4 2
S
47.4. z 3
- 16 z = 0 ⇔ z ( z 2
- = 0 ⇔ z = 0 ∨ z 2
- 16 = 0 ⇔
2 ⇔ z = 0 ∨ z = − 16 ⇔ z = 0 ∨ z = ± − 16 ⇔
⇔ z = 0 ∨ z = ± 4i
S = {– 4i, 0, 4i}
47.5. z 3
- 6 z 2
- 13 z = 0 ⇔ z ( z 2
- 6 z + 13) = 0 ⇔
⇔ z = 0 ∨ z 2
z z
z z
6 4i 0 0 3 2i 2
z z z z
⇔ z = 0 ∨ z = – 3 – 2i ∨ z = – 3 + 2i
S = { 0, − 3 − 2i, − 3 +2i}
47.6. z 3
- 6i z 2 = 10 z ⇔ z 3
- 6i z 2
( )
2 2 ⇔ z z + 6i z − 10 = 0 ⇔ z = 0 ∨ z + 6i z − 10 = 0
6i 36 40 0 2
z z
6i 2 0 2
z z
⇔ z = 0 ∨ z = – 1 – 3i ∨ z = 1 – 3i
S = {0, – 1 – 3i, 1 – 3i}
Pág. 48
48.1. As raízes quadradas de 4 – 3i são as soluções da equação
z 2 = 4 – 3i. Seja z = x + y i.
z 2 = 4 – 3i ⇔ ( x + y i) 2 = 4 – 3i ↔ x 2
- y 2 + 2 xy i = 4 – 3i 2 2 2 2
3 4 (^4 )
(^2 3 )
2
(^) −^ −^ = − = ^ (^) ⇔ (^) ⇔ (^) ⇔ = − = −
x x y (^) x
xy y x
2 0 4 2 2
9 (^4 4 16 9 ) 4
≠ −^ =^ − − = ⇔ (^) ⇔ (^) ⇔
x x x x x wwwwww wwww
2 16 256 144 2 16 400
8 8
(^) ± + ± = = ⇔ (^) ⇔
x x
wwww wwww
2 16 20 2 36
8 8
∈ ∈ ± =^ = ⇔ (^) ⇔ (^) ⇔
x x^^ ℝ^ x x ℝ
wwww www
3 2 3 2
2 2
2 2
2 2
= −^ = ⇔ (^) ∨ = = −
x x
y y
As raízes quadradas de 4 – 3i são
i e i 2 2 2 2
48.2. As raízes quadradas de
i 4
− (^) são as soluções da equação
i 4
z = −.
Seja z = x + y i.
3 2 2
2 3 2 2
y
= − × (^) − (^) =
i i i 2 i i 4 4 4
z = − ⇔ x + y = − ⇔ x − y + xy = − ⇔
2 (^2 2 2 )
1 3 3 4 4 4 1 2 1 2
≠
−^ = − = ⇔ (^) ⇔ (^) ⇔
(^) = − = −
x
x x y (^) x
xy y x
4 2 2 3 9 16 4 3 1 0 8
∈
(^) ± + (^) − − = = ⇔ (^) ⇔ (^) ⇔ (^)
x x x x^ ℝ
wwwww www
≥
=^ = −
= −^ =
x
x x x
ww y^ x
As raízes quadradas de
i 4
− são^
1 i e 1 i 2 2
48.3. As raízes quadradas de 5 – 12i são as soluções da equação
z 2 = 5 – 12i. Seja z = x + y i.
z 2 = 5 – 12i ⇔ ( x + y i) 2 = 5 – 12i ⇔
⇔ x 2
2 (^2 2 )
36 5 5
2 12 6
∈
− = − = ⇔ (^) ⇔ (^) ⇔ = − = −
x ℝ x x y (^) x
xy y x
4 2 2 5 25 144 5 36 0 2
(^) ± + − − = (^) = ⇔ (^) ⇔
x x (^) x
wwwww wwwww
2 9 3 3
2 2
∈ (^) = = = − ⇔ (^) ⇔ (^) ∨ = −^ =
x ℝ x x x
ww y^ y
As raízes quadradas de 5 – 12i são 3 – 2i e – 3 + 2i.
z z z z
1 3 i 1 3 i 2 2 2 2
⇔ z = − − ∨ z = − +
i, i 2 2 2 2
S
2 z − 1 + 2i z + −i 1 = 0 ⇔
( (^ )) (^ )
2 1 2i 1 2i 4 1 i 1
z
+ ± − + − × × −
1 2i 1 4 4i 4i 4
z
1 2i 1
2
z = ⇔
⇔ z = i ∨ z = 1 + i
S = {i, 1 + i}
4 3 4i 0 4 3 4i i 4
z + − = ⇔ z = − + ⇔ z = − + ⇔
2 2 3 1 1 2 1 1i i 1 4 2 4 4
z z
2 2 1 1 i i 2 2
z z
i i 2 2
⇔ z = + ∨ z = − −
i, i 2 2
S
2 z − 3 + 4i z − 1 + 5i = 0 ⇔
( ( )) ( )
2 3 4i 3 4 4 1 5i
z
3 4i 9 16 24i 4 20i
z
3 4i 3 4i
z
2 3 4i 1 2i
z
3 4i 1 2i 3 4i 1 2i
z z
⇔ z = 2 + 3i ∨ z = 1 + i
S = {2 + 3i, 1 + i}
50.1. 24 − 10i = 24 − 2 × 5i + 25 − 25 = 25 − 2 × 5i − 1 =
2
2 ± 5 − i = ± 5 −i
S = { 5 − i, − 5 +i}
50.2. 8 − 6i = 8 − 2 × 3i + 9 − 9 = 9 − 2 × 3i − 1 =
2 2 2 = 3 − 2 × 3i + i = 3 −i
2 ± 3 − i = ± 3 −i
S = { 3 − i, − 3 +i}
Pág. 49
51.1.
4 2 z + 10 z + 169 = 0 ⇔
z
− ± − ×
z
2 10 24i
2
z
2 2 ⇔ z = − 5 −12i ∨ z = − 5 + 12i⇔
2 2 2 2 ⇔ z = 2 − 3i ∨ z = 2 + 3i ⇔
⇔ z = 2 − 3i ∨ z = − 2 + 3i ∨ z = 2 + 3i ∨ z = − 2 −3i
S = { − 2 − 3i ; − 2 + 3i ; 2 − 3i ; 2 +3i}
4 2 z + 3 − 6i z − 8 − 6i = 0 ⇔
2 2 3 6i 3 6i 4 8 6i
z
2 3 6i^9 36 36i^32 24i
2
z
2 3 6i^5 12 i
2
z
2 2
3 6i 3 2i
z
2 3 6i 3 2i
z
2 2 ⇔ z = 2 i ∨ z = − 3 + 4 i⇔
2 2 2 2 ⇔ z = 1 + i ∨ z = 1 + 2i ⇔
⇔ z = 1 + i ∨ z = − 1 − i∨
∨ z = 1 + 2 i ∨ z = − 1 −2 i
S = { 1 + i , − 1 − i , − 1 − 2 i, 1 +2i}
2 2
3 4i 1 4i 4
1 4i 2i 1 2i
− + = + − =
= + + = +
2
2
5 12i 4 12i 9
2 3i
5 12i 4 12i 9
2 3i
− − = − − =
= −
− + = + − =
= +
2
2
2
5 12i 9 12i 4
3 2 i
2 i 1 2i 1
1 i
3 4 i 1 4i 4
1 2 i
− = − − =
= −
= + − =
= +
− + = + − =
= +
i ' e
θ z = z × Pág. 51
( ) (^) ( )
i 2 4i i 2 4i 2 3 2i e e 2 3 2i
θ + θ
( )( ) i
2 4i 2 3 2i e 2 9 2
θ
+ ×
2 2 6 2i 4 2i (^12 2) i e 20
− − − + θ ⇔ = ⇔
10 2 10 2i (^) i 2 2 i e i e 20 2 2
− θ θ ⇔ = ⇔ − =
tan 1
π 2 2 2 π , 4.º Q (^4) 2 2
^ = −
^ ⇒^ = −^ +
−^ ∈
^
k
π 2 π, 4
θ = − + k k ∈ ℤ
Pág. 52
58.1. (^) 3 i ; z 2i zA = + (^) B =
( )
π π i i 3 3 zA (^) ' = zA × 2e = 3 + i × 2 =
π π i i 6 3 = 2e × 2e =
π π (^) π i (^) i (^6 3 ) 4e 4 4i
+ = = =
A ′ ( 0 , 4)
π π i i 3 3 zB (^) ′ = zB × 2e = 3i × 2e =
π π i i 2 3 3e 2e =
π π (^) 5π i (^) i (^2 3 ) 6e 6e
+ = = =
5π 5π 6 cos i sin 6 6
(2.º Q)
6 i 3 3 3i 2 2
B ' (^) ( − 3 3 , 3)
O ' ≡ O , A ' 0 , 4 , ( ) B ' (^) ( − 3 3 , 3)
Pág. 53
58.2. Área de [ OAB ]:
A ( (^) 3 , 1); O (^) ( 0 , 0)e B ( 0 , 3)
[ ]
abcissa de 3 3
OAB
OB A
A
×
Como r = 2 :
[ ] [ ]
2 2 ' ' '
= × = × =
O A B OAB A A r u.a.
π i f z i z f z z e^2
− = − ⇔ = ×
O afixo de f ( z )é a imagem do afixo de z por uma
rotação de centro O e ângulo
π 2 π, 2
− + k k ∈ ℤ.
59.2. f ( z ) = z + i − 1 ⇔ f ( z ) = z + ( − 1 +i)
O afixo de f ( z )é a imagem do afixo de z pela translação
de vetor (– 1, 1).
i 0 f z 2 z f z z 2e
× = ⇔ = ×
O afixo de f ( z )é a imagem do afixo de z por uma
homotetia de centro O e razão 2.
i
i 3
z f z = ⇔
i
3 i
= ×
f z z ⇔
π i 2
π i 6
e
2 e
⇔ f z = z × ( )
π π i (^1 2 ) e 2
f z z
(^) − ⇔ = ×
π i 3
e 2
⇔ f z = z ×
O afixo de f ( z )é a imagem do afixo de z por uma
rotação de centro na origem O e amplitude
π
composta
com uma homotetia de centro O e razão
59.5. f ( z ) = − z +2i
O afixo de f ( z )é a imagem do afixo de z por uma
simetria de eixo real seguida de uma reflexão central de
centro O e uma translação de vetor (0, 2). Trata-se de uma
reflexão deslizante de eixo imaginário e vetor (0, 2).
Pág. 54
60.1. z − 1 + 2i ≤ 3 ⇔ z − ( 1 − 2i )≤ 3
C (1, – 2)
r = 3
60.2. z ≥ 1 ∧ z ≤ 2
60.3. z − i ≤ 1 ∨ z − 1 ≤ 1
⇔ z − ( 0 + i) ≤ 1 ∨ z − ( 1 + 0i) ≤ 1
C 1 (0, 1), r = 1
C 2 (1, 0), r = 1
π 3 0 e
i z = r
| z | = | z 0 | define uma circunferência de centro na origem e
raio | z 0 |.
Como a medida do seu perímetro é 8π, temos:
2π z 0 (^) = 8π ⇔ z 0 = 4
Logo, r = 4 e
π i 3 0 z = 4e.
0
π π 4 cos i sin 3 3
z
4 i 2 2 3i 2 2
+^ =^ +
Pág. 55
62. Fronteiras:
Circunferência de centro na origem e que passa em A (– 2, 2):
(^2 ) r = CA = − 2 + 2 = 4 + 4 = 2 2
z = 2 2
Circunferência de centro A (– 2 , 2) e raio 2:
z − − ( 2 + 2i )= 2 ⇔ z + 2 − 2i = 2
Mediatriz do segmento [ BC ] com B (– 2, 0) e C (0, 3):
z − − ( 2 + 0i ) = z − ( 0 + 3i) ⇔ z + 2 = z −3i
Condição: z ≤ 2 2 ∧ z + 2 − 2i ≤ 2 ∧ z + 2 ≥ z −3i
i 3 i e
3 i 2
1.º Q Logo, um valor de é 1 π arctan 3 6
θ
θ θ
θ
= + =
∈
= =
r
r
63.1. z − 2i ≤ z + 3 ⇔
⇔ z − ( 0 + 2i ) ≤ z − −( 3 +0i)
A (0,2)
B (– 3, 0)
63.2. (^) z − 3 + 4i ≤ 3 ∧ z + 1 + i ≤ z − 3 −3i
3 4i 3
1 i 3 3i
z
z z
A (3, – 4), r = 3
B (– 1, – 1), C (3, 3)
Pág. 56
64.1. z − 1 + i ≤ 3 ∧ Re ( z − 3 − i )≥ − 2
z − 1 + i ≤ 3 ⇔ z − ( 1 − i )≤ 3
C (1, – 1), r = 3
Re ( z − 3 − i )≥ − 2 ⇔
⇔ Re ( z + y i − 3 − i )≥ − 2
⇔ Re( x − 3 + (^) ( y − 1 i)) ≥ − 2
⇔ x − 3 ≥ − 2 ⇔ x ≥ 1
64.2. Im ( − z + 2 − 2i )< − 3 ∧ z ≤ 2
Im ( − z + 2 − 2i )< − 3 ⇔
⇔ Im ( − x − y i + 2 − 2i )< − 3 ⇔
⇔ Im − x + 2 + − ( y − 2 i) < − 3
⇔ − y − 2 < − 3 ⇔ y + 2 > 3
⇔ y > 1
64.3. z + 2 − 3i ≥ z − 1 + 2i ∧ Re i( z + 2 ) = 0
z + 2 − 3i ≥ z − 1 + 2i⇔ z − −( 2 + 3i) ≥ z − ( 1 −2i)
A ( −2 , 3 ), B ( 1 , − 2 )
Re i ( z + 2 )= 0 ⇔
⇔ Re i( ( x + y i )+ (^2) )= 0
⇔ Re ( x i − y + 2 ) = 0
⇔ − y + 2 = 0 ⇔ y = 2
Pág. 57
65.
Por exemplo:
π 1 5i 3 i Arg 1 π 2
z z z
−^ −^ +^ ≥^ −^ −^ ∧^ <^ −^ ≤^ ∨
66.1. É uma elipse e o seu interior:
F 1 ( −2 , 0 ,) F 2 ( 2 , 0)
c = 2
2 a = 12 ⇔ a = 6
2 2 2 b + c = a
2 2 b + 4 = 36 ⇔ b = 32 ⇔ b = 4 2
1 2
F 0 , −3 , F 0 , 3
c = 3
2 b = 10 ⇔ b = 5 2 2 2 c + a = b 2 9 + a = 25 ⇔
2 a = 16 ⇔
⇔ a = 4
i i^ i 2 2 2i i 2i
− +^ −
z^ z^ y
z x y
2 2 2 2 ⇔ + − 1 ≤ 4 ^ + + 2 ∧ , = 0, 2− ⇔
x y x y x y
2 2 2 2
⇔ z + y − 2 y + 1 ≤ 4 x + 4 y + 16 y + 16 ∧( x y , ) =( 0, 2−)
2 2 ⇔ 3 x + 3 y + 18 y + 15 ≥ 0 ∧ x y , = 0, − 2
2 2 ⇔ x + y + 6 y + 5 ≥ 0 ∧ x y , = 0, − 2
2 2 ⇔ x + y + 6 y + 9 − 9 + 5 ≥ 0 ∧ x y , = 0, − 2
2 2 ⇔ x + y + 3 ≥ 4 ∧ x y , = 0, − 2
π i 4 π 3π e Arg 4 4
z z ≤ ∧ ≤ z ≤
2 π^ 3π 1 Arg 4 4
⇔ z ≤ ∧ ≤ z ≤
π 3π 1 Arg 4 4
⇔ z ≤ ∧ ≤ z ≤
Atividades complementares
Pág. 60
2 i 2 2i 2 i 1 4i 1 3i 2
− − × − = − − + = +
68.2. ( 3 − i) × ( 2 − 3i )+ 10i = 6 − 9i − 2i − 3 + 10i = 3 −i
2 i 1 2i 5
− × − ( ) ( )
4 4i 1 1 2i 5
= − − × − =
3 4i 1 2i 5
= − × − ( )
3 6i 4i 8 5
5 10i 1 2i 5
68.4. (^) ( ) ( )
27 2 143 1 − i × 1 − i = (^) ( ) ( )
3 2 23 1 − i × 1 − i =
2 3
= 1 + i × 1 + 1 = ( 1 + 2i − 1 ) × 8 =16i
69. ( a − 4i) × ( 2 − 3i )= 10 + b i⇔
⇔ 2 a − 3 i a − 8i − 12 = 10 + b i⇔
⇔ 2 a − 12 = 10 ∧ − 3 a − 8 = b ⇔ a = 11 ∧ b = − 41
Logo, a = 11 e b = − 41.
(^2 )
z = 1 − a i + a + 1 i = ( )
2 1 − 2 a i − a i − a + a + 1 i=
2 = 1 − 2 a i − a + a i + i= (^) ( ) ( )
2 1 − a + 1 − a i
z é um número real se Im ( z )= 0.
1 − a = 0 ⇔ a = 1
Logo, z é um número real se a = 1.
( (^ ))
π 0 Arg 1 2i 6
∨ < z − + ≤
27 6 4 3 14 3 4 2
= × + = × +
r
×
A ( 3 , 0)e B ( −3 , 2 ); ( )
M
Uma equação da circunferência pedida é:
2 2 x + y − 1 = 10
74. zw = ( 2 + 3i )( 1 + i )= 2 + 2i + 3i − 3 = − 1 +5i
1 1 1 i 1 i 1 1 i w 1 i 1 i 1 i 1 1 2 2
1 i 1 i 1 i^2 3i 2 3i 2i 3
2 3i 2 3i 2 3i 2 3i 4 9
w
z
+ − −^ − − − −
1 5i 1 5 i 13 13 13
10 15i 10 15i 1 2i 7i 4 7i 4 1 2i 1 2i 1 2i
× − = × − =
10 20i 15i 30 7i 4 1 4
= × − =
i 7 i 4 5 5
= − × − =
( −^4 −^ 7 i^ ) × −( 4 +^ 7 i)=
= 16 + 49 = 65 = 65 +0i
3 3 2 2 i i 2 i 2 i i
1 i 1 i
( 4 1 4i )( 2 i ) i ( 3 4i) ( 2 i ) i
1 i 1 i
6 3i 8i 4 i 2 10i
1 i 1 i
2 10i 1 i
1 i 1 i
2 2i 10 10
1 1
i 6 4i 12 2
( )( ) (^) ( )( )
3 13 14 1 2i 3 i i i (^1) 2i 3 i i 1
2i 2i
3 i 6i 2 i 1 4 6i 2 3i
2i 2i i
2 3i i (^) 2i 3 3 2i i i 1
+ × − − +
× −
1
2
5 5 1 i 5 1 i 5 5i 3 4i
3 4i 3 4i 3 4i 3 4i
z
z
× × − + + +
15 20i 15i 20 5 35i
9 16 25
i i 25 25 5 5
2 3
2 2
i i 2i 2i
3 4i 3 4i (^9 16 3) 4i
z
z z
×
5 3 4i 8 4i 4 2i
4 2i
4 2i 4 2i
4 2i
4 2i 1 1 i 20 5 10
2 1
3
3 4i 1 i i i i 2i i
z z
z
+^ ×^ =^ +^ ×
^
^
3 4i 1 i i i 2i i i
− − × −
= + ×
× −
i i 1 2
+ × − − =
i 1 i 2 2
i 2 2
( ) ( ) (^ )(^ )
3 2 4 2 2
2 2 2i^3 4i 4i 3 4i
1 i 1 i 1 i^1 2i^1 1 2i^1
z − z ×^ −^ − − + = =
3 8i (^9 64 )
2i 2i 4 4
× −
(^11 11 ) 3 3
1
1 2i i 2 i 2
2 2 1 i 3 i
z z
z
i 2 2 i^3 i
3 i 3 i 3 i
− +^ −^ +
6 2i 3i 1
9 1
7 i 7 1 i 10 10 10
Pág. 61
77.1. Seja z = x + y i.
1 i 1 1 i^3 i
3 i 3 3 i 3 i
z z y^ x^ y^ x^ y w z x y x y x y
− + −^ −^ +^ −^ −
2 2
(^2 )
3 i 3 i i 3 i
x x xy x y xy y y
x y
2 2
(^2 )
4 2 i 3
x x y y
x y
2 2
(^2 2 )
i 3 3
x x y y
x y x y
w é um número real se Im ( w ) = 0.
Logo, w é um número real se y = 0.
2 2
(^2 2 )
x x y y w x y x y
w é um número imaginário puro se Re( w ) = 0 ∧ Im( w ) ≠ 0. 4 2 x − 4 x + y + 3 = 0 ∧ − 2 y ≠ (^0) ⇔
( )
2 2 ⇔ x − 4 x + 4 − 4 + y + 3 = 0 ∧ y ≠ 0 ⇔
(^2 ) ⇔ x − 2 + y = 1 ∧ y ≠ 0
Logo, w é um número imaginário puro se os afixos de w
pertencerem à circunferência de centro no ponto de
coordenadas (2, 0) e raio 1 exceto os pontos de
coordenadas (1, 0) e (3, 0).
78.1. Seja z = x + y i.
i 1 i^ (^ i^ )^1
i i i
z^ x^ y w z x y
+^ +^ +
( ( ))( )
1 i ( 1) i
1 i ( 1)i
y x x y
x y x y
( ) (^ )
2 2
2 2
i 1 i i
xy y y x y x xy x
x y
( )
(^2 2 2 )
2 2 2 2 2 2
2 1 i (^2 )
x x y (^) x x y
x y x y x y
w é um número real se Im ( w ) = 0.
z 2
Logo, w é um número real se os afixos de w pertencerem à
circunferência de centro na origem do referencial e raio 1,
exceto o ponto de coordenadas (0, – 1).
78.2. w é um número imaginário puro se Re ( w ) = 0 ∧ Im ( w )≠ 0
2 2 2 x = 0 ∧ x + y − 1 ≠ 0 ⇔
2 ⇔ x = 0 ∧ y − 1 ≠ 0 ⇔
2 ⇔ x = 0 ∧ y ≠ 1 ⇔⇔ x = 0 ∧ y ≠ − 1 ∧ y ≠ 1
Logo, w é um número imaginário puro se a abcissa dos
afixos de w for nula e a ordenada diferente de – 1 e 1, ou
seja, é o eixo imaginário exceto os pontos de coordenadas
(0, 1) e (0, – 1).
11 3
11 4 2 3
i i i
= × +
= = −
1 z = 2 2 + 2 2 i; (^) ( ) ( )
2 2 z 1 (^) = 2 2 + 2 2 = 8 + 8 = 16 = 4
Seja θ um argumento de z 1.
( )
tan 1 π 2 2 4 2 2, 2 2 1.º Q
θ θ
⇒^ =
é um argumento de z 1
Logo,
π i 4 z 1 (^) = 4 e.
2 z = − 3 3 +3i
( )
2 2 2 z = − 3 3 + 3 = 27 + 9 = 36 = 6
Seja θ um argumento de z 2.
( )
tan π 5π (^3 3 3) π 6 6 3 3, 3 2.º Q
θ θ
é um argumento
Logo,
5π i 6 z 2 (^) = 6e.
3
i 2 2
z = − −
2 2
3
z
^ − +
tan (^3 3 3) π 2π π 3 3 3 3 3 , 3.º Q 2 2
θ
⇒ −^ +^ = −
−^ −^ ∈
é um argumento
Logo,
2 π i 3 z 3 (^) 3e
− =.
4
z = 2 − 2i; z 4 = 4 + 4 = 8 = 2 2
Seja θ um argumento de z 4.
tan (^1) π 2 4 2, 2 4.º Q
θ
é um argumento de z 4
Logo,
π i 4 z 4 (^) 2 2 e
− =.
i 4 4
z = − −
(^2 )
5
z
^
^
Seja θ um argumento de z 5.
tan (^3 3 3) π 5π π 3 3 3 6 6 , 3.º Q 4 4
⇒ −^ +^ = −
−^ −^ ∈
é um argumento
Logo,
5π i 6 5
e 2
z
− =.
2π 2π π i i^ π i 3 3 3 z 6 2e 2e 2e
−^ − = − = =
π π i i 6 6 z 7 (^) 2e 2 e
− = =
π i 6 z 1 (^) = 3e ;
11π 11π i i 6 6 z 2 (^) 3e 3e
− = =
π 11π 12π 2 π 2 π 1 6 6 6
= − + k ⇔ k = ⇔ k = ∈ ℤ
Como | z 1 | = | z 2 | = 3 e
π 11π 2π 6 6
= − + , temos z 1 = z 2.
2π 2π 5π i i π i 3 3 3 z 1 2 e 2 e 2e
+ = − = = ;
7 π i 3 z 2 (^) 2e
−
5π 7π 2 π 5 7 6 , 3 3
= − + k ⇔ = − + k k ∈ ℤ ⇔
⇔ 12 = 6 , k k ∈ ℤ ⇔ k = 2 ∈ℤ
Como | z 1 | = | z 2 | = 3 e
5π 7π 4π 3 3
= − + , temos z 1 = z 2.
( )(^ )
1 i 3 1 i 1 i 3
1 i 1 i 1 i
z
w
1 i i 3 3 1 3 1 3 i 1 1 2 2
1 i (^3 1 3 2 2 ) 2 1 i 1 1 2 2
z z
w w
Seja θ 1 um argumento de z.
( )
1 1
tan (^3) π 1 3 1, 3 1.º Q
θ θ
⇒^ =
é um argumento de z
Seja θ 2 um argumento de w.
2 2
1 tan (^1) π 1 4 1, 1 4.º Q
θ θ
− (^) = = − ⇒^ = −
− ∈
é um argumento de w
1 1
π Arg 3
θ = z = ; 2 2
π Arg 4
θ = z = −
1 2
π π π π 7π Arg 3 4 3 4 12
z
w
Logo, 2
z
w
= e
7π Arg 12
z
w
1 3 1 3 7 π 7π i 2 cos i sin 2 2 12 2
z
w
7π 1 3 7π 1 3 2 cos 2sin 12 2 12 12
7 π 1 3 7π 1 3 cos sin (^12 2 2 122 )
7π 2 6 7π 6 2 cos sin 12 4 12 4
i
1 1 2 e 1 2 cos i sin
w z
θ θ θ
1 2 cos i 2sin
( )( )
1 2 cos i 2sin
1 2 cos i 2sin 1 2 cos i 2sin
( ) ( )
2 2
1 2 cos i 2sin
1 2 cos 2sin
2 2
2
1 2 cos i 2sin
1 2 2 cos 2 cos 2sin
=
θ θ
θ θ θ
1 2 cos 2sin i 3 2 2 cos 3 2 2 cos
θ θ
θ θ
Logo, ( )
1 2 cos 2 cos 1 Re 3 2 2 cos 2 2 cos 3
w
θ θ
θ θ
de z 2
de z 3
de z 5
